精美數學

前言

　　數學是研究現實世界的數量關系和空間形式的一門學科。數學有著無與倫比的魅力，它展現了人類最偉大的智慧，內容抽象、應用廣泛；理論嚴謹、推理縝密；一行一數，妙不可言。 數學作為一門基礎性學科，并不等同于定理的證明、公式的套用與背誦、例題的熟讀及習題的操練。數學是一門富有美感的學科，它是打開神秘世界的一把“金鑰匙”，它總是與科學技術的突破聯系在一起，滲透于其他很多學科中，散發(fā)著迷人的魅力，它帶領我們穿透自然現象，探尋科學的奧秘，它推動人類文明的發(fā)展，推動科學技術的進步。數學的美無處不在，在自然科學研究方面，甚至在音樂、藝術領域也被印上數學的烙印。生活、烹調、駕車出游、賭博和救生術，無不聯系著有趣的數學問題。出租汽車里的計費器是按什么標準收費的？在按了電鈕以后，電梯為何慢騰騰地遲遲不來？在參加電視大賽“誰想成為百萬富翁”時，最優(yōu)策略是什么？創(chuàng)作深負眾望的流行歌曲里面有沒有數學道理？一根繩子究竟有多長？對于這些問題，你都可以在數學中找到答案。 《青少年科普叢書·思辨數學真諦》以優(yōu)美的文字、廣博的信息和精美的插圖，用娓娓道來的方式講述著一個又一個神奇的數學故事，為大家呈現一個奇幻的數學世界，踏尋從古至今人類在數學發(fā)展中留下的足跡，從有趣的發(fā)明故事到數字體系、幾何、代數、微積分、無限、統(tǒng)計和混沌等眾多理論，使讀者全方位地了解數學的神奇。它主要分數學故事、數學探秘、數學百科三大部分。數學故事主要講述人們對數學各分支的創(chuàng)立與發(fā)展歷程以及應用，如數的起源與結繩記事、黃金分割的妙用、解析幾何的創(chuàng)立、函數的漫漫發(fā)展路等；數學探秘枚舉了數學史上的重大猜想，重點講述了數學猜想的提出、探索、爭論、逐步證實的過程；數學百科介紹了數學這門科學的基礎知識，有數學科學家、數學理論等。用深入淺出、生動活潑的筆觸多角度、多層次地描繪數學的無窮魅力，打造數學的抽象美、協(xié)調美與精確美。 請隨我們一起走進這個神奇的數學世界，在這里，有趣的故事代替枯燥的說教，漂亮的圖片代替繁瑣的數學公式，引領我們一起反省與討論問題，掌握靈活巧妙的思維方法，探索科學的奇妙。

內容概要

這本《精美數學》由寧正新編著：你不必去解算數學題，更不必成為一名數學家，就可以發(fā)現數學的奇妙。
《精美數學》以優(yōu)美的文字、廣博的信息和精美的插圖，用娓娓道來的方式為你講述一個個神奇的數學故事，呈現出一個奇妙的數學世界，探尋從古至今人類在數學發(fā)展史上留下的足跡，從有趣的發(fā)明故事到數學體系、幾何、代數、微積分、無限和統(tǒng)計，全方位地展示數學的神奇！

書籍目錄

序言
數學故事
  數的起源
  數的發(fā)展
  阿拉伯數字的誕生
  分數的起源
  進位計數制
  神奇的縱橫圖
  探索圓周率兀
  數學符號的由來
  勾股定理的衍變
  黃金分割的妙用
  解析幾何的創(chuàng)立
  概率論的發(fā)展
  函數的漫漫發(fā)展之路
  微積分的發(fā)展歷程
  復數的歷史
  代數與代數學
  奇怪的麥比烏斯圈
  “博弈論”的粗淺認知
  最小的自然數和一位數
  話說星期
  出入相補原理的證明
  非歐幾何存在的價值
  拓撲學的由來
  數理邏輯的興起
  運籌學的運用
數學探秘
  費馬大定理的證明
  龐加萊猜想
  黎曼猜想
  四色猜想
  哥德巴赫猜想
  費馬數猜想
  角谷猜想
  不可思議的斐波那契數列
  梅森素數
  孿生素數猜想
  卡邁克猜想
  萊默猜想
  歐拉猜想
  柯克曼女生問題探秘
  首位數謎解
  回歸數猜想
  破解達·芬奇密碼
  典型的數學美
  幾何的三大難題
  探究中國古代數學
  數論探秘
  玻璃杯問題與蜂窩猜想
  模糊數學
  希爾伯特問題
  信息時代的組合數學
數學百科
  勾股定理
  費爾馬大定理
  線性代數
  微分幾何學
  大數定律
  笛卡爾定理
  中心極限定理
  祖咂原理
  有限單群分類定理
  韋伯定律
  海倫公式
  密克定理
  毛球定理
  數學獎項
  奧林匹克數學
  解析幾何創(chuàng)立者笛卡爾
  微積分的代表泰勒
  數學王子高斯
  數學界的斗士伽羅華
  發(fā)現勾股定理的畢達哥拉斯
  幾何之父歐幾里得
  貢獻巨大的費馬
  分析學的化身歐拉
  芝諾的悖論說
  代數之父韋達
  幾何創(chuàng)始人黎曼
  對數創(chuàng)造者納皮爾
  數學家族中的伯努利
  過早隕落的數學流星阿貝爾
  級數創(chuàng)始人傅立葉
  博學多才的數學家萊布尼茨
  數學之父塞樂斯
  數學人物柯西小傳
  數學人物若爾當小傳
  數學人物拉格朗日小傳
  數學人物伽羅瓦小傳

章節(jié)摘錄

　　數的發(fā)展 數系家族成員的壯大 數，是數學中的基本概念，也是人類文明的重要組成部分。數的概念的每一次擴充都標志著數學的巨大飛躍。一個時代的人們對于數的認識與應用，以及數系理論的完善程度，反映了當時數學發(fā)展的水平。今天，我們所應用的數系，已經構造的十分完備和縝密，以至于在科學技術和社會生活的一切領域中，它都成為基本的語言和不可或缺的工具。 人類在進化的蒙昧時期，就具有了一種“識數”的才能，并發(fā)明了種種計數方法。隨著人類社會的進步，數的語言也在不斷發(fā)展和完善。數系發(fā)展的第一個里程碑出現了——位置制計數法。所謂位置制計數法，就是運用少量的符號，通過它們不同個數的排列，以表示不同的數。引起歷史學家、數學史家興趣的是，在自然環(huán)境和社會條件影響下，不同的文明創(chuàng)造了迥然不同的計數方法。如巴比倫的楔形數字系統(tǒng)、埃及象形數字系統(tǒng)、希臘字母數字系統(tǒng)、瑪雅數字系統(tǒng)、印度一阿拉伯數字系統(tǒng)和中國的算籌計數系統(tǒng)。 “0”作為計數法中的空位，在位置制計數的文明中是不可缺少的。早期的巴比倫楔形文字和宋代以前的中國籌算計數法，都是留出空位而沒有符號。 印度人起初也是用空位表示零，后來記成點號“·”，最后發(fā)展為圈號。印度數碼在公元8世紀傳入阿拉伯國家。13世紀初，意大利的商人斐波那契編著《算經》，把包括零號在內完整的印度數碼介紹到了歐洲。印度數碼和10進位位置制計數法被歐洲人普遍接受后，它們在歐洲的科學和文明的進步中扮演了重要的角色。 人類第一個認識的數系，就是常說的“自然數系”。但是，隨著人類認識的發(fā)展，自然數系的缺陷也就逐漸顯露出來。首先，自然數系是一個離散的、而不是稠密的數系，因此，作為量的表征，它只能限于去表示一個單位量的整數倍，而無法表示它的部分。同時，作為運算的手段，在自然數系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它們的逆運算。這些缺陷，由于分數和負數的出現而得以彌補。有趣的是這些分數也都帶有強烈的地域特征。巴比倫的分數是 60進位的，埃及采用的是單分數，阿拉伯的分數更加復雜：單分數、主分數和復合分數。這種繁復的分數表示必然導致分數運算方法的繁雜，所以歐洲分數理論長期停滯不前，直到15世紀以后才逐步形成現代的分數算法。與之形成鮮明對照的是中國古代在分數理論上的卓越貢獻。原始的分數概念來源于對量的分割。但旱?！毒耪滤阈g》中的分數是從除法運算引入的。中國古代分數理論的高明之處是它借助干“齊同術”把握住了分數算法的精髓：通分。而分數系是一個稠密的數系，它對于加、乘、除三種運算是封閉的。為了使得減法運算在數系內也通行無阻，負數的出現就是必然的了。盈余與不足、收入與支出、增加與減少是負數概念在生活中的實例。 負數雖然通過阿拉伯人的著作傳到了歐洲，但16世紀和17世紀的大多數數學家并不承認它們是數，或者即使承認了也并不認為它們是方程的根。如丘凱和斯蒂費爾都把負數說成是荒謬的數，是“無稽之零下”?？ǖぐ沿摂底鳛榉匠痰母?，但認為它們是不可能的解，僅僅是一些記號；他把負根稱作是虛有的。 韋達完全不要負數，巴斯卡則認為從O減去4純粹是胡說。負數是人類第一次越過正數域的范圍。在數系發(fā)展的歷史進程中，現實經驗有時不僅無用，反而會成為一種阻礙。 無理數的發(fā)現經歷了一個漫長的過程。古希臘人把有理數視為是連續(xù)銜接的，然而，一條直線上的有理數盡管“稠密”，但是它卻露出了許多“孔隙 ”，而且這種“孔隙”多得“不可勝數”。15世紀達·芬奇把它們稱為是“無理的數”，開普勒稱它們是“不可名狀”的數。這些“無理”而又“不可名狀” 的數，雖然在后來的運算中漸漸被使用，但是它們究竟是不是實實在在的數，卻一直是個困擾人的問題。中國古代數學在處理開方問題時，也不可避免地碰到無理根數。對于這種“開之不盡”的數，《九章算術》直截了當地“以面命之” 予以接受，劉徽注釋中的“求其微數”，實際上是用10進小數來無限逼近無理數。 17、18世紀微積分的發(fā)展幾乎吸引了所有數學家的注意力，恰恰是人們對微積分基礎的關注，使得實數域的連續(xù)性問題再次凸顯出來。因為，微積分是建立在極限運算基礎上的變量數學，而極限運算，需要一個封閉的數域。無理數正是實數域連續(xù)性的關鍵。法國數學家柯西給出了回答：無理數是有理數序列的極限。然而按照柯西的極限定義，所謂有理數序列的極限，指預先存在一個確定的數，使它與序列中各數的差值，當序列趨于無窮時，可以任意小。 1872年，克萊因提出了著名的“埃爾朗根綱領”，維爾斯特拉斯給出了處處連續(xù)但處處不可微函數的著名例子。同時，實數的三大派理論：戴德金的“分割 ” 理論、康托的“基本序列”理論以及維爾斯特拉斯的“有界單調序列”理論在德國出現。實數的三大派理論本質上是對無理數給出嚴格定義，從而建立了完備的實數域。實數域的構造成功，使得2000多年來存在于算術與幾何之間的鴻溝得以完全填平，無理數不再是“無理的數”了。 復數概念的進化與無理數的認可同時進行。1545年，此時的歐洲人尚未完全理解負數、無理數，然而他們又面臨一個新的“怪物”的挑戰(zhàn)，當時人們對復數充滿懷疑。直到18世紀，數學家們發(fā)現，在數學的推理中間步驟中用了復數，結果都被證明是正確的。特別是1799年，高斯關于“代數基本定理”的證明必須依賴對復數的承認，從而使復數的地位得到了近一步的鞏固。1797年，挪威的韋塞爾寫了一篇論文“關于方向的分析表示”，試圖利用向量來表示復數，遺憾的是這篇文章的重大價值直到1897年譯成法文后，才被人們重視。 瑞士人阿甘達給出復數的一個稍微不同的幾何解釋，他注意到負數是正數的一個擴張，它是將方向和大小結合起來得出的。在澄清復數概念的lT作中，愛爾蘭數學家哈米爾頓是非常重要的。哈米爾頓所關心的是算術的邏輯，并不滿足于幾何直觀。他指出：復數a+bi不是2+3意義上的一個真正的和，加號的使用是歷史的偶然，而bi不能加到a上去。復數a+bi只不過是實數的有序數對（a ， b），并給出了有序數對的四則運算，同時，這些運算滿足結合律、交換率和分配率。在這樣的觀點下，復數被邏輯地建立在實數的基礎上。 由于科學技術發(fā)展的需要，向量、張量、矩陣、群、環(huán)、域等概念不斷產生，把數學研究推向新的高峰。到目前為止，數的家庭已發(fā)展得十分龐大?！　　?/pre>




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　　在現實世界中，數學與生活如影隨形、難以分割。 《青少年科普叢書：精美數學》以豐富詳實的文字以及直觀的圖片為您開啟數學這座奇妙殿堂之門。 在內容上，有的深入淺出介紹數學的重大成就與應用；有的啟迪數學思維與發(fā)現技巧；有的闡釋數學與自然或其他科學的聯系。這些內容為青少年朋友提供了新的觀察視角，借此可以窺探數學的發(fā)展概貌，領略數學文化的豐富多彩。 數學的意義，遠不是我們課上所學的那些公式和法則所能概括的。如果非要用詞語來形容她，那就是：博大精深、千變萬化、包羅萬象、趣味無窮。





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