天才的時代

前言

　　人類孜孜不倦地探索數(shù)學(xué)。在數(shù)字、公式和公理背后，是那些開拓人類數(shù)學(xué)知識前沿的先驅(qū)者的故事。他們中有一些人是天才兒童；有一些人在數(shù)學(xué)領(lǐng)域大器晚成。他們中有富人也有窮人；有男性也有女性；有受過高等教育的，也有自學(xué)成才者。他們中有教授、天文學(xué)家、哲學(xué)家、工程師；也有職員、護(hù)士和農(nóng)民。他們多樣的背景證明了數(shù)學(xué)天賦與國籍、民族、宗教、階級、性別和是否殘疾無關(guān)?！　　皵?shù)學(xué)先鋒”是一套5卷本的叢書。它記錄了50位在數(shù)學(xué)發(fā)展史上扮演過重要角色的數(shù)學(xué)家的生平。這些數(shù)學(xué)家并不是最為顯赫的數(shù)學(xué)家，但是他們的生平事跡和所作的貢獻(xiàn)對初高中學(xué)生很有意義?？偟膩砜矗麄兇碇汕先f人多樣的天賦。無論知名的還是不知名的，這些數(shù)學(xué)家都在面對挑戰(zhàn)和克服障礙的同時，不斷發(fā)明新技術(shù)，發(fā)現(xiàn)新觀念，擴(kuò)展已知的數(shù)學(xué)理論。　　“數(shù)學(xué)先鋒”叢書的每一本書都介紹了生活在一定歷史時期的10位數(shù)學(xué)家的生平和成就。《數(shù)學(xué)的誕生》記錄了從公元前700一公元1300年古希臘、印度、阿拉伯和中世紀(jì)意大利的數(shù)學(xué)家。《天才的時代》介紹了14—18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家，他們來自伊朗、法國、英國、德國、瑞士和美國?！稊?shù)學(xué)的奠基》展現(xiàn)了19世紀(jì)歐洲各國的數(shù)學(xué)家?！冬F(xiàn)代數(shù)學(xué)》與《數(shù)學(xué)前沿》分別記錄了20世紀(jì)早期和20世紀(jì)晚期各國的數(shù)學(xué)家?！　　皵?shù)學(xué)先鋒”叢書講述了人類試圖用數(shù)字、圖案和等式去理解世界的故事。其中一些人創(chuàng)造性的觀點(diǎn)催生了數(shù)學(xué)新的分支；另一些人解決了困擾人類很多個世紀(jì)的數(shù)學(xué)疑團(tuán)；也有一些人撰寫了影響數(shù)學(xué)教學(xué)幾百年的教科書。還有一些人是他們的種族、性別或者國家中最先因?yàn)閿?shù)學(xué)成就獲得肯定的先驅(qū)。每位數(shù)學(xué)家都是突破已有的基礎(chǔ)，使后繼者走得更遠(yuǎn)的創(chuàng)造者?！　?0進(jìn)制的引入到對數(shù)、微積分和計(jì)算機(jī)的發(fā)展，數(shù)學(xué)歷史中最重要的思想經(jīng)歷了逐步的發(fā)展，每一步都是無數(shù)個人的貢獻(xiàn)。很多數(shù)學(xué)思想在被地理和時間分割的不同文明中獨(dú)立的發(fā)展。在同一文明中，一些學(xué)者的名字常常遺失在歷史中，但是他作出的某一個發(fā)明卻融入了后來數(shù)學(xué)家的著述中。因此，要準(zhǔn)確地記錄誰是某一個定理或者某一個確切思想的首創(chuàng)者總是很難的。數(shù)學(xué)并不是由一個人創(chuàng)造，或者為一個人創(chuàng)造，而是整個人類的求索。

內(nèi)容概要

　　《天才的時代：1300—1800年》是一本面向中學(xué)生的數(shù)學(xué)史普及讀物。它以公元14—18世紀(jì)10位偉大數(shù)學(xué)家的生平事跡及其數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)為主線，貫穿以當(dāng)時數(shù)學(xué)研究和時代生活的背景狀況，為我們勾勒出了這一時期數(shù)學(xué)發(fā)展的概貌?！　￠喿x數(shù)學(xué)史著作，有益于我們了解數(shù)學(xué)家的生活和工作，以及數(shù)學(xué)理論的歷史面貌。更重要的是，對思想史、科學(xué)史的了解，可以幫助我們學(xué)會用一種更為深刻的眼光，來看待人類認(rèn)識發(fā)展的內(nèi)在進(jìn)程乃至認(rèn)識本身。據(jù)我所知，國內(nèi)面向大眾的數(shù)學(xué)史通俗讀物為數(shù)并不多，本書的出版應(yīng)該在一定程度上彌補(bǔ)了這一缺憾。通過閱讀本書我們應(yīng)該意識到，雖然今天的小學(xué)生能熟練地列代數(shù)方程解題，中學(xué)生能毫不費(fèi)力地運(yùn)用對數(shù)、復(fù)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，然而這些近乎日常的概念和方法，卻是在幾百年前，方才通過世界上最智慧頭腦的艱難探索孕育而出的?！　⊥瑫r，雖然一些數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)思想背后的原理及證明可能是相當(dāng)艱深的，但是一般讀者卻仍有可能了解到它們的基本內(nèi)容——費(fèi)馬大定理就是典型的例子之一，這也是數(shù)學(xué)這一悠久學(xué)科別具魅力的一點(diǎn)。除了需要一些關(guān)于微積分原理的背景知識外，書中提到的數(shù)學(xué)思想和公式基本上屬于初等數(shù)學(xué)的內(nèi)容。這些并不妨礙我們?nèi)ソ咏鼣?shù)學(xué)史上的那些偉大人物和他們的深邃思想。難能可貴的是，本書對數(shù)學(xué)家們在數(shù)學(xué)之外形形色色的生活特別進(jìn)行了生動的描繪，使我們也得以近距離看到這些天才們一生的平凡與不凡，利于我們增進(jìn)對于數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)史的興趣，他們的事跡同時也是我們學(xué)習(xí)的榜樣。相信讀過此書的讀者，都會有感于我們現(xiàn)在知識的進(jìn)步與生活的便利，是同他們的偉大貢獻(xiàn)分不開的；都會有感于偉大理念的薪火相傳，增加我們心中的崇敬、熱愛之情和歷史責(zé)任感。

作者簡介

　　邁克爾·J.布拉德利（Michael·J.Bradley）是圣母大學(xué)（University of Notre Dame）的數(shù)學(xué)博士，現(xiàn)為梅里馬克學(xué)院數(shù)學(xué)系教授兼主任。是《離散數(shù)學(xué)導(dǎo)論》和《商業(yè)微積分》的作者，同時在《學(xué)院數(shù)學(xué)期刊與數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表文章。邁克爾·J.布拉德利教授擁有23年大學(xué)水平的數(shù)學(xué)教學(xué)、寫作和研究經(jīng)驗(yàn)，并持續(xù)20年為4-12年級學(xué)生講授暑期數(shù)學(xué)。

書籍目錄

前言鳴謝簡介1.吉亞斯丁·阿爾·卡西（約1380—1429）精確的小數(shù)近似早期天文學(xué)著作確定丌的值方根、小數(shù)和穹隆估算sin（1°）的值其他著作結(jié)語擴(kuò)展閱讀2.弗朗索瓦·韋達(dá)（1540—1603）現(xiàn)代代數(shù)學(xué)之父律師，家庭教師，政府官員和密碼破譯員早期的數(shù)學(xué)和自然科學(xué)著作作為分析術(shù)而提出的現(xiàn)代代數(shù)學(xué)提供了多種解法的方程理論幾何、三角與代數(shù)的進(jìn)一步發(fā)展結(jié)語擴(kuò)展閱讀3.約翰·納皮爾（1550—1617）對數(shù)發(fā)明者發(fā)明家和神學(xué)家巫師的傳言納皮爾算籌對乘法運(yùn)算的幫助方便計(jì)算的對數(shù)為世界所贊譽(yù)的對數(shù)其他的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)結(jié)語擴(kuò)展閱讀4.皮埃爾·德·費(fèi)馬（1601—1665）現(xiàn)代數(shù)論之父業(yè)余數(shù)學(xué)家解析幾何的起源微積分的基本思想概率論的基礎(chǔ)確立了現(xiàn)代數(shù)論基礎(chǔ)的素?cái)?shù)及整除性問題用乘方的和表示數(shù)結(jié)語擴(kuò)展閱讀5.布萊茲·帕斯卡（1623—1662）概率論的共同創(chuàng)立者在射影幾何上的發(fā)現(xiàn)可以進(jìn)行加減運(yùn)算的計(jì)算機(jī)器關(guān)于真空和氣壓的實(shí)驗(yàn)概率論的基礎(chǔ)及算術(shù)三角形對旋輪線的研究重新活躍了帕斯卡對數(shù)學(xué)的興趣結(jié)語擴(kuò)展閱讀6.艾薩克·牛頓爵士（1642—1727）微積分、光學(xué)和重力教育和早期生活無窮級數(shù)和一般的二項(xiàng)式定理流數(shù)法引入了微積分學(xué)的形式化理論其他的數(shù)學(xué)論著光學(xué)的新理論運(yùn)動定律和萬有引力定律數(shù)學(xué)和物理學(xué)之外的活動結(jié)語擴(kuò)展閱讀7.戈特弗里德·萊布尼茨（1646—1716）微積分的共同創(chuàng)立者家庭與教育在皇家贊助人府上的任職微積分的通用理論其他數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)哲學(xué)、動力學(xué)及神學(xué)結(jié)語擴(kuò)展閱讀8.萊昂哈特·歐拉（1707—1783）18世紀(jì)的頂尖數(shù)學(xué)家學(xué)生時代，1707—1726早期：圣彼得堡科學(xué)院，1727—1741中期：柏林科學(xué)院，1741—1766回到圣彼得堡科學(xué)院，1766—1783結(jié)語擴(kuò)展閱讀9瑪麗亞·阿涅西（1718—1799）數(shù)學(xué)的語言學(xué)家早期家庭生活《分析講義》對該書的反應(yīng)“阿涅西的女巫”數(shù)學(xué)之后的第二生涯結(jié)語擴(kuò)展閱讀10.本杰明·班尼克（1731—1806）早期的非裔美國科學(xué)家煙農(nóng)木鐘多種興趣天文學(xué)家測繪哥倫比亞特區(qū)1792年年歷專業(yè)的年歷作者榮譽(yù)和紀(jì)念結(jié)語擴(kuò)展閱讀譯者感言

章節(jié)摘錄

　　煙農(nóng)　　本杰明·班尼克1731年11月9日出生于馬里蘭巴爾的摩郊外他外祖父母的煙草農(nóng)場。他是一個經(jīng)歷了兩代奴隸制的家庭中的一個自由人。在1683年，他的外祖母莫莉·韋爾什由于被指控偷牛奶被從英國的一個奶牛場送往馬里蘭的一個煙草農(nóng)場作為定期服務(wù)的奴隸工作了7年。之后她在巴爾的摩的鄉(xiāng)下買下了一片小農(nóng)場和兩個黑奴，4年之后她解放了那兩個奴隸。在1696年，韋爾什與她的前奴隸班納卡（Bannaka）結(jié)婚，他們用班尼基（Baireeky）作為姓。在1730年，他們的大女兒瑪麗與一名叫羅伯特的前黑奴結(jié)婚，并且保留了她的姓。一年之后，瑪麗的4個孩子中的大兒子本杰明出生了。后來他把他的姓的拼法改為班尼克（Banneker）?！　“嗄峥耸艿慕逃秽l(xiāng)下農(nóng)場帶來的隔離和農(nóng)業(yè)生活的需求所限制。在1737年，羅伯特和瑪麗·班尼基在馬里蘭現(xiàn)在叫做奧埃拉的地方購買了100英畝的農(nóng)場。在那里，班尼克一直住在他父親所建造的一座一間房的小木屋里。煙草種植每天都需要大量費(fèi)力的工作，這使他很少有時間能夠用來休息和受教育。當(dāng)他還是一個沒什么職責(zé)的孩子的時候，他的外祖母韋爾什教會了他讀寫。每個冬天的一兩個月中，他也會在本地的學(xué)校中學(xué)習(xí)算術(shù)、歷史和其他學(xué)科。他的有限的正式教育只持續(xù)到他能夠在農(nóng)場里全天干活為止，但是在他的一生中，他持續(xù)地閱讀書報(bào)、喜歡求解數(shù)字謎題，并學(xué)會了演奏小提琴和長笛。　　木鐘　　在22歲的時候，班尼克得到了一個機(jī)會來研究一只懷表的內(nèi)部構(gòu)造。在當(dāng)時懷表是稀有而貴重的。在研究了懷表內(nèi)部齒輪、游絲和發(fā)條錯綜復(fù)雜的配合之后，他設(shè)計(jì)了一座用指針顯示小時和分鐘并且能夠在整點(diǎn)敲鐘報(bào)時的鐘。他用木頭制作了齒輪和其他零件組裝起來并把這獨(dú)一無二的時鐘裝在他家木屋的墻上，這只鐘工作了52年?！　≡?8世紀(jì)50年代的美洲殖民地，能夠制作時鐘的少數(shù)工匠必須要在用專用工具和材料裝備的作坊中作為鐘表匠師傅的徒弟學(xué)習(xí)工作多年才能掌握技術(shù)。對于一位只見過一只懷表的業(yè)余愛好者來說，充分理解鐘表里很多齒輪、游絲和發(fā)條的幾何關(guān)系而且能夠設(shè)計(jì)制造一座可靠的鐘表是一項(xiàng)顯著的成就。班尼克的木鐘讓他在鄉(xiāng)親們中間得到了聲譽(yù)，并且吸引了不少來訪問他的鄉(xiāng)下農(nóng)場的好奇訪問者?！　《喾N興趣　　班尼克的父親在1759年逝世，留下他來照顧他母親，管理他們家的農(nóng)場。除了完成這些工作外，他還保持了對音樂、閱讀、數(shù)學(xué)、科學(xué)和時事的興趣。作為他們那個地區(qū)少數(shù)的文化人，他幫助他的農(nóng)民鄰居做計(jì)算、寫信、閱讀正式信件。在一部分日記中，他記錄了蟬生活的17年的周期和他飼養(yǎng)的蜜蜂的復(fù)雜的舞蹈。他在日記中記載的一個數(shù)學(xué)問題是讓解題者找出4個數(shù)字，它們的和是60，并且第一個數(shù)字加上4，第二個數(shù)字減去4，第三個數(shù)字乘以4，第四個數(shù)字除以4的結(jié)果是一樣的。雖然這個問題不是他的原創(chuàng)，但他對數(shù)學(xué)娛樂的迷戀仍然顯示出了他對數(shù)學(xué)持久的興趣和充分發(fā)展的數(shù)學(xué)能力?！　≡?771年，姓埃利科特（Ellicott）的5兄弟買下了附近帕塔普斯科河岸的一塊地，并建設(shè)了兩座磨坊來把小麥磨成面粉。他們建設(shè)了自己的房屋、磨坊工人的寄宿公寓、一家雜貨店和一座禮拜堂。班尼克花了很多時問來拜訪他的鄰居們、討論政治、閱讀報(bào)紙，并觀察磨坊的工作。后來他跟其中喬治·埃利科特（GeorgeEllicott）成為了密友。雖然埃利科特比班尼克小29歲，但是他們享有對數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的共同愛好?！　√煳膶W(xué)家　　班尼克的母親在18世紀(jì)70年代逝世之后，他逐漸縮減放在農(nóng)事上的精力，抽出更多的時間來從事其他的愛好。在1788年，埃利科特借給他4本天文學(xué)的書，一些天文學(xué)儀器和一架望遠(yuǎn)鏡。這4本書包括詹姆士·弗格森（James：Fezrguson）的《天文學(xué)簡明入門》（An Easy Introduction to Astronoomy）和查爾斯·李德貝特（Charles Leadbetter）的《天文學(xué)精華體系》（A Compleat System of Astronomy）。在幾個月的時間里，他學(xué)習(xí)了如何計(jì)算日出、日落、月出和月落的時間，如何計(jì)算月相，如何計(jì)算每年發(fā)生3—4次的日食和月食的時間。　　在幾個月的學(xué)習(xí)和練習(xí)之后，班尼克將他對一次日食的預(yù)測結(jié)果展示給埃利科特，他只發(fā)現(xiàn)了一處錯誤：為了預(yù)測日食，天文學(xué)家必須做36步計(jì)算，并用到一系列精確的幾何作圖。在他的計(jì)算中，班尼克混淆了弗格森和李德貝特的書中的兩種不同的方法。他修正了他的計(jì)算，正確預(yù)測了1789年4月14日的日食。班尼克對天文學(xué)知識的迅速掌握讓埃利科特留下了深刻印象，并使后者鼓勵他編寫一本年歷。　　在18世紀(jì)，年歷是一個典型的美國家庭擁有的少量印刷品之一。這是一種20—30頁的便宜的小冊子，提供了有用的信息和娛樂性的閱讀材料。船長們指望年歷來得到漲潮落潮的時間，以便掌握起航的最佳時間并幫助他們在海岸的狹窄水道中航行；水手們指望年歷告訴他們星星的位置以便在遠(yuǎn)海精確確定位置；農(nóng)民們指望年歷記載的月相種植和收割，根據(jù)年歷上的日出日落時間安排一天的工作。年歷還起到普通日歷的作用，記載著諸如節(jié)假日、集市和巡回法庭到達(dá)的日期這樣的重要事件。在美國，最著名的兩部年歷是本杰明·富蘭克林在費(fèi)城出版了25年的《窮理查德年歷》（Poor Richard’s Almanac）和直到現(xiàn)在一直在出版的《農(nóng)民年歷》（The Farmer’s Almanac）。　　列出每天太陽、月亮、行星和恒星的時問和位置的表格稱作星歷表。為了得到星歷表所需的精確數(shù)據(jù)，一個天文學(xué)家需要進(jìn)行上千次的計(jì)算和測量，而這是需要真才實(shí)學(xué)的。計(jì)算潮汐的時間是一項(xiàng)相對簡單的工作，因?yàn)槌毕且?guī)律性發(fā)生的，每一次漲潮之間間隔大約12小時25分鐘。確定發(fā)生在天上的事情的時間更加復(fù)雜。在地球繞太陽公轉(zhuǎn)并沿著自己的軸自轉(zhuǎn)的時候，它還在作微小的擺動。月球公轉(zhuǎn)的軌道面和地球的赤道面的夾角的偏差達(dá)到±5°。在只隔幾百英里遠(yuǎn)的地方看起來的天體運(yùn)行狀況可能完全不同，這使得為馬里蘭的農(nóng)民出版的年歷對在紐約或亞特蘭大的人來說可能完全沒用?！　“嗄峥藢⑺锌臻e時間都用來為1791年的年歷進(jìn)行計(jì)算。在完成工作之后，他把井然有序地整理過的年歷的袋子送到巴爾摩的3位出版商那里。一般出版商同意出版一部年歷之前，都會找一位天文學(xué)家檢查年歷中計(jì)算的準(zhǔn)確性。出版商約翰·海斯（John Hayes）把班尼克的年歷送到埃利科特的堂兄弟——著名的工程師和出版了前10年的年歷的天文學(xué)家安德魯·埃利科特（Andrew Ellicott）那里。安德魯·埃利科特檢查了班尼克的計(jì)算，認(rèn)為計(jì)算相當(dāng)準(zhǔn)確。但盡管有著正面的評價，海斯仍然決定不出版這部年歷。由于聯(lián)系新的出版商已經(jīng)過晚了，這部1791年的年歷從來沒有出版過。雖然這次不成功的冒險(xiǎn)讓班尼克失望，但他仍然決心計(jì)算一部1792年的年歷，并注意作出更精確的計(jì)算和更早地確定一個出版商?！　y繪哥倫比亞特區(qū)　　在他為1792年的年歷作出很多工作之前，他得到了另外一個機(jī)會來展示他在天文學(xué)上的天才能力。1776年，美國宣布從英國獨(dú)立，國會在8個不同的地方召開過，因?yàn)檫@個國家沒有一個固定的首都。在1790年，喬治·華盛頓總統(tǒng)和國會通過了在弗吉尼亞和馬里蘭的邊界處劃定一塊100平方英里的聯(lián)邦領(lǐng)地——哥倫比亞特區(qū)的決議。國務(wù)卿托馬斯·杰弗遜委任安德魯·埃利科特領(lǐng)導(dǎo)一個測繪隊(duì)伍來測量和標(biāo)記這塊要在上面建設(shè)首都的邊長10英里的方形土地?！　“＠铺氐男值軅儙桶驳卖敎y繪過賓夕法尼亞和弗吉尼亞，但由于他們當(dāng)時正在測繪紐約州的西部邊界，因此抽不出身來幫助他。他需要一個有天文學(xué)知識，能夠利用天文學(xué)儀器進(jìn)行仔細(xì)測量并能夠進(jìn)行復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算的人。安德魯?shù)奶眯值軉讨巍ぐ＠铺亟ㄗh他雇用班尼克進(jìn)行這項(xiàng)工作，安德魯也想起了班尼兌為年歷作出的令人印象深刻的工作，就向班尼爾提供了這項(xiàng)職位。這位沒有離開過他農(nóng)場周圍幾英里遠(yuǎn)的、59歲的自學(xué)成才的業(yè)余天文學(xué)家和年歷作者接受了這項(xiàng)工作。　　雖然工作的目的是高尚的，但工作的條件是艱苦的。在2—4月間，班尼克在馬里蘭和弗吉尼亞的樹林中的一個寒冷的帳篷里工作。他的主要任務(wù)是維護(hù)一座天文鐘，一種溫度的變化、不太強(qiáng)烈的震動和偶爾的接觸都足以影響的復(fù)雜而敏感的設(shè)備。通過讓這座鐘的時間與可預(yù)測的恒星和其他天體的運(yùn)動吻合，它使得測繪隊(duì)能夠確定他們精確的經(jīng)緯度，以及正北的精確方向。班尼克的工作使他要在晚上觀察記錄恒星、月亮和行星的位置。他在下午觀測太陽并用埃利科特強(qiáng)有力的望遠(yuǎn)鏡觀測其他恒星，在觀測時間的間隙進(jìn)行短暫的休息。他觀測的可靠性和他計(jì)算的準(zhǔn)確性對這次測繪的成功起到極為重要的作用。對一個角度測量的很小的誤差延伸到10公里之外也會造成非常不準(zhǔn)確的結(jié)果?！　∵@個8個人的團(tuán)隊(duì)在3個月的測繪工作中以可接受的精確度定出了這塊邊長10英里的正方形土地的邊界。這個正方形的1四條邊的誤差在263英尺以內(nèi)，小于0.5％；計(jì)劃要求正方形的最北邊的角在最南邊的角的正北方，實(shí)際定出的兩個角連線與正北方的夾角小于1A2度。在埃利科特、法國工程師皮埃爾·夏爾·朗芳（Pierre Charles L’Enfant）以及其他人進(jìn)行工作的下一步——規(guī)劃將要變成華盛頓的這座城市的街道時，班尼克回到了他的農(nóng)場。　　……

編輯推薦

　　“數(shù)學(xué)先鋒”5卷本系列叢書記錄了從古至今的50位享譽(yù)世界的著名數(shù)學(xué)家，他們都對數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了突出的貢獻(xiàn)，是面對挑戰(zhàn)，克服前行道路上的障礙的新技術(shù)、新觀念和數(shù)學(xué)理論的代表。 　　《天才的時代：1300-1800年》收錄了來自英國、法國、德國、波斯、瑞士和美國的10位數(shù)學(xué)精英人物的生平事跡。每章都有一位數(shù)學(xué)家的豐富信息，包括個人研究、發(fā)現(xiàn)和對該領(lǐng)域作出的持久貢獻(xiàn)等，并附有總結(jié)和相關(guān)出版物與在線參考文獻(xiàn)列表。 　　《天才的時代：1300-1800年》包含了近40張黑白照片和線條插圖。同時還有出版物、網(wǎng)絡(luò)資源和相關(guān)協(xié)會的列表等參考文獻(xiàn)?！皵?shù)學(xué)先鋒”是一套基礎(chǔ)讀物，適合學(xué)生、教師以及普通的讀者閱讀，通過閱讀這套書，讀者可以了解到歷史上曾經(jīng)對數(shù)學(xué)作出過巨大貢獻(xiàn)但并不為人們所熟知的那些個人的信息。

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