數(shù)學(xué)的14個(gè)關(guān)鍵詞

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　　您在《數(shù)學(xué)的14個(gè)關(guān)鍵詞》中會(huì)找到所有這些問題的答案：從這14個(gè)關(guān)鍵詞出發(fā)，您就會(huì)明白數(shù)學(xué)的核心思想，真是既開心，又不失嚴(yán)謹(jǐn)?！稊?shù)學(xué)的14個(gè)關(guān)鍵詞》彩色印刷，插圖豐富，適合所有想愉快地了解數(shù)學(xué)知識(shí)的讀者。

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4 質(zhì)數(shù)這些算術(shù)的“原子”有無(wú)窮多個(gè)。正是有了這些質(zhì)數(shù)，我們才得以分析其他數(shù)。盡管它們?cè)诿艽a學(xué)等領(lǐng)域已經(jīng)被用到毫不新鮮的地步，可它們的確切本質(zhì)卻依然是個(gè)謎。11 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)在文藝復(fù)興的時(shí)候以“虛幻之?dāng)?shù)”的名義出現(xiàn)，它們侵略了數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域。但與顧名思義的正相反，這些數(shù)因其與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系而簡(jiǎn)化了計(jì)算。18 與化圓為方確切說(shuō)來(lái)算什么？它能否被寫作一個(gè)分?jǐn)?shù)的形式呢？它是不是某個(gè)方程的解？為了解決這些問題花費(fèi)了數(shù)學(xué)家們兩千年的力氣，這可不是空穴來(lái)風(fēng)。而答案還并沒有面世。24 一些奇特的數(shù)并不是激起數(shù)學(xué)家們興趣的唯一常數(shù)。還有其他許多數(shù)自然而然地從各種分析問題、幾何問題中涌現(xiàn)出來(lái)。以下便是這些數(shù)的一個(gè)選集。26 多項(xiàng)式一個(gè)未知數(shù)、冪與加法：這些就是構(gòu)成多項(xiàng)式的必要原料。它們是物理學(xué)家們的工具，是高中生的方程，同樣也是數(shù)學(xué)家們的研究對(duì)象。34 函數(shù)失業(yè)、犯罪率、股票進(jìn)展的種種演變?nèi)绾伪硎荆哼@些都是我們熟悉的曲線。在這些曲線的背后就有函數(shù)的概念，可能這是數(shù)學(xué)家們最重要的工具。盡管函數(shù)如此常見，其中的問題卻依然層出不窮。41 積分積分以其可怕的計(jì)算練習(xí)而給許多學(xué)生留下了難以忘懷的記憶。但如果忘了那些催生出積分的偉大理論，那就太遺憾了！50 點(diǎn)我們?yōu)g覽一下初中、高中的數(shù)學(xué)書，卻找不到點(diǎn)的定義。點(diǎn)，這一理論上的存在既沒有長(zhǎng)度，也沒有面積，這一人人熟悉的概念，真要說(shuō)清楚卻也并不容易。對(duì)數(shù)學(xué)家而言，它不停地披掛上各種不同的形式。有些數(shù)學(xué)家甚至認(rèn)為它根本不存在。57 三角三角的外形很簡(jiǎn)單，但性質(zhì)非常豐富，這是幾何學(xué)的源頭。數(shù)學(xué)家們從沒停止過(guò)對(duì)三角的研究，他們發(fā)掘出三角的許多性質(zhì)，其中最有名的就是泰勒斯定理和畢達(dá)哥拉斯定理。64 圈點(diǎn)和線，只需這些便能確定一個(gè)圖。但這種簡(jiǎn)單只是表面上的：數(shù)學(xué)中一些最艱深的問題就來(lái)自于這些數(shù)學(xué)對(duì)象。71 算法這一概念主要屬于信息學(xué)專業(yè)，信息學(xué)專業(yè)人士們從這一概念中汲取營(yíng)養(yǎng)，從而編寫出計(jì)算機(jī)程序。在算法的漫長(zhǎng)發(fā)展歷史中，人們發(fā)現(xiàn)了它的幾大重要意義，而這些意義都和操作規(guī)則的概念有關(guān)。78 程序你擁有一臺(tái)計(jì)算機(jī)，但你聽說(shuō)過(guò)Java、Unlx、殺毒甚或LisD嗎？而信息學(xué)，首先就是程序。86 數(shù)值模擬數(shù)值模擬可以給汽車、飛機(jī)的制造者們省錢、省時(shí)間。它可以讓氣象工作者們提前十天作出預(yù)報(bào)。在科學(xué)上，數(shù)值模擬進(jìn)一步完善了理論與實(shí)踐之間的配合。94 復(fù)雜度之樹數(shù)學(xué)家們把那些尚未解決的問題稱為“開放”的問題。那么其他問題都算解決了嗎？這不是那么簡(jiǎn)單的事情，正如我們?cè)谶@棵樹上所看到的，上面有著種種例子。而目標(biāo)就是要盡可能“降低”問題的復(fù)雜性程度。96 隨機(jī)如何產(chǎn)生大量的隨機(jī)數(shù)？20世紀(jì)中葉，隨著數(shù)值模擬的發(fā)明，這一問題變得十分重要。在這項(xiàng)練習(xí)中，計(jì)算機(jī)似乎是最合適的工具，但這樣產(chǎn)生的隨機(jī)也并非毫無(wú)指摘。103 社會(huì)調(diào)查人們一邊說(shuō)社會(huì)調(diào)查不可靠，一邊卻又不停參考社會(huì)調(diào)查：要了解一群人的意見而避免詢問其中的每一個(gè)個(gè)體，社會(huì)調(diào)查便是我們所掌握的唯一工具。110 小測(cè)試111 數(shù)獨(dú)116 數(shù)獨(dú)解答117 填數(shù)120 填數(shù)解答121 小測(cè)試解答122 備忘錄126 索引

章節(jié)摘錄

　　分最令人炫目的發(fā)展是在概率論中。一個(gè)集合的測(cè)度可以證實(shí)集合的好幾項(xiàng)性質(zhì)，其中主要就是集合的加性：對(duì)兩個(gè)互不相交的子集A與B，我們可以得到，m（AB=m（A）+m（B）的關(guān)系。而兩個(gè)獨(dú)立事件的概率也完全遵守這一規(guī)律：發(fā)生A或B的概率正是A事件的概率與B事件的概率之和。我們可以接下去方便地檢驗(yàn)事件并非互相獨(dú)立的情況。因此就有了這樣的想法：把針對(duì)一個(gè)事件集合的概率表達(dá)為這一集合的一個(gè)測(cè)度。比如，我們可以像這樣用一個(gè)勒貝格積分來(lái)表達(dá)平均。我們可以以非常優(yōu)雅的方式用勒貝格積分理論中的冪來(lái)證明概率論的主要定理。比如，著名的大數(shù)定律（即如果我們長(zhǎng)時(shí)間地拋擲硬幣，那么得到的正面和反面一樣多）便來(lái)自經(jīng)典的積分定理?！　∮?jì)算器如何計(jì)算積分？　　惠普和德州儀器所用的計(jì)算方法屬于工業(yè)機(jī)密，連它們的法國(guó)子　　公司都不知道！然而，這些算法本身絕非秘密：存在著大量算法，專業(yè)人士們對(duì)此很熟悉，它們?cè)跀?shù)值計(jì)算方面的數(shù)學(xué)軟件中都很常用。但首先需要聲明的是，所謂的在數(shù)值計(jì)算方面，意味著我們只能得到一個(gè)逼近的值：因此這些計(jì)算多多少少是具有一個(gè)精度的，而對(duì)于一個(gè)給定的精度，計(jì)算的速度和必須的記憶量大小顯然在各種算法中情況大不相同?！　∈紫仁且粋€(gè)相當(dāng)具有直覺性的想法：我們對(duì)長(zhǎng)方形序列的定義稍作修改，其原則就是曲線以下的面積和那些易于計(jì)算的長(zhǎng)方形面積或梯形面積相去不遠(yuǎn)。于是就只需要選擇區(qū)間中的一些點(diǎn)來(lái)計(jì)算一塊逼近的面積。接著，我們把那些點(diǎn)的數(shù)目加倍，直到所求的值之間的差值足夠小，那么計(jì)算就結(jié)束了（龍貝格法）。在這相同的原理下，還有許多其他算法?！　∮嘘P(guān)多項(xiàng)式的研究催生出其他許多算法，這些算法從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看非常美妙。而對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)作積分易如反掌。于是，我們就可以通過(guò)一個(gè)精心選擇的多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)對(duì)任何函數(shù)作積分。這就需要定義函數(shù)空間中的一段距離（又正是通過(guò)積分我們才能定義這樣一段距離）——完全像我們?cè)趯?shí)際空間中通常的距離一樣，并且處理正交多項(xiàng)式族——這又正像日常生活中的互相垂直的兩個(gè)方向一樣。于是，就有了一些（從理論的角度來(lái)看！）非常簡(jiǎn)單的公式——類似于那些從空間中的一點(diǎn)發(fā)展出笛卡兒坐標(biāo)系的公式——使得我們能夠逼近函數(shù)的積分。Maple軟件或者那些卡西歐計(jì)算器就是這樣來(lái)計(jì)算數(shù)值積分的（高斯法）。

編輯推薦

　　如何解讀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)和社會(huì)調(diào)查?　　從哪些方面來(lái)看，計(jì)算機(jī)和手機(jī)的運(yùn)行離不開數(shù)學(xué)？　　質(zhì)數(shù)是如何分布的?　　為什么人們要討論虛數(shù)?　　接著一切便簡(jiǎn)單了！

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