數學的14個關鍵詞

內容概要

　　您在《數學的14個關鍵詞》中會找到所有這些問題的答案：從這14個關鍵詞出發(fā)，您就會明白數學的核心思想，真是既開心，又不失嚴謹?！稊祵W的14個關鍵詞》彩色印刷，插圖豐富，適合所有想愉快地了解數學知識的讀者。

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4 質數這些算術的“原子”有無窮多個。正是有了這些質數，我們才得以分析其他數。盡管它們在密碼學等領域已經被用到毫不新鮮的地步，可它們的確切本質卻依然是個謎。11 復數復數在文藝復興的時候以“虛幻之數”的名義出現(xiàn)，它們侵略了數學以及數學的應用領域。但與顧名思義的正相反，這些數因其與現(xiàn)實的聯(lián)系而簡化了計算。18 與化圓為方確切說來算什么？它能否被寫作一個分數的形式呢？它是不是某個方程的解？為了解決這些問題花費了數學家們兩千年的力氣，這可不是空穴來風。而答案還并沒有面世。24 一些奇特的數并不是激起數學家們興趣的唯一常數。還有其他許多數自然而然地從各種分析問題、幾何問題中涌現(xiàn)出來。以下便是這些數的一個選集。26 多項式一個未知數、冪與加法：這些就是構成多項式的必要原料。它們是物理學家們的工具，是高中生的方程，同樣也是數學家們的研究對象。34 函數失業(yè)、犯罪率、股票進展的種種演變如何表示：這些都是我們熟悉的曲線。在這些曲線的背后就有函數的概念，可能這是數學家們最重要的工具。盡管函數如此常見，其中的問題卻依然層出不窮。41 積分積分以其可怕的計算練習而給許多學生留下了難以忘懷的記憶。但如果忘了那些催生出積分的偉大理論，那就太遺憾了！50 點我們?yōu)g覽一下初中、高中的數學書，卻找不到點的定義。點，這一理論上的存在既沒有長度，也沒有面積，這一人人熟悉的概念，真要說清楚卻也并不容易。對數學家而言，它不停地披掛上各種不同的形式。有些數學家甚至認為它根本不存在。57 三角三角的外形很簡單，但性質非常豐富，這是幾何學的源頭。數學家們從沒停止過對三角的研究，他們發(fā)掘出三角的許多性質，其中最有名的就是泰勒斯定理和畢達哥拉斯定理。64 圈點和線，只需這些便能確定一個圖。但這種簡單只是表面上的：數學中一些最艱深的問題就來自于這些數學對象。71 算法這一概念主要屬于信息學專業(yè)，信息學專業(yè)人士們從這一概念中汲取營養(yǎng)，從而編寫出計算機程序。在算法的漫長發(fā)展歷史中，人們發(fā)現(xiàn)了它的幾大重要意義，而這些意義都和操作規(guī)則的概念有關。78 程序你擁有一臺計算機，但你聽說過Java、Unlx、殺毒甚或LisD嗎？而信息學，首先就是程序。86 數值模擬數值模擬可以給汽車、飛機的制造者們省錢、省時間。它可以讓氣象工作者們提前十天作出預報。在科學上，數值模擬進一步完善了理論與實踐之間的配合。94 復雜度之樹數學家們把那些尚未解決的問題稱為“開放”的問題。那么其他問題都算解決了嗎？這不是那么簡單的事情，正如我們在這棵樹上所看到的，上面有著種種例子。而目標就是要盡可能“降低”問題的復雜性程度。96 隨機如何產生大量的隨機數？20世紀中葉，隨著數值模擬的發(fā)明，這一問題變得十分重要。在這項練習中，計算機似乎是最合適的工具，但這樣產生的隨機也并非毫無指摘。103 社會調查人們一邊說社會調查不可靠，一邊卻又不停參考社會調查：要了解一群人的意見而避免詢問其中的每一個個體，社會調查便是我們所掌握的唯一工具。110 小測試111 數獨116 數獨解答117 填數120 填數解答121 小測試解答122 備忘錄126 索引

章節(jié)摘錄

　　分最令人炫目的發(fā)展是在概率論中。一個集合的測度可以證實集合的好幾項性質，其中主要就是集合的加性：對兩個互不相交的子集A與B，我們可以得到，m（AB=m（A）+m（B）的關系。而兩個獨立事件的概率也完全遵守這一規(guī)律：發(fā)生A或B的概率正是A事件的概率與B事件的概率之和。我們可以接下去方便地檢驗事件并非互相獨立的情況。因此就有了這樣的想法：把針對一個事件集合的概率表達為這一集合的一個測度。比如，我們可以像這樣用一個勒貝格積分來表達平均。我們可以以非常優(yōu)雅的方式用勒貝格積分理論中的冪來證明概率論的主要定理。比如，著名的大數定律（即如果我們長時間地拋擲硬幣，那么得到的正面和反面一樣多）便來自經典的積分定理?！　∮嬎闫魅绾斡嬎惴e分？　　惠普和德州儀器所用的計算方法屬于工業(yè)機密，連它們的法國子　　公司都不知道！然而，這些算法本身絕非秘密：存在著大量算法，專業(yè)人士們對此很熟悉，它們在數值計算方面的數學軟件中都很常用。但首先需要聲明的是，所謂的在數值計算方面，意味著我們只能得到一個逼近的值：因此這些計算多多少少是具有一個精度的，而對于一個給定的精度，計算的速度和必須的記憶量大小顯然在各種算法中情況大不相同?！　∈紫仁且粋€相當具有直覺性的想法：我們對長方形序列的定義稍作修改，其原則就是曲線以下的面積和那些易于計算的長方形面積或梯形面積相去不遠。于是就只需要選擇區(qū)間中的一些點來計算一塊逼近的面積。接著，我們把那些點的數目加倍，直到所求的值之間的差值足夠小，那么計算就結束了（龍貝格法）。在這相同的原理下，還有許多其他算法。　　有關多項式的研究催生出其他許多算法，這些算法從數學的角度來看非常美妙。而對多項式函數作積分易如反掌。于是，我們就可以通過一個精心選擇的多項式函數來對任何函數作積分。這就需要定義函數空間中的一段距離（又正是通過積分我們才能定義這樣一段距離）——完全像我們在實際空間中通常的距離一樣，并且處理正交多項式族——這又正像日常生活中的互相垂直的兩個方向一樣。于是，就有了一些（從理論的角度來看?。┓浅：唵蔚墓健愃朴谀切目臻g中的一點發(fā)展出笛卡兒坐標系的公式——使得我們能夠逼近函數的積分。Maple軟件或者那些卡西歐計算器就是這樣來計算數值積分的（高斯法）。

編輯推薦

　　如何解讀經濟指標和社會調查?　　從哪些方面來看，計算機和手機的運行離不開數學？　　質數是如何分布的?　　為什么人們要討論虛數?　　接著一切便簡單了！

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