千年難題

內(nèi)容概要

《千年難題(七個懸賞1000000美元的數(shù)學問題)》由基思·德夫林著，沈崇圣譯。2000年，美國馬薩諸塞州劍橋的克萊基金會發(fā)起了一場頗具歷史意義的競賽：任何能夠解決七大數(shù)學難題之一的人，在專家認定其解答正確之后，都可以獲得100萬美元的獎金。之前也有過這樣的先例：1900年，當時最偉大的數(shù)學家之一希爾伯特(David
Hilbert)提出了23個問題(現(xiàn)被稱作希爾伯特問題)，在很大程度上為20世紀的數(shù)學設(shè)定了議程。千年難題很可能獲得同樣的地位。對它們的解答(或者解答不出)將對21世紀的數(shù)學研究起到巨大的影響。這些問題涉及純粹數(shù)學和應(yīng)用數(shù)學中大多數(shù)最迷人的領(lǐng)域：從拓撲學和數(shù)論到粒子物理學、密碼學、計算理論甚至飛機設(shè)計。著名的數(shù)學闡釋者德夫林在《千年難題(七個懸賞1000000美元的數(shù)學問題)》中向我們講了這七大難題的內(nèi)容、由來以及它們對數(shù)學和科學的意義。

作者簡介

基思·德夫林（Keith
Devlin，1947—）是美國加利福尼亞州莫拉加市圣瑪麗學院科學系主任，斯坦福大學語言與信息研究中心高級研究員，美國科學院數(shù)學科學教育委員會委員，世界經(jīng)濟論壇成員，美國科學促進會成員，美國全國公共電臺數(shù)學普及節(jié)目主持人。他是22本書的作者，其中包括《數(shù)字化的生命》（Life
by the Numbe）、《數(shù)學：模式的科學》（Mathematics：The Science of
Patter）與《千年難題》（The Millennium Problems）等。

書籍目錄

對本書的評價
內(nèi)容提要
作者簡介
序言
第零章 挑戰(zhàn)已經(jīng)發(fā)出
第一章 素數(shù)的音樂：黎曼假設(shè)
第二章 構(gòu)成我們的是場：楊-米爾斯理論和質(zhì)量缺口假設(shè)
第三章 當計算機無能為力的時候：P對NP問題
第四章 制造波動：納維-斯托克斯方程
第五章 關(guān)于光滑行為的數(shù)學：龐加萊猜想
第六章 解不出方程也明白：伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想
第七章 沒有圖形的幾何學：霍奇猜想
進一步的讀物

章節(jié)摘錄

　　第零章 挑戰(zhàn)已經(jīng)發(fā)出 求知欲是人類的本性之一。遺憾的是，已確立的各種宗教不 再提供令人滿意的答案，這就轉(zhuǎn)變成對確定性和真理的一種需求。這就是數(shù)學為什么而運作，為什么人們?yōu)橹瞰I終身。它是對真 理的渴望，是對驅(qū)動著數(shù)學家的數(shù)學之美妙和優(yōu)雅的回應(yīng)?！巳R（Landon Clay），克萊千年難題的贊助人 2000年5月24日，在巴黎法蘭西學院（College de France）的演講 大廳，世界著名的英國數(shù)學家阿蒂亞（Michael Atiyah）爵士和美國數(shù)學 家泰特（John Tate）宣布，對首先解決七個最困難的懸而未決的數(shù)學問 題中任何一個的人或團體將授予100萬美元的獎金。他們說，這些問 題從此將被稱為“千年難題”（Millennium Problems）。這700萬美元的獎金——每個問題100萬美元，解答在時間上沒 有限制——是由一位富有的美國共同基金投資公司巨頭和業(yè)余數(shù)學愛 好者克萊捐贈的。一年前，克萊就建立了克萊數(shù)學促進會（Clay Mathematics I titute，簡稱CMI），這是設(shè)在他的家鄉(xiāng)馬薩諸塞州劍橋 的一個非營利性組織，旨在促進和支持數(shù)學研究。CMI組織了巴黎會 議，并將掌管千年大獎的角逐。這七大難題是由一個國際知名數(shù)學家小組經(jīng)過數(shù)月選出的。這個 小組由克萊促進會首任會長賈菲（Arthur’Jaffe）博士領(lǐng)導，其成員由 CMI的科學顧問委員會選定。賈菲曾任美國數(shù)學學會會長，現(xiàn)在是哈 佛大學的克萊數(shù)學教授。選題委員會一致認為選出的這七大難題是當 代數(shù)學中最重要的未解決問題。對此大多數(shù)數(shù)學家都會贊同。這些問 題位于數(shù)學主要領(lǐng)域的中心，全世界許多最優(yōu)秀的數(shù)學家曾試圖解決 它們，但都無功而返。擬訂這個問題表的專家之一是懷爾斯（Andrew Wiles）爵士，費馬 大定理這個有330年歷史的難題沒被選人的唯一理由顯然是因為六年 前已被他解決了。其他的專家，除了賈菲之外，還有阿蒂亞和在巴黎作 了演講的泰特，以及法國的孔涅（Alain Connes）和美國的威滕（Edward Witten）。很奇怪，克萊本人不是數(shù)學家。作為哈佛大學的本科生，他主修的 是英文。然而他在其母校資助設(shè)立了一個數(shù)學教席，接著創(chuàng)辦了克萊 數(shù)學促進會（目前他的捐贈達到9000萬美元）和現(xiàn)在的千年大獎。他 說之所以有這些創(chuàng)舉，部分是因為他看到一個如此重要的學科，從公眾 得到的資助卻如此之少。通過提供一大筆獎金并邀請世界新聞界參加 宣布解題競賽開始的會議，克萊確保這些千年難題——乃至整個數(shù) 學——會引起國際媒體的注意。但是為什么要到巴黎開會？答案是歷史。正是在100年前的1900年，巴黎是一次類似事件的 發(fā)生地。起因是第二屆國際數(shù)學家大會。8月8日，德國數(shù)學家希爾 伯特（David Hillbert）——數(shù)學領(lǐng)域中的一位國際領(lǐng)袖，應(yīng)邀發(fā)表演講，他在演講中提出了一個20世紀數(shù)學的議程表。希爾伯特列舉了他判 定為數(shù)學中意義最重大的23個未解決難題。它們隨后被稱為“希爾伯 特問題”，是指引數(shù)學家邁向未來的燈塔。希爾伯特陳述的問題中有少數(shù)幾個比他預(yù)料的要容易，不久就被 解決了。還有幾個問題太不準確而不能得到一個確定的答案。但是絕 大多數(shù)問題確實是十分困難的數(shù)學問題，這些“真正的”希爾伯特問題 中的任一個能得到解答將立即使解答者在數(shù)學界聲譽鵲起，完全就像 獲得諾貝爾獎一樣意義重大。而且還有這樣的好處：這些獲得成功的 數(shù)學家能立刻享有他們（所有的解答者都是男性）成功帶來的好處，而 不必等待數(shù)年之久——在數(shù)學界確認解答正確之時，榮譽同時到達。到2000年，所有真正的希爾伯特問題除了一個之外都已被解決，這 正是數(shù)學家再一次總結(jié)的適宜時間。哪些是第二個千年結(jié)束之時最有 價值的問題？哪些未解決問題是每個人都認為的數(shù)學之珠穆朗瑪峰？巴黎會議部分地是對創(chuàng)造歷史的一種嘗試，但并非完全是。正如 懷爾斯指出的，在擬訂千年難題表時CMI的目的與希爾伯特并不完全 相同?！跋柌卦噲D用他的問題引導數(shù)學的發(fā)展，”懷爾斯說，“我們 則試圖記載重大的未解決難題。在數(shù)學中有著一些大問題，它們很重 要，但很難從中孤立出單獨的問題來在這張列表中占有一席之地?！睋Q 句話說，千年難題不可能向你提供關(guān)于數(shù)學走向的思想。但是它們十 分精彩地簡述了現(xiàn)今的前沿在何處。七大難題 那么千年難題是些什么問題？當今數(shù)學的狀態(tài)使得它們沒有一個 能在缺乏相當多背景知識的情況下被正確地描述出來。這就是為什么 你是在閱讀一本書而不是一篇文章。但現(xiàn)在我至少能為你提供它們的 名稱，并讓你對它們有個初步印象。黎曼假設(shè)這是1900年希爾伯特列出的問題中唯一一個至今還 未解決的問題。全世界的數(shù)學家都認為這個關(guān)于一特定方程之可能解 的看上去晦澀難懂的問題，是數(shù)學中意義最重大的未解決難題。1859年，德國數(shù)學家黎曼（Bernhard。Riemann）試圖回答數(shù)學中最 古老的問題之一：如果素數(shù)在全體計數(shù)數(shù)中的分布具有一定的模式，那么這個模式是什么？在這個過程中，他提出了這個假設(shè)。大約公元 前350年，著名的希臘數(shù)學家歐幾里得（Euclid）證明了素數(shù)是無窮盡 的，即存在無窮多個素數(shù)。此外，由觀察可知，當你向大整數(shù)方向行進 時，素數(shù)好像越來越“稀疏”、越來越少見了。但是你能說得比這更多些 嗎？正如我們將在第一章中看到的，答案是肯定的。黎曼假設(shè)的證明 將加深我們對素數(shù)和對描述素數(shù)的方法的理解。它遠遠不只是滿足數(shù) 學家的好奇心。此外，它在數(shù)學中的影響遠遠超過了素數(shù)的分布模式。它還將在物理學和現(xiàn)代通信技術(shù)中產(chǎn)生影響。楊一米爾斯理論和質(zhì)量缺口假設(shè)數(shù)學發(fā)展的許多動力來自科學，特別是來自物理學。例如，由于物理學的需要，17世紀數(shù)學家牛頓 （Isaac Newton）和萊布尼茨（Gottfried Leibniz）發(fā)明了微積分。通過 為科學家提供了描述連續(xù)運動的一種數(shù)學上的精確方法，微積分徹底 改變了科學。雖然牛頓和萊布尼茨的方法奏效了，但人們大約花了 250年的時間才使微積分背后的數(shù)學得以嚴格地建立起來。今天，在 過去大約半個世紀以來發(fā)展起來的物理學的某些理論中，存在著類似 的情況。這第二道千年難題向數(shù)學家發(fā)出再次趕上物理學家的挑戰(zhàn)。楊一米爾斯方程來自于量子物理學。大約50年之前，物理學家楊 振寧和米爾斯（Robert Mills）在描述除引力之外所有的自然力時建立 了這些方程。他們做了一項杰出的工作。來自這些方程的預(yù)測描述了 在世界各地實驗室中觀察到的粒子。雖然從實踐的角度說楊一米爾斯 理論成功了，但它作為一個數(shù)學理論卻還沒有研究出來。在某種程度 上，這第二道千年難題是要求從公理開始，補上這個理論的數(shù)學發(fā)展。這種數(shù)學將必須符合一些在實驗室中已被觀察到的情況。特別是，它 將（在數(shù)學上）確定“質(zhì)量缺口假設(shè)”，這涉及楊一米爾斯方程的假設(shè)存在 的解。這個假設(shè)已被大多數(shù)物理學家接受，它提供了電子為什么有質(zhì) 量的一種解釋。質(zhì)量缺口假設(shè)的證明被看作對楊一米爾斯理論的數(shù)學 發(fā)展的一個極好的檢驗。它同時也使物理學家受益。他們都不能解釋 電子為什么有質(zhì)量；他們僅僅觀察到它們有質(zhì)量。P對NP問題這是唯一一個關(guān)于計算機的千年難題。許多人將 認為這一點很令人意外。“畢竟，”他們會問，“現(xiàn)在大多數(shù)數(shù)學問題不 都是在計算機上做的嗎？”不，事實上不是。的確，絕大多數(shù)數(shù)值計算是 在計算機上完成的，但是，數(shù)值計算僅僅是數(shù)學的很小一部分，而不是 數(shù)學的主要部分。雖然電子計算機出自于數(shù)學——在20世紀30年代，首臺計算機 建成之前數(shù)年，有關(guān)數(shù)學的最后部分被解決——但計算機領(lǐng)域迄今僅 僅產(chǎn)生了兩個值得包含在世界最重大問題之中的數(shù)學問題。這兩個問 題涉及的計算是作為概念上的過程而不是任何特殊的計算設(shè)備，然而 這不妨礙它們對真正的計算發(fā)揮重要的影響。希爾伯特把它們中的一 個作為第10個問題寫在他的1900年列表上。這個問題在1970年被 解決，它要求證明某類方程不能由計算機解出。P1-5

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