最后的消遣

內(nèi)容概要

　　馬丁·加德納是美國著名的數(shù)學(xué)趣題大師，為《科學(xué)美國人》雜志撰寫專欄文章幾乎成了他的專利，從1956年到1986年，長(zhǎng)達(dá)30年之久。《最后的消遣》是他第15本，也是最后一本集子，包括了平面宇宙，雞蛋趣話，扭結(jié)拓?fù)鋵W(xué)和有向圖等各種有趣的問題，是這位已故的數(shù)學(xué)大師留給我們的最后一本數(shù)學(xué)財(cái)富。

書籍目錄

序言第1章　小素?cái)?shù)的強(qiáng)規(guī)律第2章　跳棋游戲，第一部分第3章　跳棋游戲，第二部分第4章　模數(shù)算術(shù)與赫默的邪惡女巫第5章　拉維尼婭尋找公寓及其他趣題第6章　斯科特·金的對(duì)稱作品第7章　拋物線第8章　非歐幾何第9章　選舉的數(shù)學(xué)第10章　一個(gè)環(huán)面悖論與其他趣題第11章　最小斯坦納樹第12章　三值圖，蛇鯊與薄俱魔進(jìn)階讀物

章節(jié)摘錄

　　早就有人指出，同一棋盤上可以同時(shí)進(jìn)行互不相關(guān)的兩盤跳棋比賽，其 一 在黑格上玩，另一盤在白格上下。一個(gè)王棋最多能跳過對(duì)方的幾只王棋？答案是9只，排列成3x3的正方 形。兩只王棋通常能擊敗一只王棋？這是眾所周知的。并非為人熟知的是3 只 王棋也能擊敗對(duì)方的2只王棋，即便它們處在雙角隅的位置。一般來說，3只 王 棋戰(zhàn)勝2只王棋的最好辦法是迫使對(duì)方交換吃子？從而變成兩對(duì)一的局勢(shì)。給盲人使用的棋盤與棋子都已投放市場(chǎng)。為了使棋子就位，方格是凹的。雙方的棋子，一方的呈圓形，另一方的則呈方形。有位名叫施瓦茨的讀者提請(qǐng)我注意，在4x4微型棋盤上，2只王棋無法擊 敗對(duì)方在雙角隅游走的一只王棋。為了實(shí)施人們熟知的戰(zhàn)術(shù)，棋盤的大小至 少 應(yīng)為6x6。施瓦茨還發(fā)現(xiàn)？在3只王棋與2只占角王棋對(duì)抗時(shí)，如果是在標(biāo)準(zhǔn) 的8x8棋盤上，前者可以穩(wěn)操勝券，然而在更大的棋盤上，雙方將打成平局。時(shí)任美國國際跳棋協(xié)會(huì)名譽(yù)秘書的基希（Ike Kisch）寫信告訴我，在10x 10棋盤上玩的“波蘭跳棋”現(xiàn)已更名為“國際跳棋”。按照基希的說法，波 蘭跳棋 這個(gè)名稱起源于法國，時(shí)間大約在1750年左右，其時(shí)有一位波蘭紳士引進(jìn)了 100個(gè)方格的棋盤。后來它在法國流行起來，并迅速傳播到其他國家，尤其 在俄 羅斯與荷蘭更加受人歡迎。對(duì)熟悉計(jì)算機(jī)復(fù)雜性的讀者來說，現(xiàn)已證明，擴(kuò)大到2nx2n棋盤上的跳 棋，同擴(kuò)大的圍棋一樣，都具有“P空間難度”。這就意味著，類似于象棋 或圍棋 的其他棋類游戲在擴(kuò)大到nxn棋盤時(shí)？可以用與之等價(jià)的跳棋對(duì)局來模擬，其 時(shí)棋盤的尺寸將是n的一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)。跳棋有P空間難度的證明，是由以色 列學(xué)者弗蘭克爾作出的，他的合作者是美國貝爾實(shí)驗(yàn)室的加里（Michael Garey）與約翰遜（David Joh on）。羅杰斯（John Roge ，1829-1904年）是早年美國的一位有名的雕塑家，他 的作品“巴黎的石膏像”已成為當(dāng)?shù)匾痪?，為他贏得了他那個(gè)時(shí)代的“三維 空間 的羅克韋爾（Norman Rockwell）”美名。他最為人稱道的作品是“農(nóng)場(chǎng)里的 跳棋 手”。僅在美國就售出了5000件這一作品的復(fù)制品。1979年，羅杰斯紀(jì)念協(xié) 會(huì) 曾經(jīng)制造并出售了這一藝術(shù)作品的青銅復(fù)制件，在全世界限售650件（見圖 3.2）。圖中，那位年輕的棋手正得意洋洋地指著他的致勝一步。羅杰斯原先 制作 的“巴黎石膏像”的許多復(fù)制品經(jīng)常出現(xiàn)在古董商店與展覽會(huì)上，通常是在 有 破損的情況下，根據(jù)其品相，售價(jià)從500美元到超過1000美元。人工智能的學(xué)科創(chuàng)建者們?cè)?jīng)由于預(yù)言失靈而聲名狼藉，當(dāng)時(shí)他們?cè)鴵P(yáng) 言，國際象棋的計(jì)算機(jī)程序?qū)魯∷械南笃宕髱煻鴬Z得世界冠軍。類似地，過分樂觀的預(yù)言在跳棋界也不乏先例。例如蘭德公司的貝爾曼曾發(fā)表過一篇 論文《論動(dòng)態(tài)規(guī)劃在象棋與跳棋中決定最優(yōu)策略時(shí)的應(yīng)用》（見《美國科學(xué) 院會(huì) 議錄》第53卷，1965年2月，第244—247頁）。他在論文中寫道：“在有了更 大 型的電子計(jì)算機(jī)之后……看來可以十拿九穩(wěn)地預(yù)言：10年之內(nèi)？跳棋將成為 一 種完全可以事先決定的游戲。”從貝爾曼的輕率預(yù)言出口之時(shí)算起，30多年過去了，盡管跳棋程序改進(jìn) 得 非常之快，然而跳棋仍然遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能認(rèn)為已能被事先決定。當(dāng)我在1996年撰寫 本文時(shí)，已有好幾個(gè)性能很好的跳棋程序可以用錢買到，其中最優(yōu)秀的程序 名 為CHINOOK，研發(fā)者是加拿大阿爾伯特省埃德蒙頓市阿爾伯特大學(xué)的三位計(jì) 算機(jī)科學(xué)家謝弗（Jonathan Schaeffer）、萊克（Bobert Lake）、盧（Paul Lu），協(xié)作 者還有兩位跳棋專家布賴恩特（Martin Bryant）和特雷洛爾（Norman Treloar）。在1996年謝弗、萊克、盧、布賴恩特四人合寫的《CHINHIK——人機(jī)對(duì)話世 界 跳棋冠軍》一書中，故事被作了戲劇性的渲染。另一本由謝弗執(zhí)筆編寫的關(guān) 于 CHINOOK的非技術(shù)書，也已被斯普林格出版社列入1997年的出版計(jì)劃。1990年，廷斯利在表演賽中同CHINOOK程序首次進(jìn)行了交鋒，他贏了一 局，平13局，一局未輸。1992年，他同該程序在倫敦正式交鋒。廷斯利贏4 局，輸2局，平33局。輸?shù)倪@兩局只是廷斯利長(zhǎng)達(dá)42年的跳棋生涯中輸?shù)舻牡? 局與第7局！1994年，再次進(jìn)行了交鋒。CHINOOK程序已經(jīng)過大大改進(jìn)，增加了幾十 種新的秘密的開局“妙著”，它有能力搜索博弈樹的所有分支，深度達(dá)到21 步 以上。交戰(zhàn)情況是，前六局都打成平局。后來，廷斯利退出了比賽，他說要 到醫(yī) 院去檢查身體。他被確診為患上癌癥，在1995年去世。終其一生，他是一位 打 不敗的世界冠軍。他的退出使CHINOOK獲得了世界跳棋冠軍的稱號(hào)，但問題 依然懸而未決：廷斯利與CHINOOK，究竟誰是更好的跳棋手？由于同跳棋大師拉弗蒂（Don Lafferty）打成平手，CHINOOK程序保住了 它 的冠軍稱號(hào)。1995年，雙方再次較量，程序仍是贏家，雙方的交戰(zhàn)結(jié)果是：程序 勝一局，平31局，一局未失。目前的人類世界冠軍是金（Ron King）。迄今為止，他尚未同CHINOOK進(jìn) 行過正式交鋒。不過謝弗與其助手們滿懷信心地認(rèn)為，廷斯利死后，世上已 經(jīng) 沒有任何棋手能打得過CHIN00K了。目前，世界上最拔尖的四位頂級(jí)高手排 名如下：CHINOOK 2712分，金2632分，朗2631分，拉弗蒂2625分。CHINOOK程序幾乎天天都在改進(jìn)，它的編寫者們真心希望“解決”一切 問 題，直到它能下出完美的棋局。P40-43

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