2的平方根

前言

在我撰寫本書的時候，我想象這是一位“老師”與一位“學生”的對話——老師人到中年，不僅精通數(shù)學，而且十分敬業(yè)，就像藝術家對他的藝術一樣，對自己的工作充滿熱情；學生即將成年，他表達清晰，勇于探索，渴望更博學的老師所給予的任何知識。當您預備閱讀本書時，也請您作這樣的理解。他們的對話——我沒有描寫確切的場景——是老師創(chuàng)設的，目的之一是讓學生體會數(shù)的概念遠比最初能想見的微妙得多。他們的數(shù)學之旅始于老師用一系列問答引導學生，通過一個漂亮而又簡單的幾何范例（據(jù)信產(chǎn)生于古代印度），建立了一個確定的數(shù)的存在性，而關于這個數(shù)的性質(zhì)的知識就必然是隨后問答二重奏的基本內(nèi)容。老師的高明之處在于他希望學生領略一點數(shù)學的奧秘，更在于他引導學生一步一步逐漸熟悉數(shù)學推理，在自己“發(fā)現(xiàn)事物”的過程中體驗純粹的快樂。正開始探索的年輕的學習者很快感受到發(fā)現(xiàn)的喜悅，經(jīng)過一番探索與努力，他遇見一個數(shù)列，他猜想這個數(shù)列與老師所展示出來的神奇的數(shù)有密切的聯(lián)系，這對他來說是彌足珍貴的獎勵。為這個幸運的發(fā)現(xiàn)所誘惑，強烈的好奇心驅使他迫不及待地投入工作，去更多地了解這個數(shù)，了解這個數(shù)與已令他著迷的數(shù)列間的聯(lián)系。這本共有五章的書便由此開始。我盡力使前四章具有獨立性。當日常語言能達到同樣目的時我避免使用數(shù)學記號，雖然語言敘述略顯冗長。數(shù)學記號的運用不超出最簡單的高中代數(shù)的范圍，但表達方式明顯反映對這個數(shù)學分支的需要。

內(nèi)容概要

《2的平方根》像是一位“老師”與一個“學生”的對話。老師通過一系列問答引導學生，通過一個漂亮而又簡單的幾何范例，建立了一個關于2的平方根的問答二重奏。博學的老師引導學生一步步逐漸熟悉數(shù)學推理，在自己“發(fā)現(xiàn)事物”的過程中體驗純粹的快樂。年輕的學生為2的平方根以及與這個神奇的數(shù)有密切聯(lián)系的一個數(shù)列所誘惑，迫不及待的投入工作，渴求老師所給予的任何知識。書中運用的數(shù)學符號不超出最簡單的高中代數(shù)的范圍，所使用的代數(shù)方法是簡單的，卻非常巧妙的，向我們展示了運用少量的工具和技巧能夠做那么多事。在老師和學生的一問一答中，讀者跟隨著他們踏上一段數(shù)學之旅。

作者簡介

戴維·弗蘭納里(David Flanneiy)，從1975年起便在愛爾蘭科克理工學院教授數(shù)學。除本書以外，他還與女兒莎拉·弗蘭納里(Sarah Flannery)合著了圖書《關于代碼——一次數(shù)學之旅》(In Code-A Mathematical Journey)，受到廣泛好評。

書籍目錄

序言第一章 提出恰當?shù)膯栴}第二章 無理性及其推論第三章 代數(shù)的功能第四章 戲法第五章 補遺與拾零尾聲各章注釋致謝

章節(jié)摘錄

插圖：數(shù)的性質(zhì)的一個悖論——一個明顯的矛盾。所以你從來就知道我的搜尋將是徒勞。就你的目標來說是徒勞，但從旁的意義來說又不是徒勞。我并不想讓你做無謂的游戲。很多人都堅信，無論多么難于尋找，一定存在著平方準確等于2的分數(shù)，你不是第一個這樣想的人。此外，我還希望你能親身經(jīng)歷探索和研究，體驗自己獨立發(fā)現(xiàn)的樂趣。我必須集中精神想一想。我不否認單位正方形的對角線有一個長度。事實上，這個長度顯然大于1個單位，而且據(jù)我們所知，小于1.5個單位。你又告訴我，這條對角線的長度不能表示為一個單位加上一個單位的分數(shù)倍。完全正確。雖然對商業(yè)界來說，有理數(shù)完全夠用了，但有理數(shù)卻不能承擔精確度量單位正方形對角線長度的任務。一個有理數(shù)，無論它多么接近于這個長度，卻始終存在著誤差，這個誤差可能非常小，但永遠不會消失。古人這樣描述這種情形：正方形的對角線與正方形的一條邊不可公度。因此，如果我們堅持認為所有的數(shù)就是我們所熟悉的數(shù)，也就是有理數(shù)的話，我們就不得不說，沒有一個數(shù)能表示這條對角線的長度，或者說沒有一個數(shù)的平方是2。是的。但我們?yōu)槭裁窗炎约合拗圃谶@種觀點之中呢？這看來很自然。也許是這樣，不過，這種想法看來自然，是因為大多數(shù)人的經(jīng)驗僅限于處理有理數(shù)。但正如你所說，如果我們堅持認為有理數(shù)是唯一類型的數(shù)，我們就得準備生活在這樣一個世界里，在這里，有些長度不可度量，而有些數(shù)沒有平方根。因此我們必須接受其他類型的數(shù)的存在。對數(shù)學家而言，為了證明精確地等于單位正方形對角線長度的分數(shù)不存在，就必須擴充數(shù)的構成的概念。

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