2的平方根

前言

在我撰寫(xiě)本書(shū)的時(shí)候，我想象這是一位“老師”與一位“學(xué)生”的對(duì)話(huà)——老師人到中年，不僅精通數(shù)學(xué)，而且十分敬業(yè)，就像藝術(shù)家對(duì)他的藝術(shù)一樣，對(duì)自己的工作充滿(mǎn)熱情；學(xué)生即將成年，他表達(dá)清晰，勇于探索，渴望更博學(xué)的老師所給予的任何知識(shí)。當(dāng)您預(yù)備閱讀本書(shū)時(shí)，也請(qǐng)您作這樣的理解。他們的對(duì)話(huà)——我沒(méi)有描寫(xiě)確切的場(chǎng)景——是老師創(chuàng)設(shè)的，目的之一是讓學(xué)生體會(huì)數(shù)的概念遠(yuǎn)比最初能想見(jiàn)的微妙得多。他們的數(shù)學(xué)之旅始于老師用一系列問(wèn)答引導(dǎo)學(xué)生，通過(guò)一個(gè)漂亮而又簡(jiǎn)單的幾何范例（據(jù)信產(chǎn)生于古代印度），建立了一個(gè)確定的數(shù)的存在性，而關(guān)于這個(gè)數(shù)的性質(zhì)的知識(shí)就必然是隨后問(wèn)答二重奏的基本內(nèi)容。老師的高明之處在于他希望學(xué)生領(lǐng)略一點(diǎn)數(shù)學(xué)的奧秘，更在于他引導(dǎo)學(xué)生一步一步逐漸熟悉數(shù)學(xué)推理，在自己“發(fā)現(xiàn)事物”的過(guò)程中體驗(yàn)純粹的快樂(lè)。正開(kāi)始探索的年輕的學(xué)習(xí)者很快感受到發(fā)現(xiàn)的喜悅，經(jīng)過(guò)一番探索與努力，他遇見(jiàn)一個(gè)數(shù)列，他猜想這個(gè)數(shù)列與老師所展示出來(lái)的神奇的數(shù)有密切的聯(lián)系，這對(duì)他來(lái)說(shuō)是彌足珍貴的獎(jiǎng)勵(lì)。為這個(gè)幸運(yùn)的發(fā)現(xiàn)所誘惑，強(qiáng)烈的好奇心驅(qū)使他迫不及待地投入工作，去更多地了解這個(gè)數(shù)，了解這個(gè)數(shù)與已令他著迷的數(shù)列間的聯(lián)系。這本共有五章的書(shū)便由此開(kāi)始。我盡力使前四章具有獨(dú)立性。當(dāng)日常語(yǔ)言能達(dá)到同樣目的時(shí)我避免使用數(shù)學(xué)記號(hào)，雖然語(yǔ)言敘述略顯冗長(zhǎng)。數(shù)學(xué)記號(hào)的運(yùn)用不超出最簡(jiǎn)單的高中代數(shù)的范圍，但表達(dá)方式明顯反映對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)分支的需要。

內(nèi)容概要

《2的平方根》像是一位“老師”與一個(gè)“學(xué)生”的對(duì)話(huà)。老師通過(guò)一系列問(wèn)答引導(dǎo)學(xué)生，通過(guò)一個(gè)漂亮而又簡(jiǎn)單的幾何范例，建立了一個(gè)關(guān)于2的平方根的問(wèn)答二重奏。博學(xué)的老師引導(dǎo)學(xué)生一步步逐漸熟悉數(shù)學(xué)推理，在自己“發(fā)現(xiàn)事物”的過(guò)程中體驗(yàn)純粹的快樂(lè)。年輕的學(xué)生為2的平方根以及與這個(gè)神奇的數(shù)有密切聯(lián)系的一個(gè)數(shù)列所誘惑，迫不及待的投入工作，渴求老師所給予的任何知識(shí)。書(shū)中運(yùn)用的數(shù)學(xué)符號(hào)不超出最簡(jiǎn)單的高中代數(shù)的范圍，所使用的代數(shù)方法是簡(jiǎn)單的，卻非常巧妙的，向我們展示了運(yùn)用少量的工具和技巧能夠做那么多事。在老師和學(xué)生的一問(wèn)一答中，讀者跟隨著他們踏上一段數(shù)學(xué)之旅。

作者簡(jiǎn)介

戴維·弗蘭納里(David Flanneiy)，從1975年起便在愛(ài)爾蘭科克理工學(xué)院教授數(shù)學(xué)。除本書(shū)以外，他還與女兒莎拉·弗蘭納里(Sarah Flannery)合著了圖書(shū)《關(guān)于代碼——一次數(shù)學(xué)之旅》(In Code-A Mathematical Journey)，受到廣泛好評(píng)。

書(shū)籍目錄

序言第一章 提出恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題第二章 無(wú)理性及其推論第三章 代數(shù)的功能第四章 戲法第五章 補(bǔ)遺與拾零尾聲各章注釋致謝

章節(jié)摘錄

插圖：數(shù)的性質(zhì)的一個(gè)悖論——一個(gè)明顯的矛盾。所以你從來(lái)就知道我的搜尋將是徒勞。就你的目標(biāo)來(lái)說(shuō)是徒勞，但從旁的意義來(lái)說(shuō)又不是徒勞。我并不想讓你做無(wú)謂的游戲。很多人都堅(jiān)信，無(wú)論多么難于尋找，一定存在著平方準(zhǔn)確等于2的分?jǐn)?shù)，你不是第一個(gè)這樣想的人。此外，我還希望你能親身經(jīng)歷探索和研究，體驗(yàn)自己獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣。我必須集中精神想一想。我不否認(rèn)單位正方形的對(duì)角線有一個(gè)長(zhǎng)度。事實(shí)上，這個(gè)長(zhǎng)度顯然大于1個(gè)單位，而且據(jù)我們所知，小于1.5個(gè)單位。你又告訴我，這條對(duì)角線的長(zhǎng)度不能表示為一個(gè)單位加上一個(gè)單位的分?jǐn)?shù)倍。完全正確。雖然對(duì)商業(yè)界來(lái)說(shuō)，有理數(shù)完全夠用了，但有理數(shù)卻不能承擔(dān)精確度量單位正方形對(duì)角線長(zhǎng)度的任務(wù)。一個(gè)有理數(shù)，無(wú)論它多么接近于這個(gè)長(zhǎng)度，卻始終存在著誤差，這個(gè)誤差可能非常小，但永遠(yuǎn)不會(huì)消失。古人這樣描述這種情形：正方形的對(duì)角線與正方形的一條邊不可公度。因此，如果我們堅(jiān)持認(rèn)為所有的數(shù)就是我們所熟悉的數(shù)，也就是有理數(shù)的話(huà)，我們就不得不說(shuō)，沒(méi)有一個(gè)數(shù)能表示這條對(duì)角線的長(zhǎng)度，或者說(shuō)沒(méi)有一個(gè)數(shù)的平方是2。是的。但我們?yōu)槭裁窗炎约合拗圃谶@種觀點(diǎn)之中呢？這看來(lái)很自然。也許是這樣，不過(guò)，這種想法看來(lái)自然，是因?yàn)榇蠖鄶?shù)人的經(jīng)驗(yàn)僅限于處理有理數(shù)。但正如你所說(shuō)，如果我們堅(jiān)持認(rèn)為有理數(shù)是唯一類(lèi)型的數(shù)，我們就得準(zhǔn)備生活在這樣一個(gè)世界里，在這里，有些長(zhǎng)度不可度量，而有些數(shù)沒(méi)有平方根。因此我們必須接受其他類(lèi)型的數(shù)的存在。對(duì)數(shù)學(xué)家而言，為了證明精確地等于單位正方形對(duì)角線長(zhǎng)度的分?jǐn)?shù)不存在，就必須擴(kuò)充數(shù)的構(gòu)成的概念。

編輯推薦

《2的平方根:關(guān)于一個(gè)數(shù)與一個(gè)數(shù)列的對(duì)話(huà)》：發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)叢書(shū)

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