組合問題

前言

　　讀書，是天下第一件好事?！　抢蠋?。他循循善誘，傳授許多新鮮知識，使你的眼界與思路大開?！　?，是朋友。他與你切磋琢磨，研討問題，交流心得，使你的見識與能力大增。　　書的作用太大了！　　這里舉一個例子：常庚哲先生的《抽屜原則及其他》（上海教育出版社，1980年）問世后，很快地，連小學生都知道了什么是抽屜原則。而在此以前，幾乎無人知道這一名詞?！　∽x書，當然要讀好書。　　常常有人問我：哪些奧數(shù)書好？希望我能推薦幾本?！　∥铱催^的書不多。最熟悉的是上海的出版社出過的幾十本小冊子。可惜現(xiàn)在已經(jīng)成為珍本，很難見到。幸而上?？萍冀逃霭嫔缂磳⑼瞥鲆惶住皵?shù)學奧林匹克命題人講座”叢書，幫我回答了這個問題。

內(nèi)容概要

人們還是采取這樣的方式，把一個組合問題還原成一個代數(shù)或分析問題（對應和估計），就像面對幾何一樣。于是，許多極端復雜的組合細節(jié)就可忽略。復雜性是人類而不是個人面臨的困難（比如癌癥、天氣預報等，都是復雜性在困擾人類），但是奧林匹克數(shù)學命題考察的是個人能力，所以命題者盡可以避開組合復雜性。也就是說，組合問題必可用整體對應、代數(shù)還原或局部處理這幾類方法解決。如果你在做題時遇到非常棘手的困難，毫無思路，那必定是陷入了組合細節(jié)的復雜性中，而沒有想到或找到前幾種方法。對于命題者來說，如果所出的組合問題只有組合細節(jié)的話，那么只能用小的數(shù)字一一列舉，否則就不應該是學生做的題。尤其是組合數(shù)學和初等數(shù)論中的問題，題目本身往往具有偽裝性，什么是不能做的，什么是研究性質(zhì)的，什么是學生的思考題，一下子看不出來。只要稍做改動，就可能由一道常規(guī)題變成世界難題了。所以，命題比解題更重要，尤其是對組合與數(shù)論的一些雜題而言。

作者簡介

劉培杰，哈爾濱工業(yè)大學出版社第四編輯室主任，副編審。從1985年開始從事數(shù)學奧林匹克培訓、命題及研究工作，在20多年的教學中共培訓學生近萬人次，多人次獲獎，其中包括1M0金牌兩塊。多次為競賽活動命題，包括全國初中數(shù)學聯(lián)賽及希望杯競賽；多年來一直是黑龍江省初高中及哈爾濱市競賽命題組成員。共發(fā)表數(shù)學競賽方面論文60余篇，在上海教育出版社、上?？萍冀逃霭嫔绲葐挝怀霭嬗嘘P競賽方面的研究專著近10部。

書籍目錄

前言第一講　常規(guī)計數(shù)方法　1.1　分類法　1.2　運用組合數(shù)　1.3　容斥原理第二講　對應方法　2.1　集合中的對應　2.2　數(shù)列中的對應　2.3　幾何及雜題中的對應第三講　數(shù)學歸納法第四講　遞推言法  4.1　數(shù)列遞推  4.2　幾何及雜題中的遞推第五講　代數(shù)雜題舉隅第六講　構(gòu)造方法  6.1　賦值法  6.2　構(gòu)造函數(shù)　6.3　模型法第七講　幾何雜題舉隅第八講　組合計算　8.1　求和與算兩次　8.2　給合恒等式第九講　游戲問題舉隅參考答案及提示

章節(jié)摘錄

　　第一講　常規(guī)計數(shù)方法　　當前，由于計算機的發(fā)展和信息時代的需求，組合數(shù)學在數(shù)學中的地位已變得越來越重要，這從歷屆菲爾茲獎和沃爾夫獎的頒發(fā)中就可看出。以至于有人說，組合數(shù)學現(xiàn)在可有個更“正”的名字——組合學。計數(shù)是組合數(shù)學中一個最基本的方向，主要研究一定條件下的安排方式的數(shù)目。計數(shù)問題非常廣泛，其高端是現(xiàn)代數(shù)學的研究課題，低端則是小學生的趣題?！　o論是國內(nèi)國外，組合問題都是高中數(shù)學競賽的“超級大國”之一，其問題往往也最為精彩（尤其是俄羅斯乃至東歐各國的），最能體現(xiàn)競賽數(shù)學的智巧和精神。這一講介紹的是常規(guī)計數(shù)方法。

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