好的數(shù)學(xué)

前言

　　美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說過：“問題是數(shù)學(xué)的心臟”。這一數(shù)學(xué)名言言簡意賅地點(diǎn)明了數(shù)學(xué)問題對數(shù)學(xué)的重要性?！　?900年8月，在巴黎召開的第二次國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，德國數(shù)學(xué)家希爾伯特作了題為“數(shù)學(xué)問題”的著名演講。這一演講，成為世界數(shù)學(xué)史的重要里程碑，為20世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展揭開了光輝的第一頁。這個(gè)演講中由希爾伯特提出的23個(gè)當(dāng)時(shí)未解決的難題，此后以“希爾伯特問題”著稱。而對這些具有遠(yuǎn)見卓識的難題的研究貫穿了整個(gè)20世紀(jì)，刺激、推動(dòng)了20世紀(jì)整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展?！　∶兰A裔數(shù)學(xué)大師陳省身在工985年南開數(shù)學(xué)研究所成立時(shí)指出：“一定要做好的數(shù)學(xué)”，“有好的數(shù)學(xué)和不好的數(shù)學(xué)之分”，“要從年輕時(shí)就懂得欣賞好的數(shù)學(xué)”?！　∮蛇@兩個(gè)事例中，我們可進(jìn)一步體會(huì)到好的數(shù)學(xué)問題對數(shù)學(xué)的極端重要性。那么什么是好的數(shù)學(xué)問題呢？在陳省身看來，只有那些有深遠(yuǎn)意義，可以不斷深入，有發(fā)展前途，可以影響許多學(xué)科的數(shù)學(xué)問題才是“好的數(shù)學(xué)”，如解方程。而另一些雖然可能也蠻有意思，但難以有進(jìn)一步發(fā)展的數(shù)學(xué)卻是“不好的數(shù)學(xué)”，如“拿破侖定理”。而在希爾伯特看來，好的數(shù)學(xué)問題在于它有用而且增進(jìn)知識，數(shù)學(xué)史上重要的特殊問題就在于其能創(chuàng)造新方法、建立新理論、開辟新領(lǐng)域。簡單說，好的數(shù)學(xué)問題就是能為數(shù)學(xué)“下金蛋”的數(shù)學(xué)問題。

內(nèi)容概要

縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，這類重要的、有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題可謂不勝枚舉。而我們本書所要介紹的正是從代數(shù)、幾何、圖論、數(shù)論中采擷出的6個(gè)這類經(jīng)典數(shù)學(xué)問題。    在第一章中，我們介紹多項(xiàng)式方程根式解問題。這一問題涉及的是代數(shù)的中心問題——解方程。而通過對這一問題的介紹，我們將看到代數(shù)學(xué)是如何隨著這一問題的研究一步一步發(fā)展起來的。而我們還將看到正是問題最終的解決，又將代數(shù)學(xué)引向了新的方向。    在第二章中，我們介紹幾何三大問題，即用尺規(guī)三等分角、倍立方、化圓為方。這一問題屬于平面幾何。而問題的解決卻要以解析幾何作為工具之一。因此，我們在這一章也會(huì)簡單介紹一下解析幾何。    在第三章中，我們介紹歐幾里得第五公設(shè)問題。這一問題同樣來自歐氏平面幾何，但對它的2000多年探討的最終結(jié)果卻導(dǎo)致了非歐幾何的創(chuàng)立。我們還將看到，非歐幾何的產(chǎn)生對數(shù)學(xué)的重要意義及其在相對論中的應(yīng)用。    在第四章中，我們介紹四色問題。這一問題屬于拓?fù)鋵W(xué)或更確切說屬于圖論。我們將看到，誕生于數(shù)學(xué)游戲的拓?fù)鋵W(xué)與圖論是如何隨著四色問題的研究而得到進(jìn)一步發(fā)展的。而最終四色定理的計(jì)算機(jī)證明，又引發(fā)了人們對數(shù)學(xué)證明等問題的深入探討。    在第五章中，我們介紹費(fèi)馬問題。這一問題屬于數(shù)論。我們的介紹亦將從數(shù)論的起源開始，并簡單介紹在數(shù)論早期發(fā)展中做出重要貢獻(xiàn)的幾位數(shù)學(xué)家及其工作。而最終，我們將以英國數(shù)學(xué)家懷爾斯的圓夢之旅作為這出精彩數(shù)學(xué)戲劇的尾聲。我們還將從中看到，早期的數(shù)論伴隨著這一問題的研究而得以擴(kuò)展向新的數(shù)學(xué)分支——代數(shù)數(shù)論。    在第六章，我們介紹素?cái)?shù)問題。這一同樣屬于數(shù)論的問題曾被列入“希爾伯特問題”，也可稱為“希爾伯特第8問題”。自然，這是一個(gè)涵蓋面非常廣的問題。而我們將主要介紹數(shù)學(xué)之圣杯——黎曼猜想。這一問題與本書前五章介紹的問題有一個(gè)重要差別，前者都是已經(jīng)獲解的問題，而只有黎曼猜想這一被許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為是最重要的數(shù)學(xué)問題至今仍是有待攀登的數(shù)學(xué)珠穆朗瑪峰。

書籍目錄

第一章　多項(xiàng)式方程根式解問題  第一節(jié)　河谷文明與多項(xiàng)式方程  第二節(jié)　兩位代數(shù)學(xué)之父  第三節(jié)　16世紀(jì)最壯觀的數(shù)學(xué)成就  第四節(jié)　另兩位代數(shù)學(xué)之父  第五節(jié)　兩顆璀璨的數(shù)學(xué)流星第二章　幾何三大問題  第一節(jié)　幾何三大問題的由來  第二節(jié)　幾何三大問題的歷史解答  第三節(jié)　不可解的證明第三章　歐幾里得第五公設(shè)問題  第一節(jié)　第五公設(shè)問題的由來  第二節(jié)　第五公設(shè)的試證之路  第三節(jié)　非歐幾何的誕生  第四節(jié)　非歐幾何的發(fā)展與確認(rèn)  第五節(jié)　非歐幾何的影響第四章　四色問題  第一節(jié)　初識四色問題  第二節(jié)　拓?fù)鋵W(xué)與圖論：起源于游戲的數(shù)學(xué)  第三節(jié)　捷報(bào)頻傳  第四節(jié)　失敗與成功  第五節(jié)　四色足夠第五章　費(fèi)馬問題  第一節(jié)　從畢達(dá)哥拉斯到丟番圖  第二節(jié)　從費(fèi)馬到高斯  第三節(jié)　最深?yuàn)W的數(shù)學(xué)之謎  第四節(jié)　兩個(gè)世紀(jì)的嘗試  第五節(jié)　第二次大突破  第六節(jié)　戲劇性的圓夢之旅第六章　素?cái)?shù)問題　第一節(jié)　素?cái)?shù)　第二節(jié)　素?cái)?shù)定理　第三節(jié)　素?cái)?shù)的音樂與黎曼零點(diǎn)參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

　　第一章　多項(xiàng)式方程根式解問題　　第一節(jié)　河谷文明與多項(xiàng)式方程　　在這一章中，我們將介紹多項(xiàng)式方程〔即一元n次方程（以下簡稱n次方程），有時(shí)也稱代數(shù)方程〕求解（根）公式的探尋歷程，這種公式要求通過對方程的系數(shù)進(jìn)行有限次四則運(yùn)算與開方運(yùn)算，最終給出方程的解。由于方程的求解公式離不開根式，所以人們把多項(xiàng)式方程的求解公式問題也稱為根式解問題。人類對此的最早嘗試可追溯到遙遠(yuǎn)的古代文明?！　v史學(xué)家往往把興起于埃及、美索不達(dá)米亞、中國和印度等地域的古代文明稱為“河谷文明”，而早期數(shù)學(xué)就是在尼羅河、底格里斯河與幼發(fā)拉底河、黃河與長江、印度河與恒河等河谷地帶首先發(fā)展起來的。從可考證的史料看，埃及與美索不達(dá)米亞的數(shù)學(xué)在年代上更為久遠(yuǎn)，只是在公元前均告衰微，崛起稍晚的中國與印度數(shù)學(xué)則延續(xù)到紀(jì)元之后并在中世紀(jì)臻于高潮。　　在這一節(jié)中我們將簡單介紹埃及與美索不達(dá)米亞這兩個(gè)河谷文明在求解多項(xiàng)式方程方面取得的成就，對中國和印度這方面的貢獻(xiàn)將放在第二節(jié)中做介紹。

媒體關(guān)注與評論

　　在我們中間，常常聽到這樣的呼聲：這里有一個(gè)數(shù)學(xué)問題，去找出它的答案！你能通過純思維找到它，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)中沒有不可知！　　我們必須知道。我們必將知道?！　≌缛祟惖拿宽?xiàng)事業(yè)都追求著確定的目標(biāo)一樣，數(shù)學(xué)研究也需要自己的問題。正是通過這些問題的解決，研究者鍛煉其鋼鐵意志，發(fā)現(xiàn)新方法和新觀點(diǎn)，達(dá)到更為廣闊和自由的境界?！　　镜隆肯柌亍　∫粋€(gè)很有意義的問題的解決，在其中投入的巨大努力，以及從中獲得的真知灼見，可能打開一扇新學(xué)科的大門，甚至開辟科學(xué)的新紀(jì)元?！　　久馈坎ɡ麃?/pre>


編輯推薦
　　“問題是數(shù)學(xué)的心臟”。好的問題對數(shù)學(xué)的發(fā)展更有著不可估量的價(jià)值。什么是好的數(shù)學(xué)問題?最終的判斷取決于數(shù)學(xué)從該問題的獲益。因而好的數(shù)學(xué)問題就是能為數(shù)學(xué)“下金蛋”的問題。《好的數(shù)學(xué)：“下金蛋”的數(shù)學(xué)問題》所介紹的6個(gè)經(jīng)典問題正是這類“下金蛋”的數(shù)學(xué)問題。跟隨我們的介紹，你將清晰了解這些問題的來龍去脈，領(lǐng)略并欣賞它們奇特的吸引力。跟隨我們的介紹，你還將踏上一個(gè)反復(fù)體驗(yàn)“從驚訝到思考”的快樂之旅，你將體會(huì)數(shù)學(xué)之美、感受數(shù)學(xué)之無窮魅力、獲得對“數(shù)學(xué)是什么”的更深理解。





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