數(shù)學(xué)的魅力

內(nèi)容概要

在我們的日常生活中，數(shù)學(xué)無處不在：像CD機(jī)、汽車、計(jì)算機(jī)……任何一種技術(shù)、儀器沒有了數(shù)學(xué)都將無法想象。盡管如此，這門學(xué)科卻并不是那么受人歡迎。許多人從學(xué)生時(shí)代起就特別懼怕數(shù)學(xué)，認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥無味、遠(yuǎn)離生活，難以理解。在本書中，著名數(shù)學(xué)家、科學(xué)記者沃爾夫?qū)?布盧姆博士，表達(dá)出了決不同于那些偏見的觀點(diǎn)。本書從數(shù)千年前數(shù)字的發(fā)明到當(dāng)前數(shù)學(xué)所研究的問題，都有所涉獵和探討。暢游在數(shù)學(xué)、空間、概率以及密碼的世界里，我們越來越明顯地感覺到，數(shù)學(xué)絕不是枯燥無味的，而是一門充滿美感和魅力，并能讓人沉迷其中的學(xué)科。

作者簡介

作者：(德國)沃爾夫?qū)げ急R姆 譯者：徐侃 插圖作者：(德國)約阿基姆·克納珀

書籍目錄

數(shù)學(xué)不僅僅是計(jì)算  數(shù)學(xué)涉及哪些方面？  人們可以從哪些方面著手了解數(shù)學(xué)？  數(shù)學(xué)家都做些什么？  數(shù)學(xué)與自然科學(xué)有什么區(qū)別？數(shù)字  什么是自然數(shù)？  誰發(fā)明了數(shù)字？  什么是進(jìn)位制？  誰發(fā)明了數(shù)字0？  什么是二進(jìn)制數(shù)？  人們怎樣用字母進(jìn)行運(yùn)算？  人們可以利用數(shù)學(xué)來變魔術(shù)嗎？  什么是質(zhì)數(shù)？  有多少個(gè)質(zhì)數(shù)？  已知的最大質(zhì)數(shù)是多少？  什么是三角形數(shù)？  什么是平方數(shù)？  什么是費(fèi)爾馬大定理？  什么是有理數(shù)？  什么是斐波那契數(shù)？  存在著有理數(shù)之外的數(shù)嗎？空間  阿基里斯能追得上烏龜嗎？  人們?nèi)绾螠y量高度？  什么是平面幾何？  什么是直角坐標(biāo)系？  什么是圓周率∏？  什么是畢達(dá)哥拉斯定理？  邊長為1的正方形  對角線有多長？  任何圖形都可以用直尺和圓規(guī)作出來嗎？  什么是平行公理？  足球是圓的嗎？  什么是分形幾何？  大不列顛島的海岸線有多長？  一幅地圖要用到多少種顏色？  新建的街道會(huì)導(dǎo)致更多的堵車狀況嗎？  怎樣擺放球體才能最節(jié)省空間？概率  人多久會(huì)有一次好運(yùn)？  隨機(jī)過程有記憶性嗎？  同班同學(xué)有著相同生日的概率有多大？  什么是條件概率？  什么是賠率？  什么是隨機(jī)數(shù)？  數(shù)學(xué)家是怎樣理解隨機(jī)問題的？  什么是統(tǒng)計(jì)？密碼  “ZHU NDQQ GDV OHVHQ”是什么意思？  什么是牢不可破的密碼？  如今誰在使用加密信息？  什么是RSA代碼？

章節(jié)摘錄

密碼“ZHU NDQQ GDV OHVHQ”是什么意思？不公布的官方信息或文件，往往都要經(jīng)過加密處理。在早期，凱撒大帝(前100-前44)就已經(jīng)會(huì)給其指揮官發(fā)送敵人無法破譯的信息了。據(jù)說這位偉大的政治家把信息里要表達(dá)的每個(gè)字母，都用字母表里位于其后面三位的字母來替代。例如，他把字母A寫成D，把字母H寫成K。于是每個(gè)字母都可以用下圖中相對應(yīng)的字母直接來替代：現(xiàn)在我們可以對標(biāo)題中的問題來進(jìn)行破譯?！癦HU NDQQ GDV OHVHQ？”代表的意思是“WERKANN DAS LESEN？”(誰可以讀懂這個(gè)？)至少在較長的信息中，人們還是可以將加密的信息(也稱為密碼)輕松破解出來，因?yàn)橥ǔ８鱾€(gè)字母出現(xiàn)的頻率不同。在一篇普通的德語文章中，字母E占了所有字母的近五分之一。使用得第二頻繁的是字母N。借助計(jì)算機(jī)，人們可以將一篇較長的信息在幾秒鐘內(nèi)完成解密：因?yàn)镋是出現(xiàn)得最頻繁的字母，其次為N，然后以此類推。什么是牢不可破的密碼？是否存在一種在現(xiàn)今或10年甚至1000年內(nèi)，就算借助于當(dāng)今或未來的計(jì)算機(jī)也無人能破解的密碼？的確存在，而且這并不是一件特別難的事情。人們在使用凱撒碼時(shí)，每次對各字母進(jìn)行移位的位數(shù)并不總是相同，這樣一來，所得出的密碼就不再會(huì)被破解。例如，我們將第一個(gè)字母向后移動(dòng)3位，第二個(gè)字母向后移動(dòng)5位，第三個(gè)字母向后移動(dòng)9位，于是“WER”可以寫成“ZJA”。一份這樣的加密信息，只有人們在知道每個(gè)字母應(yīng)該移動(dòng)的位數(shù)后，才能被翻譯成明文。因?yàn)橐粋€(gè)在文中多次出現(xiàn)且每次都用不同方法加密的字母，對于一個(gè)要破譯該信息的竊聽者而言，去了解其出現(xiàn)的頻率已經(jīng)毫無意義。但這種方法有一個(gè)致命的弱點(diǎn)：信息的發(fā)送方與接收方都需要有一份相同的數(shù)字列表，人們借助該列表才能知道每個(gè)字母每次所移動(dòng)的位數(shù)。而且，這份列表應(yīng)該與被加密的文章具有相同的長度。在二戰(zhàn)后的冷戰(zhàn)時(shí)期，美國與蘇聯(lián)都使用過類似的加密方法。據(jù)說，蘇聯(lián)特工曾使用了大量相同的數(shù)字列表。而美國卻借此機(jī)會(huì)破譯出了一些情報(bào)，以及發(fā)現(xiàn)了一些間諜。如今誰在使用加密信息？如今，加密信息不只運(yùn)用在特工與軍事上。密碼在日常生活中同樣適用，例如，當(dāng)顧客信用卡上的信息以加密的形式被傳遞時(shí)，人們便可在提款機(jī)上取錢或在網(wǎng)上購物，而同時(shí)沒有人可以將密碼竊取。在過去的幾年里，為了達(dá)到這一目的，數(shù)學(xué)家想出了一系列的方法?，F(xiàn)在人們通常使用一種名為DES(數(shù)據(jù)加密標(biāo)準(zhǔn))的方法。DES將一則信息用隱蔽的56位二進(jìn)制數(shù)(參見第12頁)進(jìn)行加密。由于這些數(shù)字有上億種組合方式，因此，若想猜測出來是不可能的。盡管這樣，數(shù)學(xué)家們還是研發(fā)出了一套支持112位二進(jìn)制數(shù)的計(jì)算機(jī)加密程序。當(dāng)我們將銀行卡或信用卡插入取款機(jī)時(shí)，機(jī)器會(huì)從卡上的磁條或內(nèi)置的芯片中，讀出該卡的賬號(hào)、銀行代碼以及到期時(shí)間。然后，機(jī)器將這些數(shù)字進(jìn)行加密并算出結(jié)果，例如它借助DES來算出顧客的銀行密碼。若顧客輸入另外一組數(shù)字，取款機(jī)就會(huì)拒絕讓人取錢。此時(shí)，加密的作用并不是為了保護(hù)一則信息不被竊取，而是要保證真正的顧客能夠使用取款機(jī)，同時(shí)防止他人將其銀行卡密碼偷走。此外，現(xiàn)在還有一種動(dòng)態(tài)密碼(又稱一次性密碼)，廣泛應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)中，包括網(wǎng)上銀行、游戲、自動(dòng)取款機(jī)、企業(yè)網(wǎng)絡(luò)管理系統(tǒng)等一切同身份認(rèn)證相關(guān)的應(yīng)用。什么是RSA代碼？信息的發(fā)送方與接收方利用凱撒碼或恩尼格瑪密碼機(jī)可以將一篇文章變?yōu)橐欢央s亂無章的字符，而后又可以將它重新譯回為原文。特別是應(yīng)用在網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)交換方面，人們稱為的RSA算法可以使信息的發(fā)送方對其進(jìn)行加密，但卻不能將得到的結(jié)果重新再譯回原文。若想識(shí)別加密后的代碼，則需要僅僅只有信息接收方才有的密鑰。例如，有了RSA代碼，銀行可以公開那些將顧客信息加密了的計(jì)算機(jī)程序，而這些程序只能由銀行來解密。在這種算法中，信息發(fā)送方借助一個(gè)大數(shù)來對信息進(jìn)行加密。為了能讀出代碼，必須得對該數(shù)字進(jìn)行因數(shù)分解。如果這個(gè)數(shù)足夠大，那么將其進(jìn)行分解幾乎是不可能的。計(jì)算機(jī)可以在數(shù)秒內(nèi)將四十位數(shù)進(jìn)行乘法運(yùn)算。而反過來，速度最快的電子計(jì)算機(jī)在對這一結(jié)果進(jìn)行因數(shù)分解時(shí)就會(huì)遇到麻煩。然而，對于使用RSA算法的用戶而言，有一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)需要引起他們的注意：如果有一天數(shù)學(xué)家們研究出了一種方法，可以快速地將大數(shù)進(jìn)行因數(shù)分解，在這種情況下，可能之前所有被加密過的信息，都會(huì)在未經(jīng)授權(quán)的情況下被突然解密。這是因?yàn)?，幾十年來人們在此問題上還沒有取得突破，于是大家就認(rèn)為該問題無人能解。但是，誰又能保證呢？

編輯推薦

像其他學(xué)科一樣，數(shù)學(xué)近幾十年來的發(fā)展速度已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了以往任何時(shí)代，《數(shù)學(xué)的魅力》不可能一一詳述。如今，每年都會(huì)涌現(xiàn)出數(shù)以千計(jì)的研究成果。即使是專業(yè)人士也不能隨時(shí)跟上所有數(shù)學(xué)分支學(xué)科的發(fā)展進(jìn)度。然而，《數(shù)學(xué)的魅力》可以讓你了解這個(gè)閃爍著智慧之光的神奇世界。

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