數(shù)學(xué)方法論入門

內(nèi)容概要

　　數(shù)學(xué)方法論主要是研究和討論數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律、數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)造等法則的一門新興學(xué)科。由于數(shù)學(xué)方法論的涉及面十分廣泛，本書作為一部“入門書”自然就不可能對(duì)所有這些問題都作出詳盡的討論，而只能從整體的角度對(duì)數(shù)學(xué)方法論中一些具有普遍意義的問題進(jìn)行分析和討論。也正因如此，本書論述的重點(diǎn)就不在于備種具體的研究方法，而是一般性的思想方法；分析的范圍也不局限于任一特殊的數(shù)學(xué)分支，而是著眼于各個(gè)數(shù)學(xué)分支中共性的東西。

作者簡(jiǎn)介

　　鄭毓信，男，1944年生。浙江鎮(zhèn)海人。1965年畢業(yè)于江蘇師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，1981年碩士研究生畢業(yè)于南京大學(xué)哲學(xué)系。現(xiàn)為南京大學(xué)哲學(xué)系教授、博士生導(dǎo)師。長(zhǎng)期從事數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)教育與科學(xué)哲學(xué)的專門研究。已在上述領(lǐng)域出版了二十部著作，并在國(guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)刊物上發(fā)表論文二百多篇。1992年起享受政府特殊津貼。

書籍目錄

第1章　數(shù)學(xué)家的思維方式
　第一節(jié)　善于使用化歸是數(shù)學(xué)家思維方式的重要特點(diǎn)
　第二節(jié)　化歸的方法
　第三節(jié)　多步的化歸與包含“反饋”的化歸
第2章　類比與歸納：數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法
　第一節(jié)　類比法
　第二節(jié)　歸納法
　第三節(jié)　既應(yīng)學(xué)會(huì)猜測(cè)，又應(yīng)學(xué)會(huì)論證
第3章　美的追求：數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力之一
　第一節(jié)　美學(xué)因素在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用
　第二節(jié)　審美情感在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用
　第三節(jié)　努力培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺能力與數(shù)學(xué)美的鑒賞能力
第4章　對(duì)象的抽象性與方法的抽象性
　第一節(jié)　研究對(duì)象的抽象性
　第二節(jié)　數(shù)學(xué)方法的抽象性
　第三節(jié)　數(shù)學(xué)發(fā)展的一般規(guī)律
第5章　無限：數(shù)學(xué)家的迷宮
　第一節(jié)　思維“自由”想像的理想場(chǎng)所
　第二節(jié)　對(duì)于人類智慧的重大挑戰(zhàn)
　第三節(jié)　無限的哲學(xué)與無限的數(shù)學(xué)
第6章　數(shù)學(xué)方法論的現(xiàn)代研究
　第一節(jié)　中國(guó)的數(shù)學(xué)方法論研究
　第二節(jié)　國(guó)外的相關(guān)研究
　第三節(jié)　努力促進(jìn)數(shù)學(xué)方法論的深入發(fā)展
第7章　數(shù)學(xué)方法論與數(shù)學(xué)教學(xué)
　第一節(jié)　數(shù)學(xué)方法論與數(shù)學(xué)教學(xué)
　第二節(jié)　努力培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力

章節(jié)摘錄

　　這也就如著名數(shù)學(xué)史學(xué)家克萊因所指出的：“在最廣泛的意義上說，數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性的精神。正是這種精神，使得人類的思維得以運(yùn)用到最完善的程度；亦正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質(zhì)、道德和社會(huì)生活，試圖回答有關(guān)人類自身存在提出的問題，試圖努力去理解和控制自然，試圖盡力去探求和確立已經(jīng)獲得知識(shí)的最深刻的和最完美的內(nèi)涵。”　　“問題解決”與數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)從教學(xué)的角度看，以下的問題顯然也應(yīng)引起我們的高度關(guān)注：我們應(yīng)當(dāng)如何以“問題解決”（或者說，“數(shù)學(xué)地思維”）為中心去組織全部的數(shù)學(xué)教學(xué)？特別是，我們又應(yīng)如何去處理提高學(xué)生解決問題的能力與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的學(xué)習(xí)這兩者之間的關(guān)系？　　以下即是對(duì)于上述的問題的一種可能解答：“問題解決”不僅涉及數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)，而且也應(yīng)被看成數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)基本形式，這就是說，全部的學(xué)校數(shù)學(xué)課程都應(yīng)采取“問題解決”這樣一種形式。例如，由美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家T.倫伯格所提出的關(guān)于數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)的如下五條原則就可被看成這方面的一個(gè)具體例子，特別是，它具體地指明了應(yīng)當(dāng)如何去處理“問題解決”與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的教學(xué)這兩者之間的關(guān)系：　　第一，應(yīng)當(dāng)清楚地指明我們所希望學(xué)生掌握的若干概念領(lǐng)域；第二，這些領(lǐng)域應(yīng)當(dāng)被分解成若干個(gè)課程單元，每個(gè)單元各有一個(gè)主題，并用2-3個(gè)星期來學(xué)習(xí)；第三，對(duì)學(xué)生來說，這些概念領(lǐng)域應(yīng)當(dāng)由一定的“問題情境”自然而然地引出；第四，各單元中的活動(dòng)安排應(yīng)當(dāng)與學(xué)生的思維活動(dòng)相適應(yīng)；第五，課程單元應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生的知識(shí)情況及教學(xué)環(huán)境不斷地加以調(diào)整?！　∨c上述較為極端的立場(chǎng)相對(duì)立，以下則可被看作20世紀(jì)90年代以來數(shù)學(xué)教育界的一個(gè)共識(shí)，即是認(rèn)為數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)“過程與結(jié)果并重”。由于后者主要地就可被看成人們經(jīng)由對(duì)過去十幾年中“問題解決”的教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行自覺反思所得出的一個(gè)結(jié)論，因此，這事實(shí)上也就在一定程度上反映了上述的主張?jiān)趯?shí)踐中存在一定的偏廢或不足之處?！　「鼮橐话愕?，筆者以為，我們?cè)诖耸聦?shí)上應(yīng)對(duì)“基本的教育思想”和“數(shù)學(xué)教學(xué)的基本形式”作出明確的區(qū)分。這也就是說，強(qiáng)調(diào)提高學(xué)生解決問題的能力并不意味著數(shù)學(xué)課程必須惟一地采取“問題解決”的形式。進(jìn)而，如果我們把著眼點(diǎn)由狹義的“問題解決”轉(zhuǎn)移到“數(shù)學(xué)地思維”，那么，另一種教學(xué)形式事實(shí)上也就更為可取?！　【唧w地說，筆者在此所強(qiáng)調(diào)的主要是這樣一個(gè)事實(shí)：數(shù)學(xué)的思維方法并不是什么高度抽象、不可捉摸的東西，而是滲透于各種具體的數(shù)學(xué)活動(dòng)之中，后者既包括問題解決，也包括各種基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的學(xué)習(xí)。從而，盡管在某些特定條件下確有必要進(jìn)行“問題解決”（或者說，數(shù)學(xué)思維方法）的專門教學(xué)，如相對(duì)集中地通過典型例子進(jìn)行啟發(fā)性解題策略的教學(xué)等。但是，與這種相對(duì)集中的專門教學(xué)相比，如何將數(shù)學(xué)思維方法（更為一般地說，就是數(shù)學(xué)方法論）的教學(xué)與具體數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容也正是從上述的立場(chǎng)出發(fā)，一些數(shù)學(xué)家對(duì)“問題解決”這一數(shù)學(xué)教育改革運(yùn)動(dòng)中所出現(xiàn)的一些偏向提出了尖銳的批評(píng)。例如，為了使數(shù)學(xué)對(duì)大多數(shù)學(xué)生來說成為更有吸引力和力所能及的，“開放性問題”在現(xiàn)代的數(shù)學(xué)教育中得到了廣泛的應(yīng)用，因?yàn)?，普遍認(rèn)為，與具有惟一正確解答、甚至惟一正確解題方法的“傳統(tǒng)問題”相比，開放性問題更適于使所有的學(xué)生參與到解題活動(dòng)之中：他們可以依據(jù)各自的水平去進(jìn)行求解（另外，“開放題”的應(yīng)用對(duì)于切實(shí)糾正學(xué)生中所普遍存在的以下觀念顯然也十分有益：“每個(gè)問題都只有唯一的正確解答，并有惟一的正確解題方法”）。但是，在相關(guān)的教學(xué)實(shí)踐中我們卻又經(jīng)?？梢钥吹竭@樣的現(xiàn)象：學(xué)生們（甚至包括教師）只是滿足于用某種方法（包括觀察、實(shí)驗(yàn)和猜測(cè)）求得了問題的解答，而不再進(jìn)行進(jìn)一步的思考和研究，甚至都未能對(duì)所已獲得的結(jié)果的正確性（包括完整性）作出必要的檢驗(yàn)或證明。從而，“在現(xiàn)實(shí)中，開放性問題在某些場(chǎng)合正在成為不求甚解和不加檢驗(yàn)的猜測(cè)的同義詞氣這一現(xiàn)象當(dāng)然引起了數(shù)學(xué)家們的極大不安：“盡管這一討論僅限于開放性問題，但對(duì)于新的改革的某些方面的大致了解已經(jīng)使得數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)教育的前進(jìn)方向產(chǎn)生了疑慮”（H.Wu）；“我所擔(dān)心的是：通過使數(shù)學(xué)變得越來越易于接受，最終所得出的將并非是數(shù)學(xué)，而是什么別的東西”（A.Cuoco）?！　　?/pre>








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