20世紀數(shù)學(xué)思想

書籍目錄

目 錄
序
引言
第一篇 結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)
1.1 19世紀數(shù)學(xué)的遺產(chǎn)
1.1 18世紀末之前的數(shù)學(xué)
1.2 19世紀的數(shù)學(xué)
2 19世紀末的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究
2.1 幾何學(xué)基礎(chǔ)與公理化
2.2 實數(shù)理論
2.3 集合論
2.4 數(shù)理邏輯
3 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的基本概念
3.1 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)
3.2 集合與映射
3.3 序結(jié)構(gòu)
3.4 代數(shù)結(jié)構(gòu)
3.5 拓撲結(jié)構(gòu)
3.6 復(fù)合結(jié)構(gòu)
3.7 多重結(jié)構(gòu)
3.8 混合結(jié)構(gòu)
3.9 衍生結(jié)構(gòu)
4 20世紀數(shù)學(xué)一瞥
4.1 結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生與結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)的興起
4.2 抽象代數(shù)學(xué)
4.3 一般拓撲學(xué)與泛函分析
4.4 經(jīng)典數(shù)學(xué)
5 一些基本的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)
5.1 域
5.2 拓撲空間
5.3 點集綱性與測度
5.4 希爾伯特空間
5.5 巴拿赫空間
第二篇 群 論
1 群論的歷史淵源與理論框架
1.1 群論概念的產(chǎn)生
1.2 從對稱性到群
1.3 從具體群到抽象群
1.4 群論的理論框架
2 阿貝爾群
3 有限置換群
3.1 置換群的表示
3.2 置換群的一些基本概念
3.3 可遷群與k重可遷群
3.4 2重可遷群的分類
4 有限群
4.1 群的列舉
4.2 群的基本結(jié)構(gòu)
4.3 算術(shù)結(jié)構(gòu)
4.4 有限冪零群和可解群
4.5 有限單群
4.6 群表示論
5 無限群
5.1 自由群與自由積
5.2 有限表出群
5.3 伯恩塞德問題
5.4 無限冪零群和可解群
6 李群
6.1 李群的發(fā)展歷史
6.2 李變換群
6.3 基靈和嘉當?shù)墓ぷ?br />6.4 李代數(shù)理論
6.5 整體李群
7 代數(shù)群
第三篇 拓撲學(xué)
1 導(dǎo)言
2 直觀拓撲學(xué)
2.1 哥尼斯堡七橋問題
2.2 平面布線問題
2.3 多面體的歐拉公式
2.4 若爾當定理
2.5 單側(cè)曲面
2.6 曲面的拓撲分類
2.7 四色問題
3 拓撲學(xué)的早期歷史
4 同調(diào)理論
4.1 復(fù)合形與同調(diào)群
4.2 奇異同調(diào)論
4.3 同調(diào)論公理
4.4 上同調(diào)理論
4.5 不動點定理
4.6 拓撲K理論
5 同倫理論
5.1 引言
5.2 同倫論前史
5.3 映射度
5.4 同倫群
5.5 組合同倫群
5.6 球面同倫群
5.7 阻礙理論
6 纖維空間和纖維叢
6.1 前史
6.2 定義
6.3 纖維叢的引入
6.4 纖維叢的分類問題
6.5示性類
7 微分流形
7.1 微分流形的引入
7.2 配邊理論
8 低維流形
8.1 三維流形
8.2 紐結(jié)理論
8.3 四維流形的拓撲
9 范疇與函子
9.1 范疇
9.2 函子
10 同調(diào)代數(shù)學(xué)
10.1 模
10.2 導(dǎo)出函子
第四篇 幾何學(xué)與數(shù)論
1 微分流形的幾何學(xué)
1.1 微分流形
1.2 微分流形的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)
1.3 微分流形的上層結(jié)構(gòu)
1.4 微分流形的幾何結(jié)構(gòu)
2 大范圍分析
2.1 德拉姆理論
2.2 莫爾斯理論
2.3 微分映射的奇點理論
2.4 指標定理
2.5 葉狀結(jié)構(gòu)
3 復(fù)解析幾何學(xué)
3.1 多復(fù)變函數(shù)論
3.2 復(fù)流形
4 代數(shù)幾何學(xué)
4.1 前史
4.2 抽象代數(shù)幾何學(xué)
4.3 代數(shù)曲線
4.4 代數(shù)曲面
5 代數(shù)數(shù)論
5.1 代數(shù)整數(shù)論
5.2 結(jié)構(gòu)理論
5.3 解析理論
5.4 幾何理論
結(jié)束語
參考文獻

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