古今數(shù)學(xué)思想（四）

內(nèi)容概要

本書包括：分析中注入嚴(yán)密性、實(shí)數(shù)和超限數(shù)的基礎(chǔ)、幾何基礎(chǔ)、19世紀(jì)的數(shù)學(xué)、實(shí)變函數(shù)論、積分方程、泛函分析、發(fā)散級數(shù)等?！　”緯恰豆沤駭?shù)學(xué)思想》叢書中第四冊，本書論述了從古代一直到20世紀(jì)頭幾十年中的重大數(shù)學(xué)創(chuàng)造和發(fā)展，目的是介紹中心思想，特別著重于那些在數(shù)學(xué)歷史的主要時期中逐漸冒出來并成為最突出的、并且對于促進(jìn)和形成爾后的數(shù)學(xué)活動有影響的主流工作。本書所極度關(guān)心的還有：對數(shù)學(xué)本身的看法，不同時期中這種看法的改變，以及數(shù)學(xué)家對于他們自己的成就的理解。

作者簡介

莫里斯·克萊因（Morris Kline,1908—1992），紐約大學(xué)庫朗數(shù)學(xué)研究所教授和榮譽(yù)退休教授，他曾在那里主持一個電磁研究部門達(dá)20年之久。他的著作很多，包括《數(shù)學(xué)：確定性的喪失》和《數(shù)學(xué)與知識的探求》等。

書籍目錄

第40章　分析中注入嚴(yán)密性　1.引言　2.函數(shù)及其性質(zhì)　3.導(dǎo)數(shù)　4.積分　5.無窮級數(shù)　6.Fourier級數(shù)　7.分析的狀況第41章　實(shí)數(shù)和超限數(shù)的基礎(chǔ)　1.引言　2.代數(shù)數(shù)與超越數(shù)　3.無理數(shù)的理論　4.有理數(shù)的理論　5.實(shí)數(shù)系的其他處理　6.無窮集合的概念　7.集合論的基礎(chǔ)　8.超限基數(shù)與超限序數(shù)　9.集合論在20世紀(jì)初的狀況第42章　幾何基礎(chǔ)  1.Euclid中的缺陷  2.對射影幾何學(xué)基礎(chǔ)的貢獻(xiàn)  3.Euclid幾何的基礎(chǔ)  4.一些有關(guān)的基礎(chǔ)工作  5.一些未解決的問題第43章　19世紀(jì)的數(shù)學(xué)　1.19世紀(jì)發(fā)展的主要特征　2.公理化運(yùn)動　3.作為人的創(chuàng)造物的數(shù)學(xué)　4.真理的喪失　5.作為研究任意結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)　6.相容性問題　7.向前的一瞥第44章　實(shí)變函數(shù)論　1.起源　2.Stieltjes積分　3.有關(guān)容量和測度的早期工作　4.Lebesgue積分　5.推廣第45章　積分方程　1.引言　2.一般理論的開始　3.Hilbert的工作　4.Hilbert的直接繼承者　5.理論的推廣第46章　泛函分析　1.泛函分析的性質(zhì)　2.泛函的理論　3.線性泛函分析　4.Hilbert空間的公理化第47章　發(fā)散級數(shù)　1.引言　2.發(fā)散級數(shù)的非正式應(yīng)用　3.漸近級數(shù)的正式理論　4.可和性第48章　張量分析和微分幾何　1.張量分析的起源　……第49章  抽象代數(shù)的出現(xiàn)第50章  拓?fù)涞拈_始第51章  數(shù)學(xué)基礎(chǔ)雜志名稱縮寫一覽表人名索引名詞索引

章節(jié)摘錄

　　與數(shù)學(xué)活動的爆炸性擴(kuò)張同時產(chǎn)生的，是一種不很健康的發(fā)展，許多學(xué)科變成了自封的，它們各有自己的特殊術(shù)語和研究法。任何學(xué)科的研究都承擔(dān)著許多較專門的和較困難的問題，因而都要求愈來愈巧妙的思想、豐富的啟發(fā)、以及較為隱晦的論證．為了取得進(jìn)展，數(shù)學(xué)家們一定要有大量理論上的背景和技術(shù)上的熟練，專業(yè)化的傾向在Abel，Jacobi，Galois，Poncelet及其他人的一些工作中已明顯可見。盡管有些人通過諸如群、線性變換和不變量之類的概念，把重點(diǎn)放在許多分支之間的相互聯(lián)系上，但總的效果還是分離成許多不同的而且互不關(guān)聯(lián)的部分。Felix Klein在1893年確實(shí)認(rèn)為：各個分支的專業(yè)化和脫節(jié)現(xiàn)象可以用剛才說過的那些概念來克服。但是這個希望落了空。雖然Poincare和Hilbert幾乎是通才，但Cauchy和Gauss畢竟是了解這整個學(xué)科的最后兩個人。　　從19世紀(jì)開始，人們發(fā)現(xiàn)，有些數(shù)學(xué)家只是在數(shù)學(xué)的一些小角落里工作；非常自然地，每個人都認(rèn)為自己的領(lǐng)域比別人的重要。他的論文不再面向廣大的公眾，而只是為著專門的同行，絕大多數(shù)文章不再包含它們與數(shù)學(xué)中較大問題之間的聯(lián)系的任何象征，從而幾乎不容易被許多數(shù)學(xué)家所接受，當(dāng)然更談不上適合更多人的胃口了?！　〕祟}材方面的成就之外，19世紀(jì)重新引進(jìn)了嚴(yán)密的證明。不管個別的數(shù)學(xué)家對他們的結(jié)果的可靠性是怎樣想的，事實(shí)是：從大約公元前200年起到1870年前后為止，幾乎整個數(shù)學(xué)都建基于經(jīng)驗(yàn)的和實(shí)用的基礎(chǔ)之上。從明顯的公理出發(fā)進(jìn)行推理證明的觀念早已看不見了，數(shù)學(xué)歷史的驚人發(fā)現(xiàn)之一是：在它的內(nèi)容如此廣泛擴(kuò)展的兩千年中，這門學(xué)科的這個理想目標(biāo)（嚴(yán)密論證）事實(shí)上是被忽視了，雖然（特別是Lagrange）對于分析的嚴(yán)密化做過一些早期的努力（第19章第7節(jié)），但Lacroix卻發(fā)表了更為獨(dú)特的見解（第26章第3節(jié)）。Fourier的工作使得近代分析學(xué)者對之毛骨悚然，對Poisson說來，導(dǎo)數(shù)和積分只不過是差商與有窮和的縮寫。從Bolzano和Cauchy開始的建立基礎(chǔ)的運(yùn)動，毫無疑問是由于擔(dān)心那些急劇膨脹的依靠在微積分松軟基礎(chǔ)上的大量數(shù)學(xué)．這場運(yùn)動由于Hamilton發(fā)現(xiàn)了不適合交換律的四元數(shù)而得到了加一速，這個發(fā)現(xiàn)當(dāng)然是對不加批判地接受數(shù)的原則的一種挑戰(zhàn)．但更引起騷動的還是非Euclid幾何的創(chuàng)立。它不但摧毀了公理的自明性和淺顯可接受性這些觀念本身，而且還揭露了在整個數(shù)學(xué)中一直被看成是最牢靠的證明中的不充分性，數(shù)學(xué)家們意識到了他們過去是易于受騙上當(dāng)并且是依靠在直覺上?！　〉?900年，嚴(yán)密地建立數(shù)學(xué)的目標(biāo)似乎已經(jīng)達(dá)到了，數(shù)學(xué)家們幾乎都為這一成就自鳴得意。在巴黎第二次國際會議上，Poincare夸耀道：“我們是否已最終地達(dá)到了絕對的嚴(yán)密性了呢？在它進(jìn)程的每個階段上，我們的先驅(qū)者們都相信他們已經(jīng)達(dá)到了，如果他們是受騙了，那么，難道我們就不會像他們一樣受騙嗎？　　……

編輯推薦

《古今數(shù)學(xué)思想4》所極度關(guān)心的還有：對數(shù)學(xué)本身的看法，不同時期中這種看法的改變，以及數(shù)學(xué)家對于他們自己的成就的理解。                                                                     什么才是數(shù)學(xué)思想權(quán)威性的歷史……大概，這就是我們現(xiàn)有數(shù)學(xué)史的最全面描述?！　　　　　　　　　缎瞧诹u論》　　很高興看到這樣一本出自一位仍然活躍的數(shù)學(xué)家之手的完全、專業(yè)的巨著?！　　　　　　　　　恫ㄊ款D環(huán)球報》　　從規(guī)模和細(xì)節(jié)上講，莫里斯·克萊因的作品是無可匹敵的?！　　　　　　　　稌r代文學(xué)增刊》

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