數(shù)學(xué)與哲學(xué)

前言

　　由于具體的數(shù)學(xué)問題多如繁星，數(shù)學(xué)家往往整天埋頭于解決數(shù)學(xué)問題，無暇關(guān)注數(shù)學(xué)發(fā)展中出現(xiàn)的“矛盾”。但數(shù)學(xué)史告訴我們，恰好是“矛盾”的一次次解決，才導(dǎo)致數(shù)學(xué)發(fā)展的飛躍與深化。張景中的《數(shù)學(xué)與哲學(xué)》就是對數(shù)學(xué)發(fā)展中這些重大的歷史事件，用通俗的講法向大眾展示當時的爭論內(nèi)容與形勢，及以后的解決辦法和數(shù)學(xué)的飛躍發(fā)展。是一本可讀性很高、可以雅俗共賞的書，各種程度的人都可以從該書中受到啟發(fā)與益處，也包括數(shù)學(xué)專業(yè)研究人員在內(nèi)，因為這些人不一定很熟悉歷史上的一些數(shù)學(xué)爭議?！　±纾P(guān)于數(shù)，是否僅有自然數(shù)及由它產(chǎn)生的有理數(shù)就夠了。那么√2是什么？這就導(dǎo)致無理數(shù)的產(chǎn)生。在歐氏幾何中，不少人企圖給出第五公設(shè)的證明，但都失敗了，這導(dǎo)致非歐幾何的產(chǎn)生；無窮小量的應(yīng)用與定義，導(dǎo)致嚴格實數(shù)極限理論的建立、無窮集合的比較、集合定義的確定及哥德爾定理；等等。每經(jīng)過這些重大的歷史事件，數(shù)學(xué)思想都得到飛躍，從而使數(shù)學(xué)得到質(zhì)的發(fā)展與飛躍?！　”緯鴮@一系列重大事件作了通俗具體的解釋，看了覺得很有趣味。一般說來，具備數(shù)學(xué)程度的人，就可以了解其大意。但本書又不是完全沒有實質(zhì)性敘述的夸夸其談的工作，使讀者不知所云。作品雖然是通俗講法，但并不失去嚴謹性，這恰好是科普著作必須把握而容易忽略的要害之處。作者是花了不少功夫的，所以本書在把握通俗與嚴謹兩個方面都做得比較好?！　。ㄖ麛?shù)學(xué)家 中科院院士王元）

內(nèi)容概要

《數(shù)學(xué)與哲學(xué)(典藏版院士數(shù)學(xué)講座專輯)》是“中國科普名家名作”系列之一。
《數(shù)學(xué)與哲學(xué)(典藏版院士數(shù)學(xué)講座專輯)》是我國著名數(shù)學(xué)家、計算機專家張景中院士創(chuàng)作的科普讀物，包括數(shù)是什么；命運決定還是意志自由；舉例子能證明幾何定理嗎；數(shù)學(xué)與哲學(xué)隨想等十一章內(nèi)容。

作者簡介

張景中，數(shù)學(xué)家，中國科學(xué)院院士，多年從事幾何算法和定理機器證明研究，其成果曾獲國家發(fā)明二等獎，中國科學(xué)院自然科學(xué)一等獎，國家自然科學(xué)二等獎。熱心數(shù)學(xué)教育，提出教育數(shù)學(xué)的思想，并從事中學(xué)教學(xué)改革和微積分教學(xué)改革的研究。熱愛科普事業(yè)，其所著《教育數(shù)學(xué)叢書》。曾獲中國圖書獎，《數(shù)學(xué)家的眼光》等科普作品曾獲國家科技進步二等獎、第六屆國家圖書獎、“五個一”工程獎、全國科普創(chuàng)作一等獎。所主編的《好玩的數(shù)學(xué)》叢書獲國家科技進步二等獎。

書籍目錄

第一章  “萬物皆數(shù)”觀點的破滅與再生
第二章  哪種幾何才是真的
第三章  變量·無窮小·量的鬼魂
第四章  自然數(shù)有多少
第五章  羅素悖論引起的軒然大波
第六章  數(shù)是什么
第七章  是真的，但又不能證明
第八章  數(shù)學(xué)與結(jié)構(gòu)
第九章  命運決定還是意志自由
第十章  舉例子能證明幾何定理嗎
第十一章  數(shù)學(xué)與哲學(xué)隨想

章節(jié)摘錄

　　（1）點是沒有部分的那種東西；　　（2）線是沒有寬度的長度；　　（4）直線是同其上各點看齊的線；　?。?4）圖形是被一些邊界所包含的那種東西?！　〕硕x之外，歐幾里得還選擇了一些不加證明而承認下來的命題作為基本命題。他把這些基本命題叫公理或公設(shè)。公理是許多學(xué)科都用到的量的關(guān)系，如“與同一物相等的一些物，它們彼此相等”，“全量大于部分”，等等。而公設(shè)則是專門為了幾何對象而提出的。他有五條公理和五條公設(shè)。這些公設(shè)是：　　（1）從一點到另一點可作一條直線；　　（2）直線可以無限延長；　　（3）已知一點和一距離，可以該點為中心，以該距離為半徑作一圓；　?。?）所有的直角彼此相等；　?。?）若一直線與其他兩直線相交，以致該直線一側(cè)的兩內(nèi)角之和小于兩直角，則那兩直線延伸足夠長后必相交于該側(cè)?！　∵@里應(yīng)當說明一下，按現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點，公理與公設(shè)是一回事，沒有必要加以區(qū)分?！　W幾里得從公理、公設(shè)和定義出發(fā)，導(dǎo)出了數(shù)百條幾何定理。這一杰作展示了邏輯的力量，顯示出人類理性的創(chuàng)造能力?！　〔贿^，到19世紀，數(shù)學(xué)家們的嚴格性標準大大提高之后，發(fā)現(xiàn)《幾何原本》并非像原來人們所認為的那樣完美無瑕，它有兩方面的邏輯漏洞：一方面，他的證明中用到了公理、公設(shè)和定義沒有包括的一些命題。這些命題要補充到公理當中去?！　×硪环矫?，他的定義有問題。為了定義點，他用到了“部分”這個術(shù)語；為了定義線，他用到了“寬度”與“長度”：為了定義直線，他用到了“看齊”；為了定義圖形，他又用到“邊界”。這樣用不加定義的術(shù)語來說明要定義的術(shù)語，結(jié)果等于沒有定義。這樣的定義是不能在推理中使用的，因為在邏輯上我們不知道如何使用“部分”、“長度”、“寬度”、“看齊”這些術(shù)語?！　∵@些漏洞已經(jīng)被19世紀的數(shù)學(xué)家們補上了。這里暫不敘述補漏洞的詳情。我們轉(zhuǎn)向一些哲學(xué)家關(guān)心的事?！　W幾里得的幾何定理是真理嗎　　歐幾里得的。《幾何原本》向哲學(xué)家們建議了一種認識真理的方法：從少數(shù)幾條明白清楚的前提出發(fā)，用邏輯工具證明你的結(jié)論。如果前提是真理，則結(jié)論也是真理。這一思想對哲學(xué)家們產(chǎn)生了重大影響。后來的許多哲學(xué)家，特別是唯理論派哲學(xué)家，都力圖用歐幾里得的方式寫出自己的著作，闡述自己的學(xué)說與觀點。　　但是，一個更基本的問題出現(xiàn)了。怎么知道歐幾里得的公設(shè)是真的呢？　　兩千多年中，哲學(xué)家們幾乎一致認為，歐幾里得的公設(shè)就是真理，是可以明確知道的東西。而且，多數(shù)哲學(xué)家認為這些公設(shè)既不是來自經(jīng)驗，也不是來自邏輯分析，而是來自人類理性的先天洞察能力。　　確實，柏拉圖早就宣稱，我們用理性的眼睛看到“形式”的永恒王國；　　康德認為，人類在認知幾何學(xué)時是在把握自己感觀的先天結(jié)構(gòu)。就連一些唯物主義的哲學(xué)家，在涉及幾何學(xué)時，也不否認歐幾里得幾何的真理性。　　那么，說這些公設(shè)是真的，是什么意思呢？比方說，說“兩點可以確定一直線”，這里直線是什么意思呢？如果“直”線的意思不清楚，說“兩點可以確定一直線”是“真”的又有什么意義呢？　　哲學(xué)家們當然認為，“直”就是人們通常理解的直。　　什么又是通常理解的直呢？我們有好幾種標準：　　（1）木工檢驗一條線直不直，是沿著它看?？矗斎灰蕾囉诠?。這就是說：光走的是直線?！　。?）建筑工人確定地基時要拉線。這是認為，拉緊了的線是直的?！　。?）直線是兩點間最短的路線，是唯一的。　?。?）過線的一端以另一端為心畫圓。如果線是直的，圓周長應(yīng)當是線長的2π倍?！　∵€可以找到別的標準。　　如果這些標準互相間矛盾了怎么辦？大家認為，它們不會矛盾。確實，經(jīng)驗告訴人們這幾條標準是一致的。于是，人們沒有理由懷疑歐幾里得幾何的真理性。歐幾里得幾何被當做人類可以認識絕對真理的范例。至于邏輯漏洞，那是技術(shù)上的細節(jié)，補上就好了?！　》菤W幾何的發(fā)現(xiàn)既然把歐幾里得的公設(shè)看成是人類理性可以洞察的自明之理，數(shù)學(xué)家自然按照這個標準來要求它。這么一要求，就發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)敘述起來那么復(fù)雜，理解起來并不見得容易，很不像一條自明之理?！　∧懿荒馨训谖骞O(shè)作為公設(shè)（即公理）的資格取消呢？這個誘人的思想吸引了歐幾里得以后的許多數(shù)學(xué)家。要把它從公設(shè)的行列中趕出去，就只有用別的公設(shè)來證明它，使它成為一條定理。但是，企圖證明第五公設(shè)的努力在兩千多年中無一例外地都失敗了。每一個被提出的證明不是在邏輯上犯了錯誤，就是間接引進了另一條不加證明就承認了的命題?！　Φ谖骞O(shè)的研究，使人們的幾何知識更豐富了。大家弄清楚了可以用另一些命題代替第五公設(shè)，而不改變歐幾里得幾何的內(nèi)容。這些可以代替第五公設(shè)的命題有：“過直線外一點能且僅能作一條平行線”，“三角形內(nèi)角和等于兩直角”，“過不在一直線的三點有且僅有一個圓”，“存在面積足夠大的三角形”。但是如不引進一條別的命題，就是證明不了第五公設(shè)?！　　?/pre>




編輯推薦
　　張景中院士是我國著名數(shù)學(xué)家、計算機專家，曾任中國科普作家協(xié)會理事長。他的不講數(shù)學(xué)理論只講數(shù)學(xué)思想，用日常生活中的淺顯事例，向青少年普及數(shù)學(xué)的創(chuàng)作手法，是我國數(shù)學(xué)科普創(chuàng)作的一大飛躍。他的數(shù)學(xué)科普作品，不同于一般的科普讀物，它不是簡單的材料收集和整理，而是一個站在科學(xué)前沿的學(xué)者的真知灼見?！　　稊?shù)學(xué)與哲學(xué)（典藏版院士數(shù)學(xué)講座專輯）》是由張景中先生撰寫的數(shù)學(xué)科普讀物。





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