數(shù)學(xué)與哲學(xué)

前言

　　由于具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題多如繁星，數(shù)學(xué)家往往整天埋頭于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，無(wú)暇關(guān)注數(shù)學(xué)發(fā)展中出現(xiàn)的“矛盾”。但數(shù)學(xué)史告訴我們，恰好是“矛盾”的一次次解決，才導(dǎo)致數(shù)學(xué)發(fā)展的飛躍與深化。張景中的《數(shù)學(xué)與哲學(xué)》就是對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展中這些重大的歷史事件，用通俗的講法向大眾展示當(dāng)時(shí)的爭(zhēng)論內(nèi)容與形勢(shì)，及以后的解決辦法和數(shù)學(xué)的飛躍發(fā)展。是一本可讀性很高、可以雅俗共賞的書(shū)，各種程度的人都可以從該書(shū)中受到啟發(fā)與益處，也包括數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)研究人員在內(nèi)，因?yàn)檫@些人不一定很熟悉歷史上的一些數(shù)學(xué)爭(zhēng)議?！　±纾P(guān)于數(shù)，是否僅有自然數(shù)及由它產(chǎn)生的有理數(shù)就夠了。那么√2是什么？這就導(dǎo)致無(wú)理數(shù)的產(chǎn)生。在歐氏幾何中，不少人企圖給出第五公設(shè)的證明，但都失敗了，這導(dǎo)致非歐幾何的產(chǎn)生；無(wú)窮小量的應(yīng)用與定義，導(dǎo)致嚴(yán)格實(shí)數(shù)極限理論的建立、無(wú)窮集合的比較、集合定義的確定及哥德?tīng)柖ɡ?；等等。每?jīng)過(guò)這些重大的歷史事件，數(shù)學(xué)思想都得到飛躍，從而使數(shù)學(xué)得到質(zhì)的發(fā)展與飛躍?！　”緯?shū)對(duì)這一系列重大事件作了通俗具體的解釋?zhuān)戳擞X(jué)得很有趣味。一般說(shuō)來(lái)，具備數(shù)學(xué)程度的人，就可以了解其大意。但本書(shū)又不是完全沒(méi)有實(shí)質(zhì)性敘述的夸夸其談的工作，使讀者不知所云。作品雖然是通俗講法，但并不失去嚴(yán)謹(jǐn)性，這恰好是科普著作必須把握而容易忽略的要害之處。作者是花了不少功夫的，所以本書(shū)在把握通俗與嚴(yán)謹(jǐn)兩個(gè)方面都做得比較好。　?。ㄖ麛?shù)學(xué)家 中科院院士王元）

內(nèi)容概要

《數(shù)學(xué)與哲學(xué)(典藏版院士數(shù)學(xué)講座專(zhuān)輯)》是“中國(guó)科普名家名作”系列之一。
《數(shù)學(xué)與哲學(xué)(典藏版院士數(shù)學(xué)講座專(zhuān)輯)》是我國(guó)著名數(shù)學(xué)家、計(jì)算機(jī)專(zhuān)家張景中院士創(chuàng)作的科普讀物，包括數(shù)是什么；命運(yùn)決定還是意志自由；舉例子能證明幾何定理嗎；數(shù)學(xué)與哲學(xué)隨想等十一章內(nèi)容。

作者簡(jiǎn)介

張景中，數(shù)學(xué)家，中國(guó)科學(xué)院院士，多年從事幾何算法和定理機(jī)器證明研究，其成果曾獲國(guó)家發(fā)明二等獎(jiǎng)，中國(guó)科學(xué)院自然科學(xué)一等獎(jiǎng)，國(guó)家自然科學(xué)二等獎(jiǎng)。熱心數(shù)學(xué)教育，提出教育數(shù)學(xué)的思想，并從事中學(xué)教學(xué)改革和微積分教學(xué)改革的研究。熱愛(ài)科普事業(yè)，其所著《教育數(shù)學(xué)叢書(shū)》。曾獲中國(guó)圖書(shū)獎(jiǎng)，《數(shù)學(xué)家的眼光》等科普作品曾獲國(guó)家科技進(jìn)步二等獎(jiǎng)、第六屆國(guó)家圖書(shū)獎(jiǎng)、“五個(gè)一”工程獎(jiǎng)、全國(guó)科普創(chuàng)作一等獎(jiǎng)。所主編的《好玩的數(shù)學(xué)》叢書(shū)獲國(guó)家科技進(jìn)步二等獎(jiǎng)。

書(shū)籍目錄

第一章  “萬(wàn)物皆數(shù)”觀點(diǎn)的破滅與再生
第二章  哪種幾何才是真的
第三章  變量·無(wú)窮小·量的鬼魂
第四章  自然數(shù)有多少
第五章  羅素悖論引起的軒然大波
第六章  數(shù)是什么
第七章  是真的，但又不能證明
第八章  數(shù)學(xué)與結(jié)構(gòu)
第九章  命運(yùn)決定還是意志自由
第十章  舉例子能證明幾何定理嗎
第十一章  數(shù)學(xué)與哲學(xué)隨想

章節(jié)摘錄

　?。?）點(diǎn)是沒(méi)有部分的那種東西；　?。?）線是沒(méi)有寬度的長(zhǎng)度；　?。?）直線是同其上各點(diǎn)看齊的線；　　（14）圖形是被一些邊界所包含的那種東西。　　除了定義之外，歐幾里得還選擇了一些不加證明而承認(rèn)下來(lái)的命題作為基本命題。他把這些基本命題叫公理或公設(shè)。公理是許多學(xué)科都用到的量的關(guān)系，如“與同一物相等的一些物，它們彼此相等”，“全量大于部分”，等等。而公設(shè)則是專(zhuān)門(mén)為了幾何對(duì)象而提出的。他有五條公理和五條公設(shè)。這些公設(shè)是：　?。?）從一點(diǎn)到另一點(diǎn)可作一條直線；　?。?）直線可以無(wú)限延長(zhǎng)；　　（3）已知一點(diǎn)和一距離，可以該點(diǎn)為中心，以該距離為半徑作一圓；　?。?）所有的直角彼此相等；　?。?）若一直線與其他兩直線相交，以致該直線一側(cè)的兩內(nèi)角之和小于兩直角，則那兩直線延伸足夠長(zhǎng)后必相交于該側(cè)?！　∵@里應(yīng)當(dāng)說(shuō)明一下，按現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，公理與公設(shè)是一回事，沒(méi)有必要加以區(qū)分?！　W幾里得從公理、公設(shè)和定義出發(fā)，導(dǎo)出了數(shù)百條幾何定理。這一杰作展示了邏輯的力量，顯示出人類(lèi)理性的創(chuàng)造能力?！　〔贿^(guò)，到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們的嚴(yán)格性標(biāo)準(zhǔn)大大提高之后，發(fā)現(xiàn)《幾何原本》并非像原來(lái)人們所認(rèn)為的那樣完美無(wú)瑕，它有兩方面的邏輯漏洞：一方面，他的證明中用到了公理、公設(shè)和定義沒(méi)有包括的一些命題。這些命題要補(bǔ)充到公理當(dāng)中去?！　×硪环矫?，他的定義有問(wèn)題。為了定義點(diǎn)，他用到了“部分”這個(gè)術(shù)語(yǔ)；為了定義線，他用到了“寬度”與“長(zhǎng)度”：為了定義直線，他用到了“看齊”；為了定義圖形，他又用到“邊界”。這樣用不加定義的術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)明要定義的術(shù)語(yǔ)，結(jié)果等于沒(méi)有定義。這樣的定義是不能在推理中使用的，因?yàn)樵谶壿嬌衔覀儾恢廊绾问褂谩安糠帧?、“長(zhǎng)度”、“寬度”、“看齊”這些術(shù)語(yǔ)?！　∵@些漏洞已經(jīng)被19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們補(bǔ)上了。這里暫不敘述補(bǔ)漏洞的詳情。我們轉(zhuǎn)向一些哲學(xué)家關(guān)心的事?！　W幾里得的幾何定理是真理嗎　　歐幾里得的。《幾何原本》向哲學(xué)家們建議了一種認(rèn)識(shí)真理的方法：從少數(shù)幾條明白清楚的前提出發(fā)，用邏輯工具證明你的結(jié)論。如果前提是真理，則結(jié)論也是真理。這一思想對(duì)哲學(xué)家們產(chǎn)生了重大影響。后來(lái)的許多哲學(xué)家，特別是唯理論派哲學(xué)家，都力圖用歐幾里得的方式寫(xiě)出自己的著作，闡述自己的學(xué)說(shuō)與觀點(diǎn)?！　〉?，一個(gè)更基本的問(wèn)題出現(xiàn)了。怎么知道歐幾里得的公設(shè)是真的呢？　　兩千多年中，哲學(xué)家們幾乎一致認(rèn)為，歐幾里得的公設(shè)就是真理，是可以明確知道的東西。而且，多數(shù)哲學(xué)家認(rèn)為這些公設(shè)既不是來(lái)自經(jīng)驗(yàn)，也不是來(lái)自邏輯分析，而是來(lái)自人類(lèi)理性的先天洞察能力?！　〈_實(shí)，柏拉圖早就宣稱(chēng)，我們用理性的眼睛看到“形式”的永恒王國(guó)；　　康德認(rèn)為，人類(lèi)在認(rèn)知幾何學(xué)時(shí)是在把握自己感觀的先天結(jié)構(gòu)。就連一些唯物主義的哲學(xué)家，在涉及幾何學(xué)時(shí)，也不否認(rèn)歐幾里得幾何的真理性?！　∧敲?，說(shuō)這些公設(shè)是真的，是什么意思呢？比方說(shuō)，說(shuō)“兩點(diǎn)可以確定一直線”，這里直線是什么意思呢？如果“直”線的意思不清楚，說(shuō)“兩點(diǎn)可以確定一直線”是“真”的又有什么意義呢？　　哲學(xué)家們當(dāng)然認(rèn)為，“直”就是人們通常理解的直?！　∈裁从质峭ǔ＠斫獾闹蹦兀课覀冇泻脦追N標(biāo)準(zhǔn)：　　（1）木工檢驗(yàn)一條線直不直，是沿著它看?？?，當(dāng)然依賴(lài)于光。這就是說(shuō)：光走的是直線?！　。?）建筑工人確定地基時(shí)要拉線。這是認(rèn)為，拉緊了的線是直的?！　。?）直線是兩點(diǎn)間最短的路線，是唯一的?！　。?）過(guò)線的一端以另一端為心畫(huà)圓。如果線是直的，圓周長(zhǎng)應(yīng)當(dāng)是線長(zhǎng)的2π倍?！　∵€可以找到別的標(biāo)準(zhǔn)?！　∪绻@些標(biāo)準(zhǔn)互相間矛盾了怎么辦？大家認(rèn)為，它們不會(huì)矛盾。確實(shí)，經(jīng)驗(yàn)告訴人們這幾條標(biāo)準(zhǔn)是一致的。于是，人們沒(méi)有理由懷疑歐幾里得幾何的真理性。歐幾里得幾何被當(dāng)做人類(lèi)可以認(rèn)識(shí)絕對(duì)真理的范例。至于邏輯漏洞，那是技術(shù)上的細(xì)節(jié)，補(bǔ)上就好了?！　》菤W幾何的發(fā)現(xiàn)既然把歐幾里得的公設(shè)看成是人類(lèi)理性可以洞察的自明之理，數(shù)學(xué)家自然按照這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)要求它。這么一要求，就發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)敘述起來(lái)那么復(fù)雜，理解起來(lái)并不見(jiàn)得容易，很不像一條自明之理?！　∧懿荒馨训谖骞O(shè)作為公設(shè)（即公理）的資格取消呢？這個(gè)誘人的思想吸引了歐幾里得以后的許多數(shù)學(xué)家。要把它從公設(shè)的行列中趕出去，就只有用別的公設(shè)來(lái)證明它，使它成為一條定理。但是，企圖證明第五公設(shè)的努力在兩千多年中無(wú)一例外地都失敗了。每一個(gè)被提出的證明不是在邏輯上犯了錯(cuò)誤，就是間接引進(jìn)了另一條不加證明就承認(rèn)了的命題?！　?duì)第五公設(shè)的研究，使人們的幾何知識(shí)更豐富了。大家弄清楚了可以用另一些命題代替第五公設(shè)，而不改變歐幾里得幾何的內(nèi)容。這些可以代替第五公設(shè)的命題有：“過(guò)直線外一點(diǎn)能且僅能作一條平行線”，“三角形內(nèi)角和等于兩直角”，“過(guò)不在一直線的三點(diǎn)有且僅有一個(gè)圓”，“存在面積足夠大的三角形”。但是如不引進(jìn)一條別的命題，就是證明不了第五公設(shè)?！　　?/pre>




編輯推薦
　　張景中院士是我國(guó)著名數(shù)學(xué)家、計(jì)算機(jī)專(zhuān)家，曾任中國(guó)科普作家協(xié)會(huì)理事長(zhǎng)。他的不講數(shù)學(xué)理論只講數(shù)學(xué)思想，用日常生活中的淺顯事例，向青少年普及數(shù)學(xué)的創(chuàng)作手法，是我國(guó)數(shù)學(xué)科普創(chuàng)作的一大飛躍。他的數(shù)學(xué)科普作品，不同于一般的科普讀物，它不是簡(jiǎn)單的材料收集和整理，而是一個(gè)站在科學(xué)前沿的學(xué)者的真知灼見(jiàn)?！　　稊?shù)學(xué)與哲學(xué)（典藏版院士數(shù)學(xué)講座專(zhuān)輯）》是由張景中先生撰寫(xiě)的數(shù)學(xué)科普讀物。





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