數(shù)學(xué)雜談

內(nèi)容概要

　　國(guó)家科技進(jìn)步獎(jiǎng)
　　國(guó)家圖書(shū)獎(jiǎng)
　　全國(guó)優(yōu)秀暢銷(xiāo)書(shū)獎(jiǎng)
　　全國(guó)優(yōu)秀科普讀物一等獎(jiǎng)

作者簡(jiǎn)介

張景中院士是我國(guó)著名數(shù)學(xué)家、計(jì)算機(jī)專(zhuān)家，曾任中國(guó)科普作家協(xié)會(huì)理事長(zhǎng)。他的不講數(shù)學(xué)理論只講數(shù)學(xué)思想，用日常生活中的淺顯事例，向青少年普及數(shù)學(xué)的創(chuàng)作手法，是我國(guó)數(shù)學(xué)科普創(chuàng)作的一大飛躍。他的數(shù)學(xué)科普作品，不同于一般的科普讀物，它不是簡(jiǎn)單的材料收集和整理，而是一個(gè)站在科學(xué)前沿的學(xué)者的真知灼見(jiàn)。因此，他寫(xiě)的科普讀物高屋建瓴，常有畫(huà)龍點(diǎn)睛，令人叫絕之筆，多年以來(lái)，喜歡數(shù)學(xué)的讀者無(wú)不渴望得到他的作品。張景中院士的科普作品是中國(guó)數(shù)學(xué)科普的旗幟，是中國(guó)數(shù)學(xué)科普最高水平的標(biāo)志。

書(shū)籍目錄

第一篇　少年數(shù)學(xué)迷
 方格紙上的數(shù)學(xué)
 方格紙上的速算
 “錯(cuò)”也有用
 花園分塊
 巧分生日蛋糕
 “l(fā)＋1≠2”的形形色色
 用圓規(guī)巧畫(huà)梅花
 從朱建華跳過(guò)2.38米說(shuō)起
 逃不掉的老鼠
 石子游戲與同余式
 石子游戲與遞歸序列
 鏡子里的幾何問(wèn)題
 在“代”字上做文章
第二篇　面積方法隨筆
 再生的證明
 用面積法證明三角形相似的判定條件
 用面積法解幾個(gè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題
 三角園地的側(cè)門(mén)
 正弦函數(shù)增減性的直觀(guān)證明
 蝴蝶定理的新故事
第三篇　課外天地
 從正多邊形一個(gè)有趣的性質(zhì)談起
 怎樣用坐標(biāo)法誘發(fā)綜合法
 從反對(duì)數(shù)表的幾何性質(zhì)談起
 多項(xiàng)式除法與高次方程的數(shù)值求解
 穩(wěn)扎穩(wěn)打的對(duì)分求根法
第四篇　數(shù)林一葉
 消點(diǎn)法淺談
 舉例子能證明幾何定理嗎
 幾何定理機(jī)器證明的吳法淺談
 規(guī)尺作圖問(wèn)題的余波
 “生銹圓規(guī)”作圖問(wèn)題的意外進(jìn)展

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁(yè)：插圖：現(xiàn)在來(lái)玩一種新鮮的石子游戲。石子只有一堆，限定石子的顆數(shù)是奇數(shù)。拿法也很簡(jiǎn)單：甲乙兩人輪流拿，每人每次只許拿1顆或2顆，不許多拿，也不許不拿。這么簡(jiǎn)單的游戲，有什么奧妙呢？奧妙就在勝負(fù)的規(guī)則上。這規(guī)則是：當(dāng)石子拿完之后，誰(shuí)拿到手的石子總數(shù)是奇數(shù)，誰(shuí)就是勝利者。這樣，當(dāng)你考慮該拿多少石子時(shí)，不但要看剩下多少石子，還要看手里有多少石子。比方說(shuō)，只剩下2顆石子時(shí)，恰好該你拿，你怎么做才能摘取這近在眼前的勝利之果呢？數(shù)一數(shù)手里的石子吧。手里是奇數(shù)，你就拿2顆；手里是偶數(shù)，當(dāng)然拿1顆啦！怎么找到取勝的訣竅呢？我們已經(jīng)有經(jīng)驗(yàn)了：從最簡(jiǎn)單的情形入手研究，是掌握石子游戲規(guī)律的好辦法，也是解數(shù)學(xué)題的一條基本法則。只剩下1顆石子，先拿者勝。這說(shuō)法對(duì)嗎？粗想似乎不錯(cuò)?？墒莿e忘了，勝負(fù)和手中的石子數(shù)還有關(guān)系呢！如果你手中有偶數(shù)顆石子（沒(méi)有石子也算偶數(shù)顆石子），輪到你拿時(shí)，只有1顆石子，你當(dāng)然勝了。如果不巧，你手中已有奇數(shù)顆石子，再拿1顆就成了偶數(shù)：而石子總數(shù)卻是奇數(shù)，你拿到偶數(shù)，對(duì)方當(dāng)然拿到奇數(shù)而獲勝。因此，不能把“只剩1顆石子”的局勢(shì)簡(jiǎn)單地定性為“先拿者勝”，而應(yīng)當(dāng)具體地說(shuō)成是“偶勝奇敗”——先拿者手中有偶數(shù)顆石子則勝，有奇數(shù)顆則敗。如果是2顆石子，先拿者便能控制全局，穩(wěn)操勝券。道理剛才已說(shuō)過(guò)了：先拿者手中有偶拿1顆，手中有奇拿2顆。這樣，“只剩2顆石子”的情形，可以定性為“奇偶皆勝”。進(jìn)一步考慮剩3顆石子的局勢(shì)。如果輪到你拿，你千萬(wàn)不要只拿1顆；只拿1顆，對(duì)方便面臨“奇偶皆勝”的幸運(yùn)場(chǎng)面了。如果你拿2顆呢？對(duì)方面臨的是“偶勝奇敗”的境地。在剩3顆石子能情形下，兩人手中石子數(shù)之和為偶數(shù)，你手中石子數(shù)的奇偶性和劉方相同，所以對(duì)于你，便是“奇勝偶敗”了。因此，只有3顆石子的局勢(shì)，叫做“奇勝偶敗”。4顆石子的局面，你當(dāng)然不能拿2顆，以免對(duì)方占據(jù)“奇偶瞽勝”的制高點(diǎn)。拿1顆，對(duì)方是“奇勝偶敗”。對(duì)于你，是不是又可以說(shuō)是“偶勝奇敗”呢？這回不行了。因?yàn)槟阋呀?jīng)拿了一顆石子改變了自己手中石子數(shù)的奇偶性，所以對(duì)于你也是“奇勝偶敗”。剩下5顆石子時(shí)，你手里石子數(shù)的奇偶性和對(duì)方是一致的。如果你是偶數(shù)，對(duì)方也是偶數(shù)。不管你拿1顆或2顆，對(duì)方總會(huì)陷入“奇勝偶敗”的絕境。反之，如果你手中的是奇數(shù)，對(duì)方也是奇數(shù)不管你拿1顆或2顆，都要無(wú)可奈何地把“奇勝偶敗”的有利局面拱手讓人。因此剩5顆石子的定性結(jié)論是“偶勝奇敗”，和剩1顆石子的局面相同。剩6顆石子的局勢(shì)會(huì)不會(huì)又和剩2顆石子的局面一致呢？果然不錯(cuò)。剩6顆時(shí)，兩人奇偶相反。你手中是偶數(shù)時(shí)，取1顆，對(duì)方陷入“偶勝奇敗”的境地；你拿到奇數(shù)時(shí)，取2顆，對(duì)方陷入“奇勝偶敗”的境地！所以剩6顆和剩2顆一樣，是“奇偶皆勝”！是不是要繼續(xù)分析還剩7顆、8顆、9顆石子的各種局面呢？看來(lái)不必了。剩5顆等于剩1顆，剩6顆等于剩2顆，剩7顆豈不是等于剩3顆了嗎？如此循環(huán)，規(guī)律不就找到了嗎？是不是真的循環(huán)呢？為了討論起來(lái)簡(jiǎn)便，我們用字母代替語(yǔ)言。字母B代表“奇偶皆勝”（B是both的第一個(gè)字母），0代表“奇勝偶敗”（O，即odd，奇數(shù)），E代表“偶勝奇敗”（E，即even，偶數(shù)）。我們已經(jīng)弄清了，剩下石子為1、2、3、4、5、6顆時(shí)，順次出現(xiàn)的局勢(shì)是EBOOEB，所以猜想：接下去會(huì)繼續(xù)循環(huán)，成為一組很有規(guī)律的排列，即EBOOEBOOEBOO……怎樣從開(kāi)始的EBOOEB推斷出后面的一串呢？只要證明下列幾條規(guī)律就夠了。1）若EB前面的字母?jìng)€(gè)數(shù)為偶數(shù)，EB之后必為O，則BO前面有奇數(shù)個(gè)字母。2）若BO前面的字母?jìng)€(gè)數(shù)為奇數(shù)，BO之后必為O，則00前面有偶數(shù)個(gè)字母。3）若00前面的字母?jìng)€(gè)數(shù)為偶數(shù)，00之后必為E，則0E前面有奇數(shù)個(gè)字母。4）若0E前面的字母?jìng)€(gè)數(shù)為奇數(shù)，OE之后必為B，則EB前面的字母?jìng)€(gè)數(shù)為偶數(shù)。一條接一條地應(yīng)用這4條規(guī)律，周而復(fù)始，就能證實(shí)我們的猜想。這4條規(guī)律證起來(lái)并不難。同學(xué)們不妨試著分析一下，這是很好的邏輯思維訓(xùn)練呢！這樣一列符號(hào)，后面的每項(xiàng)由前面相鄰的幾項(xiàng)所確定，在數(shù)學(xué)里叫做遞歸序列。這里每項(xiàng)僅僅由前兩項(xiàng)確定，叫二階遞歸序列。由有限個(gè)符號(hào)組成的遞歸序列，最后一定會(huì)出現(xiàn)循環(huán)。牢牢記住EB00這4個(gè)字母的順序，只要你手中石子數(shù)的奇偶性符合面臨局勢(shì)的代表字母，你便能穩(wěn)操勝券了。什么叫符合？比方說(shuō)，現(xiàn)在輪到你拿石子了。剩下的石子數(shù)目是9，把9用4除余1，4個(gè)字母中第一個(gè)是E，你面臨的局勢(shì)便為E，E代表偶數(shù)。如果你手中石子數(shù)恰是偶數(shù)，你便能勝利。類(lèi)似地，剩下的石子數(shù)目被4除余2時(shí)，你面臨的局勢(shì)為B，奇偶皆勝！被4除余3或除盡時(shí)，你手中的石子數(shù)為奇數(shù)時(shí)才有取勝把握。

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