從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)

前言

教育數(shù)學(xué)，作為一門學(xué)科，尚待承認(rèn)；但教育數(shù)學(xué)的活動(dòng)，則早已存在。兩千多年前的歐幾里得，對(duì)當(dāng)時(shí)的幾何學(xué)研究成果進(jìn)行再創(chuàng)造，寫(xiě)成了《幾何原本》這一有著深遠(yuǎn)影響的教程。這是教育數(shù)學(xué)的第一個(gè)光輝典范。一百多年前的法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西，對(duì)牛頓、萊布尼茲以來(lái)微積分的研究成果進(jìn)行再創(chuàng)造，寫(xiě)出了至今還在影響著大學(xué)講壇的《分析教程》，成為高等數(shù)學(xué)教育發(fā)展途中的一座里程碑。這是教育數(shù)學(xué)的又一杰出貢獻(xiàn)。當(dāng)代的布爾巴基學(xué)派，把浩繁的現(xiàn)代數(shù)學(xué)納入“結(jié)構(gòu)”的框架，出版了已達(dá)40余卷的百科全書(shū)似的巨著《數(shù)學(xué)原理》，“對(duì)數(shù)學(xué)從頭探討，并給予完全的證明”。這是為數(shù)學(xué)家準(zhǔn)備的高級(jí)教程。應(yīng)當(dāng)說(shuō)，布爾巴基是當(dāng)代的教育數(shù)學(xué)大師。為什么是教育數(shù)學(xué)而不是數(shù)學(xué)教育？數(shù)學(xué)教育要靠數(shù)學(xué)科學(xué)提供材料。對(duì)材料進(jìn)行教學(xué)法的加工使之形成教材，是數(shù)學(xué)教育的任務(wù)。但是，數(shù)學(xué)教育不承擔(dān)數(shù)學(xué)上的創(chuàng)造工作。為了教育的需要，對(duì)數(shù)學(xué)研究成果進(jìn)行再創(chuàng)造式的整理，提供適于教學(xué)法加工的材料，往往需要數(shù)學(xué)上的創(chuàng)新。這屬于教育數(shù)學(xué)的任務(wù)。因此，我們認(rèn)為，歐幾里得、柯西以及布爾巴基們，是教育數(shù)學(xué)家。他們的工作成果，一次又一次地被數(shù)學(xué)教育家加工，成為各式各樣的課本，直到今天。從歐幾里得到布爾巴基，他們是站在數(shù)學(xué)發(fā)展前沿從事再創(chuàng)造活動(dòng)的。到了今天，在中小學(xué)和大學(xué)課堂上，面對(duì)著歐幾里得、柯西這些大師們留下的珍貴遺產(chǎn)，我們似乎是在數(shù)學(xué)的大后方。在大后方，除了“教學(xué)法加工”之外，是不是無(wú)事可做了呢？如果無(wú)事可做，“教育數(shù)學(xué)”在中小學(xué)到大學(xué)這一廣闊領(lǐng)域，豈不是沒(méi)有立足之地了嗎？事實(shí)并非如此。前輩大師們留下的珍貴遺產(chǎn)，并非盡善盡美。在中學(xué)到大學(xué)的數(shù)學(xué)課程中，存在著公認(rèn)的難點(diǎn)。如何處理這些難點(diǎn)，一直被認(rèn)為是數(shù)學(xué)教育的任務(wù)。這些難點(diǎn)，說(shuō)明了前輩大師們的工作尚有缺陷。指出這些缺陷，從數(shù)學(xué)上而不是從教育學(xué)上加以再創(chuàng)造，正是當(dāng)前教育數(shù)學(xué)的任務(wù)之一。本書(shū)作者一直致力于這方面的研究工作，這本書(shū)介紹的就是作者從1975年以來(lái)進(jìn)行的探討，具體包括3個(gè)問(wèn)題：平面幾何的新體系與新方法，極限概念的“非ε-語(yǔ)言”定義法，以及實(shí)數(shù)理論中的連續(xù)歸納法。我們希望讀者閱讀了這本書(shū)之后，能夠有這樣的印象：教育數(shù)學(xué)是具體的、切切實(shí)實(shí)的數(shù)學(xué)，不是空泛的討論。但是，作為一門學(xué)科，它仍然是一株幼苗，甚至是一粒剛剛萌發(fā)的種子。

內(nèi)容概要

本書(shū)(作者張景中、曹培生)是“中國(guó)科普名家名作”系列之一。
本書(shū)是我國(guó)著名數(shù)學(xué)家、計(jì)算機(jī)專家張景中院士創(chuàng)作的科普讀物，包括珍貴的遺產(chǎn)，沉重的負(fù)擔(dān)；國(guó)王向歐幾里得提出的請(qǐng)求；平面幾何的另一條新路等九部分內(nèi)容。

作者簡(jiǎn)介

張景中，院士是我國(guó)著名數(shù)學(xué)家、計(jì)算機(jī)專家，曾任中國(guó)科普作家協(xié)會(huì)理事長(zhǎng)。他的不講數(shù)學(xué)理論只講數(shù)學(xué)思想，用日常生活中的淺顯事例，向青少年普及數(shù)學(xué)的創(chuàng)作手法，是我國(guó)數(shù)學(xué)科普創(chuàng)作的一大飛躍。他的數(shù)學(xué)科普作品，不同于一般的科普讀物，它不是簡(jiǎn)單的材料收集和整理，而是一個(gè)站在科學(xué)前沿的學(xué)者的真知灼見(jiàn)。因此，他寫(xiě)的科普讀物高屋建瓴，常有畫(huà)龍點(diǎn)睛，令人叫絕之筆，多年以來(lái)，喜歡數(shù)學(xué)的讀者無(wú)不渴望得到他的作品。張景中院士的科普作品是中國(guó)數(shù)學(xué)科普的旗幟，是中國(guó)數(shù)學(xué)科普最高水平的標(biāo)志。

書(shū)籍目錄

一、珍貴的遺產(chǎn)，沉重的負(fù)擔(dān)
  1．1  從方塊字談起
  1．2  10個(gè)指頭不如8個(gè)指頭
  1．3  更先進(jìn)的數(shù)制
  1．4  亡羊補(bǔ)牢，猶未為晚
二、國(guó)王向歐幾里得提出的請(qǐng)求
  2．1  第一部幾何教科書(shū)
  2．2  國(guó)王的請(qǐng)求
  2．3  難在何處
  2．4  眼光向前
三、要什么樣的幾何教材
  3．1  幾何——數(shù)學(xué)教育改革的熱點(diǎn)
  3．2  歐幾里得滾蛋
  3．3  對(duì)新教材的要求
四、抓住面積，開(kāi)門見(jiàn)山
  4．1  面積法——古老的證題工具
  4．2  面積——數(shù)學(xué)里的多面手
  4．3  一個(gè)開(kāi)門見(jiàn)山的體系
  4．4  面積公式□解題利器
五、平面幾何的另一條新路
  5．1  一個(gè)平凡公式的妙用
  5．2  共邊三角形與共角三角形
  5．3  兩個(gè)定理的廣泛應(yīng)用
  5．4  邏輯展開(kāi)
  5．5  新體系的邏輯后盾——公理體系
  5．6  張角公式的用處
六、面積方法在課外
  6．1  面積與軌跡
  6．2  面積與坐標(biāo)
  6．3  面積與自然對(duì)數(shù)
  6．4  一線串五珠
  6．5  余面積與勾股差
七、微積分大門的高門檻
  7．1  又一份珍貴遺產(chǎn)——微積分
  7．2  極限理論與“ε-語(yǔ)言”  
  7．3  不用“ε-語(yǔ)言”講數(shù)列極限
  7．4  不用“ε-語(yǔ)言”講函數(shù)極限
  7．5  兩種極限定義的等價(jià)性
八、漏掉了的基本定理
  8．1  兩種歸納法——何其相似乃爾
  8．2  連續(xù)歸納原理與實(shí)數(shù)連續(xù)性等價(jià)
  8．3  連續(xù)歸納法的應(yīng)用
  8．4  一個(gè)由點(diǎn)到面的推理模式
  8．5  兩種質(zhì)疑
九、從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)
  9．1  從歐幾里得到布爾巴基
  9．2  教育數(shù)學(xué)有事可做
  9．3  是難是易
  9．4  優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)
  9．5  紙上談兵與真刀真槍
后記

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁(yè)：插圖：據(jù)說(shuō)，世界上再版次數(shù)最多、流傳最廣的書(shū)，除了圣經(jīng)之外，就要數(shù)歐幾里得的《幾何原本》了。圣經(jīng)的流傳依靠宗教的力量，而《幾何原本》的歷久不衰靠的是它在科學(xué)上的卓越成就?！稁缀卧尽钒旬?dāng)時(shí)人類所掌握的相當(dāng)豐富，但雜亂無(wú)章的幾何知識(shí)熔于一爐，鑄成了一個(gè)空前嚴(yán)整的科學(xué)體系。這在人類認(rèn)識(shí)世界的歷史上實(shí)為一大創(chuàng)舉。同時(shí)，《幾何原本》又以它無(wú)可爭(zhēng)辯的威望，自然而然地成為幾何課程的第一部教材，占領(lǐng)中學(xué)幾何課堂兩千多年而歷久不衰。如今，初中的幾何課本雖大有刪改，但不外乎是《幾何原本》的變形或縮影。事實(shí)表明，歐幾里得真是一箭雙雕。因?yàn)椤稁缀卧尽凡粌H在科學(xué)領(lǐng)域是成功的，在教育領(lǐng)域也是成功的。它把生動(dòng)直觀的圖形與嚴(yán)密的論證緊密結(jié)合起來(lái)，出發(fā)點(diǎn)簡(jiǎn)明而無(wú)可爭(zhēng)辯；特別是它還給學(xué)生提供了豐富多彩，而且?guī)缀跏菑囊椎诫y任何一級(jí)難度的習(xí)題，從而激起學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的高度興趣，甚至產(chǎn)生如癡如醉的感覺(jué)，這是其他任何課程都無(wú)法比擬的。2.2 國(guó)王的請(qǐng)求歐幾里得的幾何體系也并非完美無(wú)缺。經(jīng)過(guò)人們兩干多年的探討，最后由希爾伯特這位數(shù)學(xué)巨匠，彌補(bǔ)了它邏輯上的漏洞。希爾伯特手法之高明，幾乎達(dá)到了無(wú)可指摘的地步。但在教育方面至今仍無(wú)多大改觀。由于歐幾里得幾何體系本身的不足，使得幾何課程仍讓中學(xué)數(shù)學(xué)教師和學(xué)生感到棘手。有這么一個(gè)故事：古埃及的一位國(guó)王托勒密，曾向歐幾里得學(xué)習(xí)幾何。國(guó)王被一連串的公理、定義、定理弄得頭昏腦漲，便向歐幾里得請(qǐng)求道：“親愛(ài)的歐幾里得先生，能不能把您的幾何弄得簡(jiǎn)單一些呢？”這位偉大的學(xué)者嚴(yán)肅地回答說(shuō)：“幾何無(wú)王者之路！”人們常常是懷著對(duì)歐幾里得的欽佩之情與對(duì)國(guó)王的嘲諷之意談起這個(gè)故事。但是，我倒想替這位國(guó)王說(shuō)幾句話。作為學(xué)生，總是希望老師能把課講得精彩些、明白些，總是希望教科書(shū)編得更容易看懂。在這一點(diǎn)上，國(guó)王的要求，正是道出了兩千多年來(lái)幾何教師和學(xué)生們的心聲。幾何難學(xué)，已是一個(gè)不爭(zhēng)的事實(shí)。關(guān)于初等幾何學(xué)習(xí)方法、教學(xué)方法、解題方法的書(shū)，出了一本又一本，種類與數(shù)量之多，與幾何課的課時(shí)不成比例！這一切都說(shuō)明，幾何是一門公認(rèn)的難學(xué)的課程。初中生成績(jī)分化，也常常先在這門課上表現(xiàn)出來(lái)。2.3 難在何處為什么難學(xué)呢？幾何學(xué)是講空間形式的。是空間形式本身難于認(rèn)識(shí)，還是歐幾里得的體系不夠好，把本來(lái)容易認(rèn)識(shí)的東西講難了呢？對(duì)于客觀世界的空間形式，我們奈何它不得。所以，我們的改革只有從歐幾里得的體系本身尋找原因，挑老先生的毛病！學(xué)習(xí)一門課程，好比游覽一個(gè)城市；課程的邏輯體系，就好比城市的交通系統(tǒng)。好的交通系統(tǒng)，應(yīng)當(dāng)有“放射型”的交通中心。交通中心應(yīng)該四通八達(dá)，找到它，我們到哪兒都方便。而歐幾里得的幾何體系又怎么樣呢？它沒(méi)有一個(gè)突出的中心，沒(méi)有一個(gè)能讓學(xué)生俯瞰全局的制高點(diǎn)。它的邏輯結(jié)構(gòu)是串聯(lián)式而不是放射型的?！稁缀卧尽返拿恳还?jié)都那么重要，任何一部分沒(méi)學(xué)好，往前走的路就斷了，這就是串聯(lián)式邏輯結(jié)構(gòu)的特征。歐幾里得把我們引進(jìn)了一座精巧雅致的古代園林，這兒有目不暇接的美景，卻沒(méi)有簡(jiǎn)單明了的交通指南。你不知道哪里才是通往園林各個(gè)角落的中心點(diǎn)，只有小心翼翼地跟在這位老向?qū)У暮竺?，沿著一條曲曲折折的小徑飽覽勝景。稍不留心，就會(huì)迷路！歐幾里得體系的又一個(gè)令人頭痛的問(wèn)題，是它沒(méi)有提供一套強(qiáng)有力的、通用的解題方法。我們學(xué)會(huì)了加減乘除，就會(huì)算很多算術(shù)題：學(xué)會(huì)了解二元一次方程組，就能解大量方程式應(yīng)用題。但幾何與算術(shù)、代數(shù)不一樣，盡管我們學(xué)了一堆幾何定理，仍然會(huì)在一些其實(shí)并不難解的幾何習(xí)題面前束手無(wú)策。這是為什么呢？其實(shí)道理也很簡(jiǎn)單，歐幾里得給我們的基本解題工具，主要是全等三角形和相似三角形；而許多題目里出現(xiàn)的圖形，并不包含這些。要用上它們，往往要畫(huà)輔助線?？稍鯓赢?huà)輔助線，需要想象與創(chuàng)造。所以說(shuō)歐幾里得給我們的幾何，不僅是數(shù)學(xué)，更是藝術(shù)！幾何學(xué)雖然已有兩千多年的歷史，但就解題方法而言，直到20世紀(jì)80年代，它仍停留在“一題一法”的水平上。整個(gè)數(shù)學(xué)教育是個(gè)大系統(tǒng)，幾何教學(xué)是其中的一個(gè)子系統(tǒng)。它和大系統(tǒng)匹配得如何呢？它有沒(méi)有充分利用大系統(tǒng)為它提供的環(huán)境支持呢？它有沒(méi)有為大系統(tǒng)盡可能多地作出自己的貢獻(xiàn)呢？歐幾里得為我們留下一個(gè)美麗但相對(duì)封閉的花園。有人把歐氏幾何比作一顆沒(méi)有串上金線的珍珠。它既不以小學(xué)生們掌握的幾何知識(shí)為發(fā)展基地，又不用代數(shù)所提供的關(guān)于方程式的知識(shí)作為解題的銳利武器。它擁有豐富的習(xí)題，但并不準(zhǔn)備為姐妹課程——代數(shù)提供復(fù)習(xí)、鞏固、提高的用武之地。它更沒(méi)有暗示我們解析幾何與高等數(shù)學(xué)即將出現(xiàn)。這一切確實(shí)令人遺憾。這一切，當(dāng)然不能怪歐幾里得。三角法的出現(xiàn)比歐幾里得晚幾百年；代數(shù)里的字母運(yùn)算，是在歐幾里得之后一千多年才出現(xiàn)的；他更不知道實(shí)數(shù)。所以，歐幾里得幾乎是赤手空拳對(duì)付面前的一堆資料。說(shuō)句公道話，歐幾里得已經(jīng)干得很出色了。他確實(shí)給我們留下了一份珍貴的遺產(chǎn)。我們剛才挑毛病，并不是為了責(zé)備古人，而是為了給自己提出要求——如何使廣大中學(xué)生更容易繼承這份遺產(chǎn)，學(xué)好幾何。雖然兩千多年前那位國(guó)王的請(qǐng)求被歐幾里得拒絕了，但今天，在我們擁有了更多知識(shí)，比歐幾里得站得更高、看得更遠(yuǎn)的情況下，國(guó)王的希望——也就是廣大中學(xué)生的希望，能不能在我們手中成為現(xiàn)實(shí)呢？

后記

所謂教育數(shù)學(xué)，就是為教育而做數(shù)學(xué)。它和數(shù)學(xué)教育有關(guān)系，但又不相同。數(shù)學(xué)教育著眼于教學(xué)法和如何對(duì)數(shù)學(xué)材料進(jìn)行教學(xué)法的加工，是為了數(shù)學(xué)而做教育，并不承擔(dān)數(shù)學(xué)上的創(chuàng)造工作，也就是并不做數(shù)學(xué)；教育數(shù)學(xué)則實(shí)實(shí)在在是要做數(shù)學(xué)的。我的這個(gè)理念，始于1970年代，形成于1980年代。1974年～1976年，我曾在新疆一所中學(xué)教數(shù)學(xué)，用面積方法改革幾何教學(xué)的想法就是在那時(shí)產(chǎn)生的。曹培生先生當(dāng)時(shí)也在該校任教。在十分困難的情況下，他一直全力支持我的想法，并與我共同從事這一工作。由于客觀形勢(shì)的限制，這項(xiàng)工作沒(méi)能在該校進(jìn)行下去，但教育數(shù)學(xué)思想的種子是從那里萌芽的。后來(lái)，我在這方面的研究成果有機(jī)會(huì)陸續(xù)發(fā)表。之后在出版社的盛情邀請(qǐng)下，我與曹培生先生商量后，由我執(zhí)筆寫(xiě)成了本書(shū)的初稿。近年來(lái)，本書(shū)提出的一些想法已經(jīng)在社會(huì)上產(chǎn)生了較大的影響。例如：（1）面積方法在國(guó)內(nèi)不脛而走，成為中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克培訓(xùn)的必備內(nèi)容之一，并被編入多種數(shù)學(xué)奧林匹克讀物。（2）一些師范院校的初等幾何教材（如上?？萍汲霭嫔?991年出版的《初等幾何研究》），也詳細(xì)介紹了系統(tǒng)面積方法的基本原理，并稱之為2l世紀(jì)中學(xué)平面幾何新體系。（3）在我國(guó)著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家陳重穆教授主持編寫(xiě)的《高效初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材》中，把面積方法的兩個(gè)基本工具（共邊比例定理和共角比例定理）作為重要定理。經(jīng)教學(xué)試驗(yàn)效果很好，可節(jié)省課時(shí)，提高學(xué)生能力。（4）1992年美國(guó)一所大學(xué)邀請(qǐng)我赴關(guān)合作研究，把面積方法發(fā)展為計(jì)算機(jī)算法并實(shí)現(xiàn)為微機(jī)程序，使幾何定理可讀證明自動(dòng)生成這一多年難題得到突破。（5）本書(shū)榮獲中國(guó)圖書(shū)獎(jiǎng)。由此可見(jiàn)，教育數(shù)學(xué)這一思想是很有生命力的。但它畢竟剛剛起步，內(nèi)容還有待于豐富和完善，觀點(diǎn)也要在教育實(shí)踐中進(jìn)一步檢驗(yàn)。張景中

編輯推薦

《從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué):張景中院士、曹培生教授獻(xiàn)給中學(xué)師生的禮物(典藏版)》：張景中院士是我國(guó)著名數(shù)學(xué)家、計(jì)算機(jī)專家，曾任中國(guó)科普作家協(xié)會(huì)理事長(zhǎng)。他的不講數(shù)學(xué)理論只講數(shù)學(xué)思想，用日常生活中的淺顯事例，向青少年普及數(shù)學(xué)的創(chuàng)作手法，是我國(guó)數(shù)學(xué)科普創(chuàng)作的一大飛躍。他的數(shù)學(xué)科普作品，不同于一般的科普讀物，它不是簡(jiǎn)單的材料收集和整理，而是一個(gè)站在科學(xué)前沿的學(xué)者的真知灼見(jiàn)?！稄臄?shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)(典藏版院士數(shù)學(xué)講座專輯)》(作者張景中、曹培生)是由張景中先生撰寫(xiě)的數(shù)學(xué)科普讀物，全書(shū)分為九部分內(nèi)容。國(guó)家科技進(jìn)步獎(jiǎng)、國(guó)家圖書(shū)獎(jiǎng)、全國(guó)優(yōu)秀暢銷書(shū)獎(jiǎng)、全國(guó)優(yōu)秀科普讀物一等獎(jiǎng)。

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