從數(shù)學教育到教育數(shù)學

前言

教育數(shù)學，作為一門學科，尚待承認；但教育數(shù)學的活動，則早已存在。兩千多年前的歐幾里得，對當時的幾何學研究成果進行再創(chuàng)造，寫成了《幾何原本》這一有著深遠影響的教程。這是教育數(shù)學的第一個光輝典范。一百多年前的法國數(shù)學家柯西，對牛頓、萊布尼茲以來微積分的研究成果進行再創(chuàng)造，寫出了至今還在影響著大學講壇的《分析教程》，成為高等數(shù)學教育發(fā)展途中的一座里程碑。這是教育數(shù)學的又一杰出貢獻。當代的布爾巴基學派，把浩繁的現(xiàn)代數(shù)學納入“結(jié)構(gòu)”的框架，出版了已達40余卷的百科全書似的巨著《數(shù)學原理》，“對數(shù)學從頭探討，并給予完全的證明”。這是為數(shù)學家準備的高級教程。應(yīng)當說，布爾巴基是當代的教育數(shù)學大師。為什么是教育數(shù)學而不是數(shù)學教育？數(shù)學教育要靠數(shù)學科學提供材料。對材料進行教學法的加工使之形成教材，是數(shù)學教育的任務(wù)。但是，數(shù)學教育不承擔數(shù)學上的創(chuàng)造工作。為了教育的需要，對數(shù)學研究成果進行再創(chuàng)造式的整理，提供適于教學法加工的材料，往往需要數(shù)學上的創(chuàng)新。這屬于教育數(shù)學的任務(wù)。因此，我們認為，歐幾里得、柯西以及布爾巴基們，是教育數(shù)學家。他們的工作成果，一次又一次地被數(shù)學教育家加工，成為各式各樣的課本，直到今天。從歐幾里得到布爾巴基，他們是站在數(shù)學發(fā)展前沿從事再創(chuàng)造活動的。到了今天，在中小學和大學課堂上，面對著歐幾里得、柯西這些大師們留下的珍貴遺產(chǎn)，我們似乎是在數(shù)學的大后方。在大后方，除了“教學法加工”之外，是不是無事可做了呢？如果無事可做，“教育數(shù)學”在中小學到大學這一廣闊領(lǐng)域，豈不是沒有立足之地了嗎？事實并非如此。前輩大師們留下的珍貴遺產(chǎn)，并非盡善盡美。在中學到大學的數(shù)學課程中，存在著公認的難點。如何處理這些難點，一直被認為是數(shù)學教育的任務(wù)。這些難點，說明了前輩大師們的工作尚有缺陷。指出這些缺陷，從數(shù)學上而不是從教育學上加以再創(chuàng)造，正是當前教育數(shù)學的任務(wù)之一。本書作者一直致力于這方面的研究工作，這本書介紹的就是作者從1975年以來進行的探討，具體包括3個問題：平面幾何的新體系與新方法，極限概念的“非ε-語言”定義法，以及實數(shù)理論中的連續(xù)歸納法。我們希望讀者閱讀了這本書之后，能夠有這樣的印象：教育數(shù)學是具體的、切切實實的數(shù)學，不是空泛的討論。但是，作為一門學科，它仍然是一株幼苗，甚至是一粒剛剛萌發(fā)的種子。

內(nèi)容概要

本書(作者張景中、曹培生)是“中國科普名家名作”系列之一。
本書是我國著名數(shù)學家、計算機專家張景中院士創(chuàng)作的科普讀物，包括珍貴的遺產(chǎn)，沉重的負擔；國王向歐幾里得提出的請求；平面幾何的另一條新路等九部分內(nèi)容。

作者簡介

張景中，院士是我國著名數(shù)學家、計算機專家，曾任中國科普作家協(xié)會理事長。他的不講數(shù)學理論只講數(shù)學思想，用日常生活中的淺顯事例，向青少年普及數(shù)學的創(chuàng)作手法，是我國數(shù)學科普創(chuàng)作的一大飛躍。他的數(shù)學科普作品，不同于一般的科普讀物，它不是簡單的材料收集和整理，而是一個站在科學前沿的學者的真知灼見。因此，他寫的科普讀物高屋建瓴，常有畫龍點睛，令人叫絕之筆，多年以來，喜歡數(shù)學的讀者無不渴望得到他的作品。張景中院士的科普作品是中國數(shù)學科普的旗幟，是中國數(shù)學科普最高水平的標志。

書籍目錄

一、珍貴的遺產(chǎn)，沉重的負擔
  1．1  從方塊字談起
  1．2  10個指頭不如8個指頭
  1．3  更先進的數(shù)制
  1．4  亡羊補牢，猶未為晚
二、國王向歐幾里得提出的請求
  2．1  第一部幾何教科書
  2．2  國王的請求
  2．3  難在何處
  2．4  眼光向前
三、要什么樣的幾何教材
  3．1  幾何——數(shù)學教育改革的熱點
  3．2  歐幾里得滾蛋
  3．3  對新教材的要求
四、抓住面積，開門見山
  4．1  面積法——古老的證題工具
  4．2  面積——數(shù)學里的多面手
  4．3  一個開門見山的體系
  4．4  面積公式□解題利器
五、平面幾何的另一條新路
  5．1  一個平凡公式的妙用
  5．2  共邊三角形與共角三角形
  5．3  兩個定理的廣泛應(yīng)用
  5．4  邏輯展開
  5．5  新體系的邏輯后盾——公理體系
  5．6  張角公式的用處
六、面積方法在課外
  6．1  面積與軌跡
  6．2  面積與坐標
  6．3  面積與自然對數(shù)
  6．4  一線串五珠
  6．5  余面積與勾股差
七、微積分大門的高門檻
  7．1  又一份珍貴遺產(chǎn)——微積分
  7．2  極限理論與“ε-語言”  
  7．3  不用“ε-語言”講數(shù)列極限
  7．4  不用“ε-語言”講函數(shù)極限
  7．5  兩種極限定義的等價性
八、漏掉了的基本定理
  8．1  兩種歸納法——何其相似乃爾
  8．2  連續(xù)歸納原理與實數(shù)連續(xù)性等價
  8．3  連續(xù)歸納法的應(yīng)用
  8．4  一個由點到面的推理模式
  8．5  兩種質(zhì)疑
九、從數(shù)學教育到教育數(shù)學
  9．1  從歐幾里得到布爾巴基
  9．2  教育數(shù)學有事可做
  9．3  是難是易
  9．4  優(yōu)劣的標準
  9．5  紙上談兵與真刀真槍
后記

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁：插圖：據(jù)說，世界上再版次數(shù)最多、流傳最廣的書，除了圣經(jīng)之外，就要數(shù)歐幾里得的《幾何原本》了。圣經(jīng)的流傳依靠宗教的力量，而《幾何原本》的歷久不衰靠的是它在科學上的卓越成就?！稁缀卧尽钒旬敃r人類所掌握的相當豐富，但雜亂無章的幾何知識熔于一爐，鑄成了一個空前嚴整的科學體系。這在人類認識世界的歷史上實為一大創(chuàng)舉。同時，《幾何原本》又以它無可爭辯的威望，自然而然地成為幾何課程的第一部教材，占領(lǐng)中學幾何課堂兩千多年而歷久不衰。如今，初中的幾何課本雖大有刪改，但不外乎是《幾何原本》的變形或縮影。事實表明，歐幾里得真是一箭雙雕。因為《幾何原本》不僅在科學領(lǐng)域是成功的，在教育領(lǐng)域也是成功的。它把生動直觀的圖形與嚴密的論證緊密結(jié)合起來，出發(fā)點簡明而無可爭辯；特別是它還給學生提供了豐富多彩，而且?guī)缀跏菑囊椎诫y任何一級難度的習題，從而激起學生學習幾何的高度興趣，甚至產(chǎn)生如癡如醉的感覺，這是其他任何課程都無法比擬的。2.2 國王的請求歐幾里得的幾何體系也并非完美無缺。經(jīng)過人們兩干多年的探討，最后由希爾伯特這位數(shù)學巨匠，彌補了它邏輯上的漏洞。希爾伯特手法之高明，幾乎達到了無可指摘的地步。但在教育方面至今仍無多大改觀。由于歐幾里得幾何體系本身的不足，使得幾何課程仍讓中學數(shù)學教師和學生感到棘手。有這么一個故事：古埃及的一位國王托勒密，曾向歐幾里得學習幾何。國王被一連串的公理、定義、定理弄得頭昏腦漲，便向歐幾里得請求道：“親愛的歐幾里得先生，能不能把您的幾何弄得簡單一些呢？”這位偉大的學者嚴肅地回答說：“幾何無王者之路！”人們常常是懷著對歐幾里得的欽佩之情與對國王的嘲諷之意談起這個故事。但是，我倒想替這位國王說幾句話。作為學生，總是希望老師能把課講得精彩些、明白些，總是希望教科書編得更容易看懂。在這一點上，國王的要求，正是道出了兩千多年來幾何教師和學生們的心聲。幾何難學，已是一個不爭的事實。關(guān)于初等幾何學習方法、教學方法、解題方法的書，出了一本又一本，種類與數(shù)量之多，與幾何課的課時不成比例！這一切都說明，幾何是一門公認的難學的課程。初中生成績分化，也常常先在這門課上表現(xiàn)出來。2.3 難在何處為什么難學呢？幾何學是講空間形式的。是空間形式本身難于認識，還是歐幾里得的體系不夠好，把本來容易認識的東西講難了呢？對于客觀世界的空間形式，我們奈何它不得。所以，我們的改革只有從歐幾里得的體系本身尋找原因，挑老先生的毛?。W習一門課程，好比游覽一個城市；課程的邏輯體系，就好比城市的交通系統(tǒng)。好的交通系統(tǒng)，應(yīng)當有“放射型”的交通中心。交通中心應(yīng)該四通八達，找到它，我們到哪兒都方便。而歐幾里得的幾何體系又怎么樣呢？它沒有一個突出的中心，沒有一個能讓學生俯瞰全局的制高點。它的邏輯結(jié)構(gòu)是串聯(lián)式而不是放射型的。《幾何原本》的每一節(jié)都那么重要，任何一部分沒學好，往前走的路就斷了，這就是串聯(lián)式邏輯結(jié)構(gòu)的特征。歐幾里得把我們引進了一座精巧雅致的古代園林，這兒有目不暇接的美景，卻沒有簡單明了的交通指南。你不知道哪里才是通往園林各個角落的中心點，只有小心翼翼地跟在這位老向?qū)У暮竺妫刂粭l曲曲折折的小徑飽覽勝景。稍不留心，就會迷路！歐幾里得體系的又一個令人頭痛的問題，是它沒有提供一套強有力的、通用的解題方法。我們學會了加減乘除，就會算很多算術(shù)題：學會了解二元一次方程組，就能解大量方程式應(yīng)用題。但幾何與算術(shù)、代數(shù)不一樣，盡管我們學了一堆幾何定理，仍然會在一些其實并不難解的幾何習題面前束手無策。這是為什么呢？其實道理也很簡單，歐幾里得給我們的基本解題工具，主要是全等三角形和相似三角形；而許多題目里出現(xiàn)的圖形，并不包含這些。要用上它們，往往要畫輔助線?？稍鯓赢嬢o助線，需要想象與創(chuàng)造。所以說歐幾里得給我們的幾何，不僅是數(shù)學，更是藝術(shù)！幾何學雖然已有兩千多年的歷史，但就解題方法而言，直到20世紀80年代，它仍停留在“一題一法”的水平上。整個數(shù)學教育是個大系統(tǒng)，幾何教學是其中的一個子系統(tǒng)。它和大系統(tǒng)匹配得如何呢？它有沒有充分利用大系統(tǒng)為它提供的環(huán)境支持呢？它有沒有為大系統(tǒng)盡可能多地作出自己的貢獻呢？歐幾里得為我們留下一個美麗但相對封閉的花園。有人把歐氏幾何比作一顆沒有串上金線的珍珠。它既不以小學生們掌握的幾何知識為發(fā)展基地，又不用代數(shù)所提供的關(guān)于方程式的知識作為解題的銳利武器。它擁有豐富的習題，但并不準備為姐妹課程——代數(shù)提供復(fù)習、鞏固、提高的用武之地。它更沒有暗示我們解析幾何與高等數(shù)學即將出現(xiàn)。這一切確實令人遺憾。這一切，當然不能怪歐幾里得。三角法的出現(xiàn)比歐幾里得晚幾百年；代數(shù)里的字母運算，是在歐幾里得之后一千多年才出現(xiàn)的；他更不知道實數(shù)。所以，歐幾里得幾乎是赤手空拳對付面前的一堆資料。說句公道話，歐幾里得已經(jīng)干得很出色了。他確實給我們留下了一份珍貴的遺產(chǎn)。我們剛才挑毛病，并不是為了責備古人，而是為了給自己提出要求——如何使廣大中學生更容易繼承這份遺產(chǎn)，學好幾何。雖然兩千多年前那位國王的請求被歐幾里得拒絕了，但今天，在我們擁有了更多知識，比歐幾里得站得更高、看得更遠的情況下，國王的希望——也就是廣大中學生的希望，能不能在我們手中成為現(xiàn)實呢？

后記

所謂教育數(shù)學，就是為教育而做數(shù)學。它和數(shù)學教育有關(guān)系，但又不相同。數(shù)學教育著眼于教學法和如何對數(shù)學材料進行教學法的加工，是為了數(shù)學而做教育，并不承擔數(shù)學上的創(chuàng)造工作，也就是并不做數(shù)學；教育數(shù)學則實實在在是要做數(shù)學的。我的這個理念，始于1970年代，形成于1980年代。1974年～1976年，我曾在新疆一所中學教數(shù)學，用面積方法改革幾何教學的想法就是在那時產(chǎn)生的。曹培生先生當時也在該校任教。在十分困難的情況下，他一直全力支持我的想法，并與我共同從事這一工作。由于客觀形勢的限制，這項工作沒能在該校進行下去，但教育數(shù)學思想的種子是從那里萌芽的。后來，我在這方面的研究成果有機會陸續(xù)發(fā)表。之后在出版社的盛情邀請下，我與曹培生先生商量后，由我執(zhí)筆寫成了本書的初稿。近年來，本書提出的一些想法已經(jīng)在社會上產(chǎn)生了較大的影響。例如：（1）面積方法在國內(nèi)不脛而走，成為中學生數(shù)學奧林匹克培訓的必備內(nèi)容之一，并被編入多種數(shù)學奧林匹克讀物。（2）一些師范院校的初等幾何教材（如上?？萍汲霭嫔?991年出版的《初等幾何研究》），也詳細介紹了系統(tǒng)面積方法的基本原理，并稱之為2l世紀中學平面幾何新體系。（3）在我國著名數(shù)學家、數(shù)學教育家陳重穆教授主持編寫的《高效初中數(shù)學實驗教材》中，把面積方法的兩個基本工具（共邊比例定理和共角比例定理）作為重要定理。經(jīng)教學試驗效果很好，可節(jié)省課時，提高學生能力。（4）1992年美國一所大學邀請我赴關(guān)合作研究，把面積方法發(fā)展為計算機算法并實現(xiàn)為微機程序，使幾何定理可讀證明自動生成這一多年難題得到突破。（5）本書榮獲中國圖書獎。由此可見，教育數(shù)學這一思想是很有生命力的。但它畢竟剛剛起步，內(nèi)容還有待于豐富和完善，觀點也要在教育實踐中進一步檢驗。張景中

編輯推薦

《從數(shù)學教育到教育數(shù)學:張景中院士、曹培生教授獻給中學師生的禮物(典藏版)》：張景中院士是我國著名數(shù)學家、計算機專家，曾任中國科普作家協(xié)會理事長。他的不講數(shù)學理論只講數(shù)學思想，用日常生活中的淺顯事例，向青少年普及數(shù)學的創(chuàng)作手法，是我國數(shù)學科普創(chuàng)作的一大飛躍。他的數(shù)學科普作品，不同于一般的科普讀物，它不是簡單的材料收集和整理，而是一個站在科學前沿的學者的真知灼見?！稄臄?shù)學教育到教育數(shù)學(典藏版院士數(shù)學講座專輯)》(作者張景中、曹培生)是由張景中先生撰寫的數(shù)學科普讀物，全書分為九部分內(nèi)容。國家科技進步獎、國家圖書獎、全國優(yōu)秀暢銷書獎、全國優(yōu)秀科普讀物一等獎。

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