從√2談起

前言

這本書(shū)的名字叫《從√2談起》，我想，讀者更想知道的是，在“談起”之后，往哪里談，談到什么地方為止?！?是人們最早認(rèn)識(shí)的無(wú)理數(shù)之一，也是中學(xué)生最早知道的最簡(jiǎn)單的無(wú)理數(shù)。從√2談起，自然會(huì)談到其他的無(wú)理數(shù)。比如：除了√2，還有哪些常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)？怎樣證明一個(gè)數(shù)是無(wú)理數(shù)？無(wú)理數(shù)都可以用根式表示嗎？是無(wú)理數(shù)多還是有理數(shù)多？我們知道，√2=1.4 14…是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。怎樣把它算得更精確一些呢？會(huì)算√2，會(huì)不會(huì)算2√2，2√2？√2是方程式x2-2=0的根，那么，更高次代數(shù)方程式的根怎么計(jì)算？能不能利用初中代數(shù)里學(xué)過(guò)的知識(shí)，計(jì)算高次方程式的根呢？等等。這些，都是我們“談起”的內(nèi)容。此外，我們還將簡(jiǎn)單談?wù)勀闼煜さ摩泻筒淮笫煜さ膃，以及和“黃金分割”有關(guān)的“無(wú)理數(shù)三兄弟”。關(guān)于它們，有著耐人尋味的故事和游戲。怎么樣，想了解這些知識(shí)嗎？那么，就請(qǐng)你翻到第一章吧！書(shū)中用到的知識(shí)，大部分是初中學(xué)過(guò)的。當(dāng)然，你也可以不從頭看起，直接看中間的幾章。

內(nèi)容概要

《從√2談起(典藏版院士數(shù)學(xué)講座專輯)》是“中國(guó)科普名家名作”系列之一。
《從√2談起(典藏版院士數(shù)學(xué)講座專輯)》是我國(guó)著名數(shù)學(xué)家、計(jì)算機(jī)專家張景中院士創(chuàng)作的科普讀物，包括龐大的無(wú)理數(shù)家族；用有理數(shù)逼近無(wú)理數(shù)；天衣無(wú)縫的數(shù)直線；無(wú)窮小之謎等十章內(nèi)容。

作者簡(jiǎn)介

張景中，1936年12月生，男，中國(guó)科學(xué)院院士，研究員，博士生指導(dǎo)教師。在計(jì)算機(jī)科學(xué)、數(shù)學(xué)和教育學(xué)等三方面的研究和實(shí)踐工作中做出了國(guó)際認(rèn)的創(chuàng)新成果，為我國(guó)科技、教育事業(yè)的發(fā)展做出了重大貢獻(xiàn)。
張景中院士在數(shù)學(xué)研究工作中取得了國(guó)內(nèi)外同行公認(rèn)的成就，特別是在動(dòng)力系統(tǒng)的周期軌、迭代根、同胚嵌入流、Smale馬蹄構(gòu)造、Feigenbaum方程求解等該領(lǐng)域前沿問(wèn)題的研究中，提出了新的思想方法，在距離幾何的研究中，提出了"度量方程"，解決了偽歐空間等距嵌入、Sale猜想等一些屬于該領(lǐng)域長(zhǎng)期未解決的難題，他和楊路同志合作完成的這些工作和發(fā)表和論文，實(shí)際上已經(jīng)開(kāi)辟了一個(gè)很活躍的研究領(lǐng)域，僅距離幾何文章的引用，至今每年約在數(shù)十次。美國(guó)代數(shù)幾何領(lǐng)域?qū)＜褼.Pedoe在一個(gè)專欄評(píng)論中說(shuō)：楊路、張景中，堪稱中國(guó)幾何領(lǐng)域的alpha和omega。
張景中院士在數(shù)學(xué)研究中的貢獻(xiàn)，不限于以上所敘述的內(nèi)容，他在眾多徊然不同的領(lǐng)域中，提出了獨(dú)到的見(jiàn)解和解決問(wèn)題的方法，例如求方程數(shù)值解"劈因子法"、證明幾何不等式的一種有限化分割方法。

書(shū)籍目錄

第一章  從√2談起
第二章  龐大的無(wú)理數(shù)家族
第三章  用有理數(shù)逼近無(wú)理數(shù)
第四章  最好的分?jǐn)?shù)
第五章  奇妙的黃金數(shù)
第六章  近似的數(shù)學(xué)
第七章  天衣無(wú)縫的數(shù)直線
第八章  無(wú)窮小之謎
第九章  π和e
第十章  數(shù)系巡禮
習(xí)題解答或提示
附錄  關(guān)于連分?jǐn)?shù)的幾個(gè)基本命題的證明

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁(yè)：插圖：數(shù)學(xué)史上最讓人驚奇的事情之一，是實(shí)數(shù)系的邏輯基礎(chǔ)竟遲至19世紀(jì)后葉才建立起來(lái)。正整數(shù)是容易理解的，簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)就要用到它。3歲的孩子，也會(huì)數(shù)他手中的水果糖。分?jǐn)?shù)也是容易理解的。因?yàn)樗梢詺w結(jié)為整數(shù)之比。但是，無(wú)理數(shù)的本質(zhì)是什么？直到18世紀(jì)，無(wú)理數(shù)對(duì)數(shù)學(xué)家們來(lái)說(shuō)仍然是一個(gè)謎，但人們又不能不和無(wú)理數(shù)打交道。隨著農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的發(fā)展，人們?yōu)榱苏莆占竟?jié)變化的規(guī)律，需要天文知識(shí)，要測(cè)算日月星辰的位置。這樣三角學(xué)發(fā)展起來(lái)了。√2被發(fā)現(xiàn)400多年后，人們已會(huì)計(jì)算許多角度的三角函數(shù)值，這些值絕大多數(shù)是無(wú)理數(shù)。到了1500年前后，人們不但會(huì)解二次方程式，而且開(kāi)始會(huì)解一些特殊的三次方程式了。這些方程式的根，很多是無(wú)理數(shù)。又過(guò)了不到100年，納皮爾（1550年-1617年）發(fā)現(xiàn)了對(duì)數(shù)。我們知道，有理數(shù)的對(duì)數(shù)差不多都是無(wú)理數(shù)。無(wú)理數(shù)的廣泛使用，促使越來(lái)越多的數(shù)學(xué)家開(kāi)始探討無(wú)理數(shù)的實(shí)質(zhì)。對(duì)無(wú)理數(shù)，有的數(shù)學(xué)家堅(jiān)持不承認(rèn)主義。他們認(rèn)為，盡管為了研究幾何問(wèn)題不能不用到無(wú)理數(shù)，但我們想把它數(shù)出來(lái)的時(shí)候（用小數(shù)表示出來(lái)），它們就無(wú)止境地往遠(yuǎn)跑，使我們無(wú)法準(zhǔn)確地掌握它！既然缺乏準(zhǔn)確性，又怎么能叫做數(shù)？所以，無(wú)理數(shù)不是數(shù)，它是隱藏在無(wú)窮迷霧后面的某種東西。也有不少數(shù)學(xué)家認(rèn)為，無(wú)理數(shù)是地地道道的數(shù)，因?yàn)闊o(wú)理數(shù)可以表示實(shí)實(shí)在在的幾何量，可以用有理數(shù)來(lái)逼近；但他們也沒(méi)有提出無(wú)理數(shù)的系統(tǒng)理論。還有很多數(shù)學(xué)家，像中國(guó)、印度等東方國(guó)家的數(shù)學(xué)家，他們大膽地應(yīng)用無(wú)理數(shù)，并不關(guān)心無(wú)理數(shù)的本身是什么。他們不覺(jué)得這里面有多大邏輯上的缺陷。順便提一下，當(dāng)時(shí)，由于解二次以上的代數(shù)方程式，負(fù)數(shù)和虛數(shù)也開(kāi)始在運(yùn)算中使用。16世紀(jì)的歐洲數(shù)學(xué)家們，被負(fù)數(shù)、無(wú)理數(shù)、虛數(shù)弄得暈頭轉(zhuǎn)向，就像剛上中學(xué)的中學(xué)生，覺(jué)得這是一些難以理解的“怪物”。隨著科學(xué)的發(fā)展，負(fù)數(shù)被大家理解了，虛數(shù)也得到了合情合理的說(shuō)明；但無(wú)理數(shù)之謎的謎底，直到19世紀(jì)中葉，才被真正揭開(kāi)！這是因?yàn)?，由?9世紀(jì)的工業(yè)技術(shù)革命，機(jī)器被大量使用，人們?cè)谏a(chǎn)實(shí)踐中提出了許多新問(wèn)題，促使微積分迅速發(fā)展。微積分要研究變量，變量被人們理解為“連續(xù)變化”的量。什么叫連續(xù)變化呢？比如，x連續(xù)地從0變到1，這是什么意思？你可以回答說(shuō)，x要取到0和1之間的一切實(shí)數(shù)。這“一切實(shí)數(shù)”又是哪些？除了有理數(shù)，算不算無(wú)理數(shù)？如果要算，無(wú)理數(shù)是什么？這是迫切需要回答的問(wèn)題。不回答這個(gè)問(wèn)題，微積分的很多基本定理就證不出來(lái)。比方說(shuō)：圓到底有沒(méi)有面積？圓內(nèi)一點(diǎn)和圓外一點(diǎn)，用一條連續(xù)曲線連起來(lái)，這曲線和圓為什么一定會(huì)相交？這些一看就對(duì)的事，偏偏證不出來(lái)！這說(shuō)明關(guān)于實(shí)數(shù)的理論太不完整？讓人驚奇的是，這個(gè)2000多年沒(méi)有解開(kāi)的無(wú)理數(shù)之謎，只要采用一個(gè)新的觀點(diǎn)，便迎刃而解！這個(gè)新觀點(diǎn)，其實(shí)并不新，它是從歐幾里得以來(lái)人們就有了的一種看法，只是大家都沒(méi)把它說(shuō)清楚罷了。什么看法呢？這就是直線的連續(xù)性。在直線上取定一個(gè)原點(diǎn)，一個(gè)單位長(zhǎng)，一個(gè)正方向，直線就變成了數(shù)軸。直線是連續(xù)的，直線上面每個(gè)點(diǎn)可以表示一個(gè)實(shí)數(shù)，所以實(shí)數(shù)也是可連續(xù)變化的。但是，究竟什么叫做“連續(xù)”，又不容易說(shuō)清楚了。形象地說(shuō)，連續(xù)，就是沒(méi)有縫隙，就是天衣無(wú)縫。如果再問(wèn)什么叫天衣無(wú)縫，那該怎么回答呢？讓我們動(dòng)腦又動(dòng)手吧。給你一把最最鋒利的刀，你甩盡全身力氣，在這根天衣無(wú)縫的數(shù)直線上砍一刀，把它斬成兩截，會(huì)發(fā)生什么呢？因?yàn)橹本€是天衣無(wú)縫的，這一刀一定砍在某個(gè)點(diǎn)上，或者說(shuō)，砍中了一個(gè)實(shí)數(shù)。否則，豈不是有縫隙了？如圖7-1，假定從點(diǎn)A的位置把直線砍斷，這個(gè)點(diǎn)A到什么地方了呢？在左半截上，還是右半截上？不在左邊，就在右邊！反正不會(huì)兩邊都有，也不會(huì)兩邊都沒(méi)有；因?yàn)辄c(diǎn)不可分割，也不會(huì)消失掉！這是想象，從想象中悟出一個(gè)道理來(lái)。所謂直線的連續(xù)性，就是這么一回事：不管把直線從什么地方砍斷成兩段，總有一段是帶有端點(diǎn)的，也只有一段是帶有端點(diǎn)的！

編輯推薦

《從√2談起:張景中院士獻(xiàn)給中學(xué)生的禮物(典藏版)》：張景中院士是我國(guó)著名數(shù)學(xué)家、計(jì)算機(jī)專家，曾任中國(guó)科普作家協(xié)會(huì)理事長(zhǎng)。他的不講數(shù)學(xué)理論只講數(shù)學(xué)思想，用日常生活中的淺顯事例，向青少年普及數(shù)學(xué)的創(chuàng)作手法，是我國(guó)數(shù)學(xué)科普創(chuàng)作的一大飛躍。他的數(shù)學(xué)科普作品，不同于一般的科普讀物，它不是簡(jiǎn)單的材料收集和整理，而是一個(gè)站在科學(xué)前沿的學(xué)者的真知灼見(jiàn)?！稄摹?談起:張景中院士獻(xiàn)給中學(xué)生的禮物(典藏版)》是由張景中先生撰寫(xiě)的數(shù)學(xué)科普讀物，全書(shū)共分為10章內(nèi)容?！稄摹?談起:張景中院士獻(xiàn)給中學(xué)生的禮物(典藏版)》榮獲：國(guó)家科技進(jìn)步獎(jiǎng)、國(guó)家圖書(shū)獎(jiǎng)、全國(guó)優(yōu)秀暢銷書(shū)獎(jiǎng)、全國(guó)優(yōu)秀科普讀物一等獎(jiǎng)。

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