寫(xiě)給全人類的數(shù)學(xué)魔法書(shū)

前言

為什么你學(xué)不好數(shù)學(xué)學(xué)好數(shù)學(xué)的竅門(mén)當(dāng)你翻開(kāi)這本書(shū)的時(shí)候，我就能想象得到，學(xué)生時(shí)代的你，數(shù)學(xué)成績(jī)一定不怎么樣，你在數(shù)學(xué)方面一定很自卑：“我沒(méi)有數(shù)學(xué)方面的才能。”或者，你會(huì)這么認(rèn)為：“數(shù)學(xué)好的人=有才智、有靈感的人?！闭J(rèn)為自己和他們不是一個(gè)世界的人？這種想法是錯(cuò)誤的！數(shù)學(xué)家秋山仁老師在他的著作《愛(ài)上數(shù)學(xué)》當(dāng)中，關(guān)于“報(bào)考理工大學(xué)所需要的能力”說(shuō)了這樣4句話：（1）把自己的鞋子都收攏起來(lái)，放到指定的鞋箱子里面；（2）遇到不明白的字詞，要拿出辭典查一查；（3）學(xué)會(huì)做咖喱飯（不會(huì)的話可以照著食譜學(xué)）；（4）繪制一張從家到最近車(chē)站的地圖。為什么這樣說(shuō)？“因?yàn)槟阒灰龅揭陨?點(diǎn)，就具備了報(bào)考理工大學(xué)所必備的能力。”上述4件事情分別代表了4項(xiàng)基本能力：（1）掌握了對(duì)應(yīng)概念能夠把左右兩只鞋子都放到相對(duì)應(yīng)的鞋箱子里面，就說(shuō)明你掌握了一對(duì)一的概念。（2）能夠理清順序關(guān)系比如“book”這個(gè)單詞，b是26個(gè)英文字母當(dāng)中的第2個(gè)字母，下一個(gè)字母o在n的后面，在p的前面……也就是說(shuō)你掌握了26個(gè)英文字母的順序關(guān)系。（3）能夠?qū)κ虑榈牟襟E進(jìn)行整理、實(shí)行和觀察準(zhǔn)備食材，按照步驟烹飪，并且能夠?qū)φ麄€(gè)烹飪的過(guò)程進(jìn)行觀察。（4）抽象能力的表現(xiàn)能夠?qū)⑷臻g的景象，用二元平面的方式繪制，去除不必要的部分，保留必要的信息，這就是一種抽象能力的表現(xiàn)。上述4項(xiàng)基本能力是幾乎每個(gè)人都具備的。由此可見(jiàn)，除了那些想要成為數(shù)學(xué)家，并且能夠引領(lǐng)數(shù)學(xué)界未來(lái)的天才之外（這樣的人想必也不會(huì)看我這本書(shū)的），一般的人，無(wú)論是想要報(bào)考理工大學(xué)也好，還是處理在實(shí)際工作當(dāng)中遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題也罷，都不需要什么特別的“數(shù)學(xué)才能”。那么，為什么你的數(shù)學(xué)不好呢？恕我直言，并不是因?yàn)槟銢](méi)有這方面的才能，而是因?yàn)槟闼莆盏膶W(xué)習(xí)方法是錯(cuò)誤的。我在這本書(shū)當(dāng)中，將對(duì)如何掌握正確的學(xué)習(xí)方法進(jìn)行闡述。掌握了這套學(xué)習(xí)方法，你不但能夠?qū)W好數(shù)學(xué)，而且能學(xué)得輕松愉快。這套學(xué)習(xí)方法實(shí)際上是把高中時(shí)期的我自己作為教學(xué)目標(biāo)，用約20年的指導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)加以研究得出的，而實(shí)際的學(xué)習(xí)效果已經(jīng)被很多學(xué)生給證實(shí)了。用我這套學(xué)習(xí)方法，在短短的幾個(gè)月之內(nèi)，數(shù)學(xué)成績(jī)從全班墊底到全年級(jí)第二名的例子不在少數(shù)。他們都這樣告訴我：“這套學(xué)習(xí)方法的作用，已經(jīng)達(dá)到了不可思議的程度！”“我從來(lái)沒(méi)想過(guò)如此輕松愉快地學(xué)數(shù)學(xué)！”數(shù)學(xué)差生也能當(dāng)數(shù)學(xué)家實(shí)際上，我也不是什么科班出身的數(shù)學(xué)專家，本科是在東京大學(xué)讀的地球行星物理專業(yè)，后來(lái)是在宇宙科學(xué)研究所讀的研，此后也沒(méi)有在本專業(yè)領(lǐng)域內(nèi)發(fā)展，而是想成為一名古典音樂(lè)指揮家，后來(lái)又參與到西餐廳的經(jīng)營(yíng)策劃當(dāng)中去，現(xiàn)如今開(kāi)了一家名叫“永野數(shù)學(xué)私塾”的針對(duì)性指導(dǎo)培訓(xùn)學(xué)校，并擔(dān)任校長(zhǎng)。由此可見(jiàn)，我的人生經(jīng)歷是曲折多變的，然而唯一保持不變的就是我在“數(shù)學(xué)方面的教育工作”。從剛上大學(xué)開(kāi)始我就擔(dān)任家庭教師，一直到現(xiàn)在擔(dān)任數(shù)學(xué)私塾的校長(zhǎng)，前前后后約20年，有針對(duì)性地指導(dǎo)了一批又一批的學(xué)生。我雖然不是數(shù)學(xué)專業(yè)出身，但自認(rèn)為是數(shù)學(xué)教育方面的專家。其實(shí)，回想中學(xué)時(shí)代的我……那時(shí)候的數(shù)學(xué)成績(jī)是絕對(duì)談不上優(yōu)異的，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于全班平均成績(jī)的情況也不是一次兩次了。我初中的時(shí)候沉迷于棒球，高中的時(shí)候沉迷于音樂(lè)，學(xué)習(xí)成績(jī)一直就在班級(jí)下游徘徊。這種狀態(tài)一直持續(xù)到高中2年級(jí)的冬天（是不是有些遲了?。乙庾R(shí)到：“不能再這樣下去了！”雖然拿出了這樣的信念，但是和周?chē)耐瑢W(xué)比起來(lái)，我實(shí)在是落后得太多太多了，而且這個(gè)時(shí)候離高考已經(jīng)不遠(yuǎn)了，同學(xué)們也全都開(kāi)始認(rèn)真讀書(shū)。這種情況下，我意識(shí)到：“僅僅是和大家保持一樣的學(xué)習(xí)進(jìn)度是不行的。有沒(méi)有那種一下子就能打個(gè)翻身仗的，超級(jí)厲害的學(xué)習(xí)方法呢？”另外，我還在想：“能不能找到一種輕松愉快的學(xué)習(xí)方法？”當(dāng)時(shí)我是這么想的：要是在高考之前這一年多里，反復(fù)遭受著做習(xí)題、考試，考試、做習(xí)題的這種學(xué)習(xí)方法的折磨，那么我是堅(jiān)決受不了的。學(xué)好數(shù)學(xué)就靠方法當(dāng)我試著尋找一種適合自己的學(xué)習(xí)方法的時(shí)候，突然想到了這么一點(diǎn)：“為什么人們總是對(duì)小說(shuō)和電影的情節(jié)念念不忘呢？”僅僅是讀了一遍，看了一遍，就能夠從頭到尾把故事當(dāng)中發(fā)生的每一件事按照順序說(shuō)出來(lái)，這是不是很厲害？為什么小說(shuō)和電影當(dāng)中的情節(jié)那么輕松就記住了？如果能夠把這種“原理”運(yùn)用到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中去，想必會(huì)有很好的效果，并且讓人學(xué)得輕松愉快。一想到這里，我就忍不住興奮起來(lái)?！盁o(wú)需死記硬背”、“抓住故事的梗概”、“學(xué)會(huì)將所學(xué)的知識(shí)教給別人”……這就是我在這本書(shū)當(dāng)中將要介紹給大家的“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)法”的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。正因?yàn)槲艺业搅诉m合自己的學(xué)習(xí)方法，數(shù)學(xué)成績(jī)才有了顯著提高，最終我才考上了東京大學(xué)的一類理科，并且，在上了大學(xué)之后，這種學(xué)習(xí)方法仍舊發(fā)揮出了強(qiáng)大作用，此后的分科選考（東京大學(xué)在學(xué)生本科二年級(jí)的時(shí)候，會(huì)有一次比入學(xué)考試更加嚴(yán)格的專業(yè)課“分科選考”）和考研都如同我所期望的那樣順利地通過(guò)了。成年人為什么還要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？當(dāng)我還在做家庭教師的時(shí)候，就已經(jīng)開(kāi)始給成年人教數(shù)學(xué)了。一開(kāi)始在收學(xué)生的時(shí)候，我就沒(méi)有特意限制年齡，沒(méi)想到竟有成年人來(lái)報(bào)名。從那以后，凡是成年人來(lái)報(bào)名我就一概不拒絕。直到現(xiàn)如今，我更是開(kāi)辦了“成人數(shù)學(xué)班”，專門(mén)教成年人數(shù)學(xué)，并且，還要告訴他們成年人為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，這也是我在教學(xué)過(guò)程當(dāng)中發(fā)現(xiàn)的別具趣味性的地方?！岸歼@么大人了，再來(lái)學(xué)數(shù)學(xué)還能有什么用？”有這種想法的成年人不在少數(shù)。（啊，正在讀這本書(shū)的你想必不是這么想的?。┑拇_，數(shù)學(xué)當(dāng)中所涉及的向量啊、指數(shù)函數(shù)啊、三角函數(shù)等等，在日常的生活當(dāng)中都用不上。然而，幾乎所有的國(guó)家都把數(shù)學(xué)這門(mén)課列入義務(wù)教育的計(jì)劃當(dāng)中，這是為什么呢？因?yàn)橥ㄟ^(guò)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)一個(gè)人的邏輯判斷能力（即數(shù)學(xué)的思考能力），也就是說(shuō)，能夠讓人有條理地來(lái)分析事情，而掌握了邏輯判斷分析的能力之后，可以讓別人接受自己的意見(jiàn)，也可以理解別人所提出的不同的意見(jiàn)。此外，當(dāng)你在解決人際關(guān)系上的糾紛，工作上的煩惱以及環(huán)境問(wèn)題等各種問(wèn)題的時(shí)候，都必須要找到解決線索，這就需要你具有邏輯判斷分析的能力，抓住問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)并加以驗(yàn)證和定性，能夠客觀地分析和對(duì)待所遇到的問(wèn)題，并且，在問(wèn)題得到解決之后，能夠?qū)⒕唧w的事情加以抽象分析，從而得出經(jīng)驗(yàn)，并根據(jù)經(jīng)驗(yàn)歸納出合適的解決辦法，以后再遇到類似問(wèn)題的時(shí)候能夠以此為參考加以解決。這就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)真正的用意。就拿日常生活當(dāng)中的事情來(lái)說(shuō)，音響的接線就要用到數(shù)學(xué)，閱讀家電的說(shuō)明書(shū)，對(duì)旅行和工作上的事情進(jìn)行安排和計(jì)劃，這些也都需要數(shù)學(xué)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并不是為了能夠解答練習(xí)冊(cè)上的數(shù)學(xué)題，更是為了提高邏輯判斷能力，提高在社會(huì)生存當(dāng)中所需要的“智力”。成年人在工作生活當(dāng)中，應(yīng)該能夠更深切地體會(huì)到學(xué)數(shù)學(xué)的必要性。重新感受數(shù)學(xué)的魅力遺憾的是，學(xué)生們并不能認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)真正的用意，也不會(huì)有感而發(fā)主動(dòng)去研究數(shù)學(xué)，僅僅是為了應(yīng)付一次又一次的定期測(cè)驗(yàn)，才死記硬背那些公式和解題方法，勉強(qiáng)去提高數(shù)學(xué)水平。（實(shí)際上，用這種死記硬背的方法，多半是不能提高自己的數(shù)學(xué)水平的……）在許多學(xué)生眼里，數(shù)學(xué)已經(jīng)淪落為一門(mén)死記硬背的科目。當(dāng)然了，在這種情況下，什么“邏輯判斷力”之類的一點(diǎn)都不要談，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)有的意義已經(jīng)完全喪失了。如果你在學(xué)生時(shí)代也是這樣，那就更應(yīng)該重新學(xué)習(xí)，借此機(jī)會(huì)找到數(shù)學(xué)真正的魅力了！如今你不需要應(yīng)付考試，也可以自由安排學(xué)習(xí)時(shí)間，完全是出于興趣愛(ài)好來(lái)學(xué)習(xí)，你對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，將會(huì)有180度的大轉(zhuǎn)變。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不需要什么條件，只要有紙和鉛筆，立馬就能夠開(kāi)始，并且，相對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，成年人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)會(huì)更加輕松，因?yàn)槌赡耆藫碛懈嗟娜松?jīng)驗(yàn)，而對(duì)于抽象的事物，要想產(chǎn)生具體的印象，經(jīng)驗(yàn)可以起到很大的作用。數(shù)學(xué)的內(nèi)容大部分都是抽象的，能夠把其中的“含義”和具體的“美感”相結(jié)合，這也只有成年人才做得到?！拔目粕备獙W(xué)數(shù)學(xué)在我學(xué)校里，凡是能夠在短期內(nèi)提高數(shù)學(xué)水平，擺脫不擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)境況的學(xué)清晰的文章的人，能夠把別人的發(fā)言用自己的語(yǔ)言來(lái)復(fù)述的人，都具有很強(qiáng)的邏輯判斷能力和資質(zhì)。只要他們掌握了正確的學(xué)習(xí)技巧，并且把這些方法和技巧都吃透了，很快，數(shù)學(xué)水平就提高了。這是因?yàn)?，人們是用語(yǔ)言來(lái)分析事情的，語(yǔ)言是邏輯判斷的重要組成部分，所以在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之前，語(yǔ)言能力是必須要掌握的關(guān)鍵。很多學(xué)文科的人都會(huì)往自己身上貼標(biāo)簽，認(rèn)為“我不是學(xué)數(shù)學(xué)的料”，實(shí)際上這是一種誤解；同樣，人們往往會(huì)認(rèn)為數(shù)學(xué)能力和語(yǔ)文能力是完全相反的，這也是認(rèn)知層面上很大的錯(cuò)誤。我認(rèn)為，如果你的語(yǔ)文成績(jī)好，在閱讀文章和寫(xiě)作方面有自信，那么數(shù)學(xué)水平肯定就不會(huì)差。本書(shū)的使用方法雖然在學(xué)習(xí)上下了工夫，但是數(shù)學(xué)成績(jī)一直就提高不上去的情況，一般都發(fā)生在初三到高一這個(gè)階段。因?yàn)樵谶@一階段，學(xué)生們往往靠的都是死記硬背。那么，在這本書(shū)當(dāng)中，我將把從初中到高一的數(shù)學(xué)課程拿出來(lái)舉例講解（當(dāng)中也會(huì)有一部分內(nèi)容超出了這個(gè)范圍，屆時(shí)書(shū)上會(huì)有注明），從而讓大家掌握正確的學(xué)習(xí)方法。為了不讓大家產(chǎn)生誤解，我要說(shuō)明一下，本書(shū)不是一本初高中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)書(shū)，從書(shū)名《寫(xiě)給全人類的數(shù)學(xué)魔法書(shū)》就能夠看出來(lái)，這是一本告訴那些在學(xué)生時(shí)代數(shù)學(xué)不好的成年人，為什么你的數(shù)學(xué)會(huì)不好，要想學(xué)好數(shù)學(xué)應(yīng)該掌握哪些學(xué)習(xí)方法的書(shū)。如果你讀了這本書(shū)之后感覺(jué)到：“啊，這么說(shuō)的話，我覺(jué)得我也能學(xué)好數(shù)學(xué)！”那么，根據(jù)你所要學(xué)習(xí)的深度和級(jí)別，請(qǐng)你再去讀一讀相應(yīng)的數(shù)學(xué)教科書(shū)或者參考書(shū)，同時(shí)，把我寫(xiě)的這本書(shū)放在一旁，當(dāng)你不知道該怎樣學(xué)習(xí)的時(shí)候，看看這本書(shū)，也許就能找到實(shí)用的“學(xué)習(xí)技巧”。雖說(shuō)這本書(shū)是“針對(duì)成年人”的，但是我建議那些正在和數(shù)學(xué)做著殊死搏斗的高中生們也來(lái)看看，按照書(shū)上的學(xué)習(xí)方法來(lái)做，你的數(shù)學(xué)成績(jī)肯定會(huì)有大幅度生，都有一個(gè)共同點(diǎn)，那就是他們的語(yǔ)文成績(jī)都很好，特別是那些能夠?qū)懗鰲l理提高。拿起數(shù)學(xué)這門(mén)武器，順利考上大學(xué)，這將不再是一個(gè)遙不可及的夢(mèng)想。這本書(shū)最大的亮點(diǎn)，就是第三部分的“適用于任何數(shù)學(xué)題的10種解題方法”。不是讓你去死記硬背這些解題的方法，而是在解題的時(shí)候能夠找到屬于自己的方法。掌握了這10種解題方法，就像是拿到了10把傳世寶刀一樣，你幾乎可以解決任何的數(shù)學(xué)問(wèn)題。你在讀完這本書(shū)之后，不妨自己試一試。我希望能通過(guò)這本書(shū)，讓那些數(shù)學(xué)不好的人不再感到自卑，讓每一個(gè)人都能夠了解數(shù)學(xué)、享受數(shù)學(xué)，從而輕松愉快地掌握數(shù)學(xué)。

內(nèi)容概要

這是一本能真正提高你的數(shù)學(xué)能力、快速拯救考卷分?jǐn)?shù)的“數(shù)學(xué)寶典”。全書(shū)只講解了10種基本解題思路，卻足夠你游刃有余地應(yīng)對(duì)各種初高中數(shù)學(xué)難題，甚至連那些冷僻的高考試題你也可以輕松拿下。更重要的是，你將通過(guò)這10種解題思路，將所有的數(shù)學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，形成自己的學(xué)習(xí)方法，最終對(duì)數(shù)學(xué)開(kāi)竅！
不要再死記硬背枯燥的數(shù)學(xué)公式和概念了。這本書(shū)將完全顛覆你自以為正確的學(xué)習(xí)方法，讓你真正會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)，愛(ài)上數(shù)學(xué)！

作者簡(jiǎn)介

作者：（日本）永野裕之 譯者：李俊永野裕之，擁有20多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的“數(shù)學(xué)達(dá)人”，現(xiàn)任永野數(shù)學(xué)私塾校長(zhǎng)。這是一所同時(shí)面向在校學(xué)生和成年人開(kāi)班的數(shù)學(xué)培訓(xùn)學(xué)校，該校曾被NHK電視臺(tái)、《日本經(jīng)濟(jì)新聞》、《商務(wù)雜志》等多家媒體報(bào)道，是三所日本全國(guó)“最佳數(shù)學(xué)培訓(xùn)學(xué)校”之一。作者反對(duì)死記硬背數(shù)學(xué)公式的傳統(tǒng)學(xué)習(xí)方法，提倡學(xué)通、學(xué)透，進(jìn)而領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力，真正提高數(shù)學(xué)能力。

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序言 為什么你學(xué)不好數(shù)學(xué)？ 學(xué)好數(shù)學(xué)的竅門(mén) 數(shù)學(xué)差生也能當(dāng)數(shù)學(xué)家 學(xué)好數(shù)學(xué)就靠方法 成年人為什么還要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？ 重新感受數(shù)學(xué)的魅力 “文科生”更要學(xué)數(shù)學(xué) 本書(shū)的使用方法 第1部 應(yīng)該怎樣學(xué)數(shù)學(xué)？ 死記硬背要不得 學(xué)數(shù)學(xué)的訣竅——“記不住” 為什么要學(xué)數(shù)學(xué)？ 數(shù)學(xué)=枯煩燥乏味？ 不要去記解題方法 代替死記硬背的方法 多想一想“為什么？” 添加“新的語(yǔ)意” 不僅僅是“知識(shí)”，更要多一些“智慧” 對(duì)定理和公式進(jìn)行驗(yàn)證 定理和公式是“人類智慧的結(jié)晶” 在驗(yàn)證的過(guò)程當(dāng)中有所感動(dòng) 通過(guò)驗(yàn)證提高“數(shù)學(xué)的能力” 對(duì)勾股定理的驗(yàn)證 對(duì)2次公式的驗(yàn)證 找到靈光一閃的原因 “傾聽(tīng)→思考→再教會(huì)別人”的三步走 怎樣才算是“明白了” 學(xué)習(xí)的三步驟 準(zhǔn)備一本屬于自己的“數(shù)學(xué)筆記” 筆記是寫(xiě)給自己將來(lái)看的 把筆記變成屬于自己的知識(shí)“寶庫(kù)” 通過(guò)記筆記，來(lái)積累“教學(xué)”的經(jīng)驗(yàn) “寶庫(kù)”筆記的記法 第2部 在解題之前應(yīng)該掌握的知識(shí) 在數(shù)學(xué)當(dāng)中，使用未知數(shù)的原因 算術(shù)和數(shù)學(xué)的區(qū)別 演繹和歸納 規(guī)律性 使用未知數(shù)的好處 去除未知數(shù) 代入法 加減法 萬(wàn)能的代入法 我們的口號(hào)是：“去除未知數(shù)！” 去除未知數(shù)的方法 2元2次聯(lián)立方程式的解題方法（附錄） 拿到數(shù)學(xué)練習(xí)冊(cè)的做題方法 “能看懂”和“能解答”是兩碼事 關(guān)于練習(xí)冊(cè)后面的“答案” 這道題為什么不會(huì)做？ 怎么樣才能夠會(huì)答題？ 當(dāng)你會(huì)做這些題的時(shí)候 數(shù)學(xué)不好的人所欠缺的解題基本功 將應(yīng)用題“數(shù)字化” 除法運(yùn)算當(dāng)中所包括的兩個(gè)含義 圖表與聯(lián)立方程式之間的聯(lián)系 通過(guò)輔助線，能不能獲得“更多有用的信息” 數(shù)學(xué)好的人，頭腦里面都裝了些什么 數(shù)學(xué)不好的人的典型特征 數(shù)學(xué)好的人，都掌握了“基本的解題思路” “10種解題的思路”和相應(yīng)的作用 歸納出其中的原理、規(guī)則和定義，將復(fù)雜的問(wèn)題進(jìn)行分解 第3部 遇到任何數(shù)學(xué)題都能夠解答的10種解題思路 解題思路1“降低次方和次元” 1開(kāi)3次方 在幾何圖形當(dāng)中，同樣可以降低“次元” 解題思路2“尋找周期和規(guī)律性” 找不著日歷也沒(méi)關(guān)系 同余式 解題思路3“尋找對(duì)稱性” 幾何圖形的對(duì)稱 對(duì)稱式 相反方程式 解題思路4“逆向思維” “至少如何如何 反證法 解題思路5“與其考慮相加，不如考慮相乘” 相關(guān)方程式的信息量 不等式的證明 解題思路6“相對(duì)比較” 相對(duì)比較=減法運(yùn)算 無(wú)限循環(huán)小數(shù) 差分?jǐn)?shù)列 解題思路7“歸納性的思考實(shí)驗(yàn)” 代入具體的數(shù)字，能夠加深理解 加深印象，提出猜想 不斷“實(shí)驗(yàn)” 數(shù)學(xué)歸納法 解題思路8“數(shù)學(xué)問(wèn)題的圖像化” 針對(duì)最大值和最小值問(wèn)題的特效藥 在聯(lián)立方程式的解題過(guò)程當(dāng)中應(yīng)該想到的！ 在亂石之上架起橋梁 解題思路9“等值替換” 在必要充分條件下（等值） 方程式的變形就是等值替換 意識(shí)到等值替換 在必要條件下，對(duì)充分條件加以討論 給想法命名 …… 第4部 綜合習(xí)題——10種 解題思路的運(yùn)用 綜合習(xí)題① 綜合習(xí)題② 綜合習(xí)題③ 綜合習(xí)題④ 結(jié)束語(yǔ)

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁(yè)：   插圖：   我想說(shuō)的是，能夠感受到做一件事情的難度，這才是最重要的。當(dāng)你讀了教科書(shū)上面的解說(shuō)以及練習(xí)冊(cè)上面的答案之后，你會(huì)覺(jué)得：“哦，原來(lái)是這樣啊?！钡牵銢](méi)有想象過(guò)最初發(fā)現(xiàn)這個(gè)定理或公式的難度。如果你覺(jué)得哥倫布的雞蛋僅僅是“誰(shuí)都能夠做到的事情”，那么你就成為不了哥倫布。一個(gè)全新的創(chuàng)意能夠想出來(lái)是多么不容易，這一點(diǎn)你要能夠體會(huì)得到?！熬瓦@么簡(jiǎn)單”，“這我早就知道了”，像這種不懂裝懂的態(tài)度，在學(xué)習(xí)的第一階段當(dāng)中是最要不得的。 第2步：思考 學(xué)習(xí)的第2步，就是把新學(xué)到的東西進(jìn)行反復(fù)思考。如果你真正思考了的話，那么腦子里面一定會(huì)產(chǎn)生許多的“為什么”。 多問(wèn)一些“為什么”并不可怕，這說(shuō)明你在學(xué)習(xí)的過(guò)程當(dāng)中發(fā)揮了主觀能動(dòng)性。就請(qǐng)你多一些這樣的困惑吧。 當(dāng)你困惑的時(shí)候，你的“大腦思維能力”也在不斷地提高。 當(dāng)然了，不是說(shuō)非得讓你趴在桌子上思考。按照我的經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)你在洗澡的時(shí)候，乘車(chē)的時(shí)候，又或者是躺在床上睡覺(jué)之前，想一想這些問(wèn)題，說(shuō)不定什么時(shí)候就能有所發(fā)現(xiàn)：“啊，原來(lái)是這樣?。　弊钪匾木褪悄恪皶r(shí)時(shí)刻刻都在想”。 哪怕是你想來(lái)想去都一無(wú)所獲，我保證這都不是在做無(wú)用功！ 對(duì)于那些不明白的地方，最重要的就是通過(guò)自己的努力去尋找答案。無(wú)論是翻書(shū)也好，上網(wǎng)搜索也好，總之要想盡一切辦法，而在這個(gè)過(guò)程當(dāng)中你肯定能夠碰到各種各樣的想法和解決的辦法。當(dāng)然了，如果有知道答案的人（這個(gè)人就在你身邊），那么你不妨問(wèn)問(wèn)他。 說(shuō)點(diǎn)題外話，對(duì)于一個(gè)老師，尤其是數(shù)學(xué)老師和物理老師，怎么樣來(lái)判斷他好不好，在這里我教大家一個(gè)簡(jiǎn)單的分辨方法。 當(dāng)你把“當(dāng)初提出這個(gè)方法的人，到底是怎么想的”這類問(wèn)題拿出來(lái)問(wèn)他的時(shí)候： “就應(yīng)該是這么想的?！?“遇到這種問(wèn)題，就應(yīng)該這樣去解題?！?如果他這樣回答你的話，就說(shuō)明這個(gè)老師確實(shí)不怎么樣。如果遇到像這種讓學(xué)生們死記硬背的數(shù)學(xué)老師或物理老師，那么你最好就不要再向他請(qǐng)教什么問(wèn)題了。你向這樣的人請(qǐng)教，只有百害而無(wú)一利。如果是一個(gè)懂得學(xué)習(xí)的本質(zhì)，知道為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的老師，他就應(yīng)該會(huì)告訴你這么去想、這么去做的原因。

后記

在《寫(xiě)給全人類的數(shù)學(xué)魔法書(shū)》當(dāng)中所涉及的主要都是初中到高一的數(shù)學(xué)課程（其中也有超出的部分），這主要是考慮到有很多人并不擅長(zhǎng)于數(shù)學(xué)，所以才盡量減少相關(guān)的知識(shí)量。然而，我想讀者們現(xiàn)在最關(guān)心的就是：“這本書(shū)當(dāng)中給出的解題思路，在往后高年級(jí)的數(shù)學(xué)當(dāng)中是否也能用得上？”答案是Yes。在本書(shū)的第3部分當(dāng)中，我給大家講解了10種解題的思路。我把這些解題思路和其他類型數(shù)學(xué)問(wèn)題的聯(lián)系，都一一對(duì)應(yīng)寫(xiě)在了后面。在以下列出的類型當(dāng)中也許有很多大家所不熟悉的，但是這無(wú)關(guān)緊要。只要大家能夠感覺(jué)到：“啊，原來(lái)在各種情況下都能夠用到嘛！”這就足夠了。解題思路1 “降低次方和次元”?陪集定理?三角函數(shù)半角公式?三角函數(shù)乘法公式和加法公式?空間向量?三角函數(shù)的積分?部分積分?哈密爾頓定理?三角函數(shù)的積分解題思路2 “尋找周期和規(guī)律性”?三角函數(shù)的圖像?遞推公式?n次導(dǎo)函數(shù)?部分積分?行列的n次方解題思路3 “尋找對(duì)稱性”?解和系數(shù)的關(guān)系?3次函數(shù)的圖像?偶函數(shù)和奇函數(shù)的積分解題思路4 “逆向思維”?對(duì)數(shù)?積分?反函數(shù)?反行列解題思路5 “與其考慮相加，不如考慮相乘”?等式、不等式的證明?式變形解題思路6 “相對(duì)比較”?差分?jǐn)?shù)列?遞推公式?向量的分解解題思路7 “歸納性的思考實(shí)驗(yàn)”?數(shù)學(xué)歸納法?分?jǐn)?shù)遞推公式?整數(shù)問(wèn)題解題思路8 “數(shù)學(xué)問(wèn)題的圖像化”?軌跡和領(lǐng)域?三角方程式、三角不等式?函數(shù)的趨向、極限、圖像?定積分和面積?函數(shù)的最大值和最小值?向量的內(nèi)部乘積?向量的方程式?數(shù)列的極限?中間值定理?平均值定理?極限坐標(biāo)和極限方程式解題思路9 “等值替換”?恒等式?等式、不等式的證明?三角方程式?指數(shù)方程式?對(duì)數(shù)方程式?極限的條件決定了系數(shù)解題思路10 “通過(guò)終點(diǎn)來(lái)追溯起點(diǎn)”?證明題（全部）在實(shí)際解題當(dāng)中，這10種解題思路并不限于我所列出的這些類型，而是在各種情況下都能夠發(fā)揮作用。只要掌握了這些解題思路，在今后的學(xué)習(xí)當(dāng)中，你一定會(huì)發(fā)現(xiàn)：“啊，在這里也能用得上！”總之，數(shù)學(xué)的世界是無(wú)限寬廣的。只要你按照這本書(shū)上說(shuō)的去做，掌握正確的學(xué)習(xí)方法和態(tài)度，掌握這10種解題的思路，就能夠站到更高的地方來(lái)感受數(shù)學(xué)世界的寬廣。如果你有勇氣踏出這第一步，走向數(shù)學(xué)的美好世界的話，對(duì)于筆者來(lái)說(shuō)也是一件值得欣慰的事情。在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，要有一個(gè)“自由的學(xué)習(xí)環(huán)境”我在上高中的時(shí)候，就能夠掌握之前所說(shuō)的學(xué)習(xí)方法，這主要還是由于當(dāng)時(shí)我所處的環(huán)境決定的，也就是說(shuō)，這是父母和老師的恩賜。家父是東京大學(xué)信息科學(xué)方面的專家學(xué)者。每當(dāng)周日，我會(huì)把一周積攢下來(lái)的問(wèn)題拿來(lái)向父親請(qǐng)教。然而，雖說(shuō)是專家學(xué)者，但是對(duì)于高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容，父親也差不多都忘了。因此，父親的回答并不是“教給我什么知識(shí)”，而是一起來(lái)“思考”。對(duì)于各種問(wèn)題，父親都會(huì)給出大概的條理和啟發(fā)，從而使我確信：“啊，原來(lái)不背解題方法也能夠?qū)W好數(shù)學(xué)?！绷硗?，由于家母的性格特別開(kāi)朗、天真爛漫，所以，不管當(dāng)年的我考了多爛的成績(jī)，她都不會(huì)罵我?！翱嫉姆?jǐn)?shù)還真低呀?。ㄐΓ庇谑?，兩個(gè)人一起笑，最后就一笑了之，不再斥責(zé)。母親也從來(lái)沒(méi)有督促過(guò)我，沒(méi)有對(duì)我說(shuō)過(guò)讓我“趕緊學(xué)習(xí)”的話。所以對(duì)當(dāng)年的我來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)并不是一種“勉強(qiáng)和強(qiáng)迫”。從母親那里，我獲得了足夠的信任，于是我能夠自由、快樂(lè)地學(xué)習(xí)。另外，高中的時(shí)候，雖然我的數(shù)學(xué)成績(jī)很差，但是數(shù)學(xué)老師總喜歡把手放在我的肩膀上對(duì)我說(shuō)：“你很不錯(cuò)！”（但是不會(huì)給我加分）因?yàn)槲耶?dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)成績(jī)真的很差，所以我也不知道老師說(shuō)這話的真正意思。不過(guò)說(shuō)實(shí)話，當(dāng)年我還真沒(méi)“背過(guò)”什么解題方法，考試的時(shí)候，都是通過(guò)定理和公式的證明來(lái)答題。也許老師說(shuō)我不錯(cuò)，是說(shuō)我這種輕松的學(xué)習(xí)方法?？傊?，當(dāng)年的我，在學(xué)習(xí)上真的很自由?！氨仨毥o我背下來(lái)！”“必須給我考出好的成績(jī)！”當(dāng)年，像這樣的監(jiān)督和約束，我從來(lái)沒(méi)有感受過(guò)。我學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不是被強(qiáng)迫的，而是帶著興趣去學(xué)的。我想這在高中生當(dāng)中幾乎就是一個(gè)奇跡。但是成年人就不一樣了，每個(gè)成年人都擁有“自由的環(huán)境”，沒(méi)有人強(qiáng)迫，完全可以憑著興趣去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中，我希望大家都能夠有一個(gè)自由的環(huán)境。在書(shū)頁(yè)的末尾，我要感謝為本書(shū)繪制插圖的北見(jiàn)隆二先生，這些插圖使得書(shū)中的內(nèi)容更加容易理解。同時(shí)要感謝為本書(shū)設(shè)計(jì)封面和正文部分的萩原弦一郎先生。另外，還要感謝鉆石社的橫田大樹(shù)先生，能夠給作為晚輩的我這樣一個(gè)機(jī)會(huì)。對(duì)于這三位先生，我表示發(fā)自內(nèi)心的由衷感謝。

媒體關(guān)注與評(píng)論

無(wú)論遇到任何問(wèn)題，你都可以搜集線索（解題條件），明確目標(biāo)（待解問(wèn)題），運(yùn)用邏輯判斷分析能力（計(jì)算過(guò)程）來(lái)加以解決。在確定問(wèn)題得到解決之后，你還可以將具體的事情加以抽象分析，從而得出經(jīng)驗(yàn)，并根據(jù)經(jīng)驗(yàn)歸納出合適的解決辦法，以備以后遇到類似問(wèn)題時(shí)參考。這就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)真正的用意?！秾?xiě)給全人類的數(shù)學(xué)魔法書(shū)》

編輯推薦

《寫(xiě)給全人類的數(shù)學(xué)魔法書(shū)》編輯推薦：全日本“最佳數(shù)學(xué)培訓(xùn)學(xué)?！毙ｉL(zhǎng)永野裕之最新力作！“全日本最受歡迎的數(shù)學(xué)書(shū)！”日本亞馬遜一般數(shù)學(xué)類別第1名！沖破慣常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)法，告訴你數(shù)學(xué)到底是個(gè)什么東西，為什么“越是死記硬背公式，就越學(xué)不好數(shù)學(xué)”；書(shū)中詳盡介紹10種最基本解題思路，只要熟練掌握，就能輕松應(yīng)對(duì)各種類型數(shù)學(xué)題，尤其是難度較高的高考真題；書(shū)中回答了“怎樣聽(tīng)課”“怎樣記筆記”“怎樣做練習(xí)冊(cè)”等讀者最關(guān)心的問(wèn)題，將作者多年如何學(xué)好數(shù)學(xué)的秘籍傾囊相授；獨(dú)創(chuàng)性地對(duì)數(shù)學(xué)公式和定理進(jìn)行推理驗(yàn)證，啟發(fā)讀者拋開(kāi)刻板的學(xué)習(xí)方法，不能“只知其一，不知其二”，真正了解數(shù)學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)開(kāi)竅。

名人推薦

數(shù)學(xué)是人類知識(shí)活動(dòng)留下來(lái)的最具威力的工具，是世間萬(wàn)象的根源。上帝必以數(shù)學(xué)法則建造宇宙。——笛卡兒

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