2013中公版數(shù)學學科知識與教學能力高級中學

用戶評論 (總計8條)

•   相對來說，中公書的內(nèi)容排版不錯，但還不夠詳細，需要借助更多的資料。。。但整體還是不錯的。。。
•   很好，數(shù)學考試專用~
•   買了三本，有一本里面兩頁破了。。。
•   感覺作者很用心的編輯了，不過有些大學的東西全當參考
•   還不錯的一本書，知識點全面，希望對自己有幫助哦。
•   知識點很詳細，就是感覺紙質(zhì)一般，書好輕~~
•   書有點舊。。。。。。。。。。。。。。
•   　　一、極限的定義
  　　定義1：■ xn = A： ?坌?著 ＞ 0，?堝正整數(shù)N，當n ＞ N時，有xn - A＜ ?著 。
  　　若xn存在極限（有限數(shù)），又稱xn收斂，否則稱xn發(fā)散。
  　　定義2：■ f（x） = A： ?坌?著 ＞ 0，?堝正數(shù)X，當x ＞ X時，有f（x） - A＜ ?著 。
  　　類似可定義：■ f（x） = A， ■ f（x） = A。
  　　定義3：■ f（x） = A： ?坌?著 ＞ 0，?堝正數(shù)δ，當0 ＜ x - x0＜ δ時，有f（x） - A＜ ?著 。
  　　類似可定義f（x） 當x → x0時右極限與左極限：
  　　 f（x0 + 0） = ■ f（x） = A， f（x0 - 0） =■ f（x） = A。
  　　二、極限的基本性質(zhì)與兩個重要極限
  　?。ㄒ唬?shù)列極限的基本性質(zhì)
  　　性質(zhì)1：（極限的不等式性質(zhì)） 設(shè) ■xn = a， ■yn = b，
  　　若a ＞ b，則?堝N，當n ＞ N時，xn ＞ yn； 若n ＞ N時，xn ≥ yn，則a ≥ b。
  　　性質(zhì)2：（收斂數(shù)列的有界性） 設(shè)xn收斂，則xn有界（即?堝常數(shù)M ＞ 0，xn≤M，n = 1，2，…）。
  　　（二）函數(shù)極限的基本性質(zhì)
  　　性質(zhì)1：（極限的不等式性質(zhì)） 設(shè)■ f（x） = A， ■g（x） = B，
  　　若A ＞ B，則?堝δ ＞ 0，當0 ＜ x - x0 ＜ δ時， f（x） ＞ g（x）；
  　　若f（x） ≥ g（x） （0 ＜ x - x0 ＜ δ），則A≥B。
  　　【推論】（極限的保號性） 設(shè) ■f（x）=A，若A ＞ 0 ?圯?堝δ ＞ 0，當0 ＜ x - x0＜ δ時， f（x）＞0；若
  　　f（x） ≥ 0 （0 ＜ x - x0＜ δ） ?圯 A ≥ 0。
  　　性質(zhì)2：（存在極限的函數(shù)局部有界性） 設(shè)存在極限■f（x） = A，則f（x）在x0的某空心鄰域
  　　U0（x0，δ） = x | 0 ＜ x - x■ ＜ δ內(nèi)有界，即?堝δ ＞ 0，M ＞ 0，使得0 ＜ x - x0 ＜ δ時， f（x）≤M。
  　?。ㄈ﹥蓚€重要極限
  　　■■ = 1， ■（1 + ■）x = e （■（1 + x）■ = e， ■■ = 1） （1.1）
  　　例題1：判斷下列結(jié)論是否正確，并證明你的判斷。
  　?。á瘢┤魓n ＜ yn（n ＞ N），又存在極限■xn = A， ■yn = B，則A ＜ B；
  　?。á颍┰O(shè)f（x）定義在（a，b），又c∈（a，b），并存在極限■f（x） = A，則f（x）在（a，b）有界；
  　?。á螅┤簟鰂（x） = ∞ ，則?堝δ ＞ 0，當0 ＜ x - a ＜ δ時，■有界。
  　　解析：（Ⅰ）不正確。在題設(shè)下只能保證A ≤ B，不能保證A ＜ B。例如，xn = ■，yn = ■，則xn ＜ yn，而■xn = ■yn = 0。
  　　【注】 對不等式xn ＜ yn （n ＞ N）兩邊取極限時（以極限存在為前提），除保持不等號外還要帶上等號，即 ■xn ≤ ■yn 。
  　　（Ⅱ）不正確。這時只能保證：?堝c的一個空心領(lǐng)域U0（c，δ） = x | 0 ＜ x - c ＜ δ，f（x）在U0（c，δ）有界，不能保證f（x）在（a，b）有界。例如，f（x） = ■，（a，b） = （0，1），取c∈（0，1），則■f（x） = ■，但f（x） = ■在（0，1）無界。
  　?。á螅┱_。因為■f（x） = ∞ ?圯 ■■ = 0，由存在極限的函數(shù)的局部有界性?圯?堝δ ＞ 0，當0 ＜ x - a ＜ δ時，■有界。
  　　三、極限存在性的判定
  　?。ㄒ唬A逼定理
  　　（數(shù)列情形） 若?堝N，當n ＞ N時，yn ≤ xn ≤ zn，且有■yn = ■zn = a，則■xn = a。
  　?。ê瘮?shù)情形） 設(shè)?堝δ ＞ 0，0 ＜ x - x0 ＜ δ 時，h（x） ≤ f（x） ≤ g（x），又■h（x） = ■g（x） = A，則 ■f（x） = A 。
  　　【注】 其他極限過程也有類似的結(jié)論。
  　?。ǘ﹩握{(diào)有界數(shù)列必收斂定理
  　　若數(shù)列xn單調(diào)遞增有上界，即xn+1 ≥ xn （n = 1，2，…），并存在一個數(shù)M，使得對一切的n有xn ≤ M，則xn收斂。 即存在一個數(shù)a，使得■xn = a 且有xn≤a （n=1，2……）。
  　?。ㄈ﹩蝹?cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系
  　　■f（x） = A ?圳 ■f（x） = ■f（x） =A。
  　　對于分段函數(shù)f（x） =ｇ（ｘ）， ｘ０－δ＜ｘ＜ｘ０，ｈ（ｘ）， ｘ０＜ｘ＜ｘ０+δ，考察■f（x） 是否存在，就要分別求 ■f（x） = ■h（x） 與 ■f（x） = ■ ｇ（ｘ）。
  　　例題2：設(shè)f（x）=2（ｘ+1）arctan■，ｘ＞0，1， ｘ＞0，■， ｘ＜0，問a為何值時■f（x）存在。
  　　【分析】分別求右、左極限 f（0+0）與 f（0-0），由 f（0+0）= f（0-0），定出a值。
  　　解析： f（0+0）=■f（x） =■2（x+1）arctan■=2 ■arctan■=π， f（0-0）= ■f（x）=■■·■=1·a·1=a（a≠0）， f（0-0）=0（a=0）。
  　　由f（0+0）= f（0-0），得a=π。因此，僅當a=π時，存在■f（x）=π。
  　　例題3：■（ｘ-1）2e■是（ ）。
  　　A.0 B.-∞ C.+∞ D.不存在但不是∞
  　　【分析】因■et=+∞，■et=0，故要分雖考察左、右極限。由于■（ｘ-1）2e■■■■=+∞，■（ｘ-1）2e■■ ■■=0，因此選D。
  　　四、求極限的方法
  　　求極限的方法很多，以下結(jié)合例題介紹幾種常用的、簡單的求極限的方法。
  　?。ㄒ唬├米兞刻鎿Q法與兩個重要極限
  　　例題4：求w = ■ｘ2（3■-3■）。
  　　解析：先改寫成
  　　w = ■■·3■（3■-1）x（x+1）。
  　　作變量替換，令t = 3■-1，則x→∞時t→0且x（x+1）=■，于是
  　　w = ■■· ■3■· ■■·１ｎ３=１ｎ３。
  　　例題5：求w = ■（■+2■）x。
  　　解析：這是1∞型極限，改寫成w = ■2（1+■2■）x ·2■2■=2e。
  　　（二）利用等價無窮小因子替換
  　　若x→a時，無窮小?琢（x）~?琢*（x）， β（x）~β*（x），（即 ■■=1， ■■=1），則■■=■■。（等式兩邊其中之一極限存在或為∞，則另一也是且相等）。
  　　例題6：求下列極限：
  　?。?） w = ■■；（2） w = ■■。
  　　解析：（1）注意x→0時，1-cos（x■）~■x2（1-cosx）~■x4，e■-1~x4，?圯w = ■■=4。
  　　【注】設(shè)x→a時，α ~β，β~γ ?圯 α~γ（x→a）
  　?。?）因為（■）2x-1~1n（■）2x-1+1=2xln（1+■）~2x·■~x·（-■x2）=-■x3（x→0），ln（1+2x3）~2x3（x→0），所以w = ■■= ■■=-■。
  　　（三）利用洛必達法則
  　　例題7：求w = ■■。
  　　解析：先作恒等變形
  　　w = ■■，然后用等價無窮小因子替換：x→0時
  　　sin3x~x3，ln（1+■）~■~x2-sin2x，
  　　于是w = ■■= ■■· ■■=2·■■。
  　　最后用洛必達法則得
  　　w = 2■■=■·■=■。
  　?。ㄋ模┓謩e求左右極限的函數(shù)極限
  　　例題8：求下列極限■ f（x）：
  　　 f（x）=■arctan■。
  　　解析：注意■e■=+∞，■arctan■=■；■e■=0，■arctan■=-■。則■f（x）=■■·■arctan■=1·■=■，■f（x）=■■·■arctan■=（-1）·（-■）=■。因此，■ f（x）=■。
  　?。ㄎ澹├脢A逼法
  　　用夾逼定理求極限■xn，就是要將數(shù)列xn放大與縮小成：zn≤xn≤yn，要想成功，必須是極限■yn與■zn會求且相等。
  　　例題9：求數(shù)列極限：
  　?。?）■■； （２）設(shè)■ｘｎ＝２，求■■。
  　　解析：（１）由于０＜■＝■≤■■＝■·■，又■■·■＝０，于是■■＝０。
  　　（２）由于ｘｎ→2，故?堝N，當ｎ＞N時，0＜ｘｎ＜3，于是0＜■＜■。又■■=0，則■■=0。
  　　【注】a.類似于題（1）可證■■=0（b為常數(shù)）。
  　　b.求極限的方法還有①利用極限的四則運算與冪指數(shù)運算法則求極限；②利用函數(shù)的連續(xù)性；③利用定積分求n項和式極限；④利用泰勒公式等，篇幅所限，此處不再講述。
  　　
  　　
  　　■
  　　
  　　一、連續(xù)性概念
  　　1.若■f（x）=f（x0），稱f（x）在x0連續(xù)。
  　　2.若■f（x）=f（x0）（■f（x）=f（x0）），稱f（x）在x=x0右（左）連續(xù)。
  　　3.若ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）內(nèi)任一點均連續(xù)，稱ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）內(nèi)連續(xù)。
  　　4.若ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）連續(xù)，在x=ａ右連續(xù)，在x=ｂ左連續(xù)，稱ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上連續(xù)。
  　?。▎坞p側(cè)連續(xù)性的關(guān)系）ｆ（ｘ）在x0連續(xù)?圳ｆ（ｘ）在x0既左連續(xù)又右連續(xù)。
  　　二、函數(shù)連續(xù)性的判斷
  　　1°若是初等函數(shù)，則在它的定義域區(qū)間上處處連續(xù)。
  　　2°用連續(xù)性運算法則。
  　　3°分別判斷左右連續(xù)性或按定義來判斷。
  　　（連續(xù)性運算法則）
  　?。?）（連續(xù)性的四則運算法則）設(shè)ｆ（ｘ）， g（ｘ）在x0連續(xù)，則ｆ（ｘ）± g（ｘ），ｆ（ｘ）· g（ｘ），ｆ（ｘ）/ g（ｘ）（g（x0）≠0）在x0也連續(xù)。
  　?。?）（復合函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)u＝?漬（ｘ）在ｘ=x0連續(xù)，y=ｆ（u）在u=u0（u0=?漬（x0））連續(xù)，則ｆ（?漬（x））在ｘ=x0連續(xù)。
  　?。?）（反函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)y=ｆ（ｘ）在區(qū)間Ix上單調(diào)且連續(xù)，則反函數(shù)ｘ=?漬（y）也在對應(yīng)的區(qū)間Iy=y∣y=ｆ（ｘ），x∈Ix上連續(xù)且有相同的單調(diào)性。
  　　【注】若按定義判斷連續(xù)性或間斷點類型，則是求極限問題。
  　　例題10：
  　　設(shè)ｆ（ｘ）=■■，
  　?。á瘢┤簦妫ǎ┨幪庍B續(xù)，求ａ，ｂ值；
  　?。á颍┤簦ǎ?，ｂ）不是求出的值時， ｆ（ｘ）有何間斷點，并指出它的類型。
  　　【分析與求解】（Ⅰ）首先求出ｆ（ｘ），注意到
  　　■ｘ2n=∞, x＞1,1, x=1,0, x＜1, 要分段求出ｆ（ｘ）。
  　　當x＞1時， ｆ（ｘ）=■■=■;
  　　當x＜1時， ｆ（ｘ）=■■=ax2+bx。
  　　于是得ｆ（ｘ）=■, x＞1,■（a+b+1）, x=1,■（a-b-1）, x=-1,ax2+bx, x＜1。
  　　其次，由初等函數(shù)的連續(xù)性，當x＞1，x＜1時ｆ（ｘ）分別與初等函數(shù)相等，故連續(xù)。最后，只須考察分段函數(shù)的連接點x=±1處的連續(xù)性，這就要按定義考察連續(xù)性，分別計算
  　　■ｆ（ｘ）=■■=1, ■ｆ（ｘ）=■(ax2+bx)=a+b，
  　　■ｆ（ｘ）=■(ax2+bx)=a-b， ■ｆ（ｘ）=■■=-1；
  　?。妫ǎ┰趚=1連續(xù)?圳ｆ（1+0）=ｆ（1-0）=ｆ（1）?圳a+b=1=■（a+b+1）
  　　 ?圳a+b=1；
  　?。妫ǎ┰趚=-1連續(xù)?圳ｆ（-1+0）=ｆ（-1-0）=ｆ（-1）?圳a-b=-1=■（a-b-1）
  　　 ?圳a-b=-1。
  　　因此ｆ（ｘ）在x=±1均連續(xù)?圳a+b=1a-b=-1?圳a=0，b=1。僅當a=0，b=1時ｆ（ｘ）處處連續(xù)。
  　　
  　?。á颍┊敚╝，b）≠（0，1）時，若a+b=1（則a-b≠-1），則x=1是連續(xù)點，只有x=-1是第一類間斷點；若a-b=-1（則a+b≠1），則x=-1是連續(xù)點，只有間斷點x=1，且是第一類間斷點；若a-b≠-1且a+b≠1，則x=1，x=-1均是第一類間斷點。
  　　三、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
  　　性質(zhì)1：設(shè)ｆ（ｘ）在x=x0連續(xù)， ｆ（x0）＞0，則?堝δ＞0，當x-x0＜δ時， ｆ（x0）＞0。
  　　性質(zhì)2：（連續(xù)函數(shù)介值定理（中間值定理））設(shè)ｆ（ｘ）在a，b上連續(xù)， ｆ（a）≠ ｆ（b），則對 ｆ（a）與 ｆ（ｂ）之間的任何數(shù)η，則必定?堝ｃ（ａ＜ｃ＜ｂ），使得ｆ（ｃ）=η。
  　　設(shè)ｆ（ｘ）在a，b上連續(xù)，又 ｆ（a）與 ｆ（b）異號，則?堝ｃ∈（a，b），使得ｆ（ｃ）=0（ｃ稱為ｆ（ｘ）的零點）。
  　　性質(zhì)3：（有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性）設(shè)ｆ（ｘ）在a，b上連續(xù)，則ｆ（ｘ）在a，b有界，即存在常數(shù)M＞0，對任意x∈a，b，使得ｆ（ｘ）≤M。
  　　性質(zhì)4：（有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)存在最大、最小值）設(shè)ｆ（ｘ）在a，b上連續(xù)，則在a，b上必存在x1，x2，使得
  　?。妫ǎ?）=■ ｆ（ｘ） （即?坌x∈a，b， ｆ（ｘ）≤ｆ（ｘ1）），
  　　ｆ（ｘ2）=■ ｆ（ｘ） （即?坌x∈a，b， ｆ（ｘ）≥ｆ（ｘ2））。
  　　
  　　
  　　■
  　　
  　　一、導數(shù)的概念
  　?。保畬?shù)（導函數(shù)的簡稱）的定義：設(shè)ｘ０是函數(shù)ｙ＝ ｆ（ｘ）定義域內(nèi)的一點，如果自變量ｘ在ｘ０處有增量Δｘ，則函數(shù)值ｙ也引起相應(yīng)的增量Δｙ＝ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）；比值■＝■稱為函數(shù)ｙ＝ ｆ（ｘ）在點ｘ０到ｘ０＋Δｘ之間的平均變化率；如果極限■■＝■■存在，則稱函數(shù)ｙ＝ ｆ（ｘ）在點ｘ０處可導，并把這個極限叫做ｙ＝ ｆ（ｘ）在ｘ０處的導數(shù)，記作ｆ ′（ｘ０）或ｙ′■，即ｆ ′（ｘ０）＝■■＝■■。
  　　【注】①Δｘ是增量，我們也稱為“改變量”，因為Δｘ可正，可負，但不為零。
  　?、谝阎瘮?shù)ｙ＝ ｆ（ｘ）定義域為Ａ，ｙ＝ ｆ ′（ｘ）的定義域為Ｂ，則Ａ與Ｂ關(guān)系為Ａ?勐Ｂ。
  　　2．導數(shù)的幾何意義：
  　　函數(shù)ｙ＝ ｆ（ｘ）在點ｘ０處的導數(shù)的幾何意義是曲線ｙ＝ ｆ（ｘ）在點（ｘ０， ｆ（ｘ０））處的切線的斜率。也就是說，曲線ｙ＝ ｆ（ｘ）在點（ｘ０， ｆ（ｘ０））處的切線的斜率是ｆ ′（ｘ０），切線方程為ｙ－ ｆ（ｘ０）＝ ｆ ′（ｘ０）（ｘ－ｘ０）。
  　　例題11：已知函數(shù)ｆ（ｘ）＝■（ｘ２＋１）（ｘ≤１），■（ｘ＋１）（ｘ＞１），判斷ｆ（ｘ）在ｘ＝１處是否可導？
  　　解析：分段函數(shù)在“分界點”處的導數(shù)，須根據(jù)導數(shù)定義來判斷是否可導。
  　　■■＝■■＝１，
  　　■■＝■■＝■，
  　　故ｆ（ｘ）在ｘ＝１處不可導。
  　　【點評】函數(shù)在某一點的導數(shù)，是一個極限值，即■■，Δｘ→０，包括Δｘ→０＋與Δｘ→０－，因此，在判定分段函數(shù)在“分界點”處的導數(shù)是否存在時，要驗證其左、右極限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定分界點存在導數(shù)，否則不存在導數(shù)。
  　　二、導數(shù)的應(yīng)用
  　?。保蓪Ш瘮?shù)的極值
  　?。ǎ保O值的概念
  　　設(shè)函數(shù)ｆ（ｘ）在點ｘ０附近有定義，且若對ｘ０附近的所有的點都有ｆ（ｘ）＜ ｆ（ｘ０）（或ｆ（ｘ）＞ ｆ（ｘ０）），則稱ｆ（ｘ０）為函數(shù)ｆ（ｘ）的一個極大（?。┲?，稱ｘ０為極大（?。┲迭c。
  　?。ǎ玻┣罂蓪Ш瘮?shù)ｆ（ｘ）極值的步驟：
  　?、偾髮?shù)ｆ ′（ｘ）；
  　　②求方程ｆ ′（ｘ）＝０的根；
  　?、蹤z驗ｆ ′（ｘ）在方程ｆ ′（ｘ）＝０的根的左右的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負，那么函數(shù)ｙ＝ ｆ（ｘ）在這個根處取得極大值；如果在根的右側(cè)附近為正，左側(cè)附近為負，那么函數(shù)ｙ＝ ｆ（ｘ）在這個根處取得極小值。
  　?。玻瘮?shù)的最大值和最小值
  　?。ǎ保┰O(shè)ｙ＝ ｆ（ｘ）是定義在區(qū)間［ａ，ｂ］上的函數(shù)，ｙ＝ ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）內(nèi)有導數(shù)，求函數(shù)ｙ＝ ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最大值與最小值，可分兩步進行：
  　?、偾螅?ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）內(nèi)的極值；
  　?、趯ⅲ?ｆ（ｘ）在各極值點的極值與ｆ（ａ）、 ｆ（ｂ）比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值。
  　?。ǎ玻┤艉瘮?shù)ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上單調(diào)遞增，則ｆ（ａ）為函數(shù)的最小值， ｆ（ｂ）為函數(shù)的最大值；若函數(shù)ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上單調(diào)遞減，則ｆ（ａ）為函數(shù)的最大值， ｆ（ｂ）為函數(shù)的最小值。
  　　例題12：設(shè)工廠Ａ到鐵路線的垂直距離為２０ｋｍ，垂足為Ｂ。鐵路線上距離Ｂ為１００ｋｍ處有一原料供應(yīng)站Ｃ，現(xiàn)要在鐵路ＢＣ之間某處Ｄ修建一個原料中轉(zhuǎn)車站，再由車站Ｄ向工廠A修一條公路。如果已知每千米的鐵路運費與公路運費之比為３∶５，那么Ｄ應(yīng)選在何處，才能使原料供應(yīng)站Ｃ運貨到工廠Ａ所需運費最省？
  　　解析：設(shè)ＢＤ之間的距離為ｘｋｍ，則｜ＡＤ｜＝■，｜ＣＤ｜＝１００－ｘ。如果公路運費為ａ元／ｋｍ，那么鐵路運費為■元／ｋｍ。故從原料供應(yīng)站Ｃ途經(jīng)中轉(zhuǎn)站Ｄ到工廠Ａ所需總運費ｙ為：ｙ＝■（１００－ｘ）＋ａ■，（０≤ｘ≤１００）。對該式求導得，ｙ′＝■＋■＝■，令ｙ′＝０，即得２５ｘ２＝９（ｘ２＋４００），解得ｘ１＝１５，ｘ２＝－１５（不符合實際意義，舍去）。且ｘ１＝１５是函數(shù)ｙ在定義域內(nèi)的唯一駐點，所以ｘ１＝１５是函數(shù)ｙ的極小值點，而且也是函數(shù)ｙ的最小值點。由此可知，車站Ｄ建于Ｂ，Ｃ之間并且與Ｂ相距１５ｋｍ處時，運費最省。
  　　【點評】這是一道實際生活中的優(yōu)化問題，建立的目標函數(shù)是一個復合函數(shù)，用過去的知識求其最值往往沒有一般方法，即使能求出，也要涉及到較高的技能技巧。而運用導數(shù)知識，求復合函數(shù)的最值就變得非常簡單。一般情況下，對于實際生活中的優(yōu)化問題，如果其目標函數(shù)為高次多項式函數(shù)、簡單的分式函數(shù)、簡單的無理函數(shù)、簡單的指數(shù)、對數(shù)函數(shù)，或它們的復合函數(shù)，均可用導數(shù)法求其最值。由此也可見，導數(shù)的引入，大大拓寬了中學數(shù)學知識在實際優(yōu)化問題中的應(yīng)用空間。
  　　三、不定積分
  　　（一）基本概念
  　　定義１ 如果在區(qū)間Ｉ上，可導函數(shù)Ｆ（ｘ）的導函數(shù)為ｆ（ｘ），即對任一ｘ∈Ｉ，都有
  　?。啤洌ǎ?ｆ（ｘ）或ｄＦ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｄｘ
  　　那么函數(shù)Ｆ（ｘ）就稱為ｆ（ｘ）（或ｆ（ｘ）ｄｘ）在區(qū)間Ｉ上的原函數(shù)。
  　　例如：因為（ｓｉｎｘ）′＝ｃｏｓｘ，所以ｓｉｎｘ是ｃｏｓｘ的原函數(shù)；又如當ｘ∈（１，＋∞）時，因為（■）′＝■，所以■是■的原函數(shù)。
  　　原函數(shù)存在定理 如果函數(shù)ｆ（ｘ）在區(qū)間Ｉ上連續(xù)，那么在區(qū)間Ｉ上存在可導函數(shù)Ｆ（ｘ），使對任一ｘ∈Ｉ，都有
  　?。啤洌ǎ?ｆ（ｘ）
  　　簡單地說，連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。
  　　兩點說明
  　　第一，如果函數(shù)ｆ（ｘ）在區(qū)間Ｉ上有原函數(shù)Ｆ（ｘ），那么ｆ（ｘ）就有無限多個原函數(shù)Ｆ（ｘ）＋Ｃ都是ｆ（ｘ）的原函數(shù)，其中Ｃ是任意常數(shù)；
  　　第二， ｆ（ｘ）的任意兩個原函數(shù)之間只差一個常數(shù)，即如果Φ（ｘ）和Ｆ（ｘ）都是ｆ（ｘ）的原函數(shù)，則Φ（ｘ）－Ｆ（ｘ）＝Ｃ（Ｃ為某個常數(shù)）。
  　　定義２ 在區(qū)間Ｉ上，函數(shù)ｆ（ｘ）的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為ｆ（ｘ）（或ｆ（ｘ）ｄｘ）在區(qū)間Ｉ上的不定積分，記作
  　　■ｆ（ｘ）ｄｘ
  　　其中記號■稱為積分號， ｆ（ｘ）稱為被積函數(shù)， ｆ（ｘ）ｄｘ稱為被積表達式，ｘ稱為積分變量，根據(jù)定義，如果Ｆ（ｘ）是ｆ（ｘ）在區(qū)間Ｉ上的一個原函數(shù)，那么Ｆ（ｘ）＋Ｃ就是ｆ（ｘ）的不定積分，即
  　　■ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ
  　　因而不定積分■ｆ（ｘ）ｄｘ可以表示ｆ（ｘ）的任意一個原函數(shù)。
  　　積分曲線 函數(shù)ｆ（ｘ）的原函數(shù)的圖形稱為ｆ（ｘ）的積分曲線。
  　　從不定積分的定義，即可知下述關(guān)系
  　　■［■ｆ（ｘ）ｄｘ］＝ｆ（ｘ） 或 ｄ［■ｆ（ｘ）ｄｘ］＝ｆ（ｘ）ｄｘ
  　　又由于Ｆ（ｘ）是Ｆ′（ｘ）的原函數(shù)，所以■Ｆ′（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ或記作■ｄＦ（ｘ）＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ。
  　　由此可見，微分運算（以記號ｄ表示）與求不定積分的運算（簡稱積分運算，以記號■表示）是互逆的，當記號■與ｄ 連在一起時，或者抵消，或者抵消后差一個常數(shù)。
  　?。ǘ┏Ｓ貌欢ǚe分
  　　（１）■ｋｄｘ＝ｋｘ＋Ｃ（ｋ是常數(shù)） （２）■ｘμｄｘ＝■ｘμ＋１＋Ｃ（μ是常數(shù)，且μ≠-1）
  　　（３）■■ｄｘ＝ｌｎ｜ｘ｜＋Ｃ （４）■ｅｘｄｘ＝ｅｘ＋Ｃ
  　?。ǎ担觯幔洌健觯茫ǎ幔?，且ａ≠1） （６）■ｃｏｓｘｄｘ＝ｓｉｎｘ＋Ｃ
  　　（７）■ｓｉｎｘｄｘ＝－ｃｏｓｘ＋Ｃ （８）■■ｄｘ＝■ｓｅｃ２ｘｄｘ＝ｔａｎｘ＋Ｃ
  　?。ǎ梗觥觯洌健觯悖螅悖玻洌剑悖铮簦? （１０）■■ｄｘ＝ａｒｃｔａｎｘ＋Ｃ
  　　（１１）■■ｄｘ＝ａｒｃｓｉｎｘ＋Ｃ （１２）■ｓｅｃｘｔａｎｘｄｘ＝ｓｅｃｘ＋Ｃ
  　?。ǎ保常?■ｃｓｃｘｃｏｔｘｄｘ＝－ｃｓｃｘ＋Ｃ
  　　
  　　四、定積分
  　　（一）基本概念
  　　定義：設(shè)ｆ（ｘ）是定義在［ａ，ｂ］上的函數(shù)，在（ａ，ｂ）中任意插入若干個分點（這里插入ｎ－１個）ａ＝ｘ１＜ｘ２＜……＜ｘｎ－１＜ｘｎ＝ｂ來劃分區(qū)間［ａ，ｂ］，這一分法記為Δ，在每一個部分區(qū)間［ｘｉ－１，ｘｉ］中任取一點ξｉ作和式σ＝■ｆ（ξｉ）Δｘｉ，其中Δｘｉ＝ｘｉ－ｘｉ－１，設(shè)λ為Δｘｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）中的最大數(shù)，即λ＝■｛Δｘｉ｝，當λ→０時，如果和式的極限存在，且此極限值不依賴于ξｉ的選擇，也不依賴于［ａ，ｂ］的分法，就稱此極限值為ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的定積分。
  　　幾何意義：■ｆ（ｘ）ｄｘ表示由曲線ｙ＝ｆ（ｘ）及直線ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ，ｙ＝０所圍成的曲邊梯形的面積。在ｘ軸（ｙ＝０）上方的面積取正值，在ｘ軸（ｙ＝０）下方的面積取負值。
  　?。ǘ┗拘再|(zhì)
  　　兩點規(guī)定：
  　?。ǎ保┊敚幔剑鈺r，■ｆ（ｘ）ｄｘ＝０；
  　?。ǎ玻┊敚幔荆鈺r，■ｆ（ｘ）ｄｘ＝－■ｆ（ｘ）ｄｘ。
  　　性質(zhì)１ 函數(shù)的和（差）的定積分等于它們的定積分的和（差），即
  　　■［ ｆ（ｘ）±ｇ（ｘ）］ｄｘ＝■ｆ（ｘ）ｄｘ±■ｇ（ｘ）ｄｘ
  　　證明：■［ ｆ（ｘ）±ｇ（ｘ）］ｄｘ＝■■［ ｆ（ξｉ）±ｇ（ξｉ）］Δｘｉ（其中λ＝ｍａｘ｛Δｘｉ｝，i=1，2，……，n）
  　　＝■■ｆ（ξｉ）Δｘｉ±■■ｇ（ξｉ）Δｘｉ
  　?。健觯妫ǎ洌馈觯纾ǎ洌?br /> 　　性質(zhì)２ 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面，即■ｋｆ（ｘ）ｄｘ＝ｋ■ｆ（ｘ）ｄｘ。
  　　這是因為■ｋｆ（ｘ）ｄｘ＝■■ｋｆ（ξｉ）Δｘｉ＝ｋ■■ｆ（ξｉ）Δｘｉ＝ｋ■ｆ（ｘ）ｄｘ。
  　　性質(zhì)３ 如果將積分區(qū)間分成兩部分，則在整個區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和，即■ｆ（ｘ）ｄｘ＝■ｆ（ｘ）ｄｘ＋■ｆ（ｘ）ｄｘ。
  　　這個性質(zhì)表明定積分對于積分區(qū)間具有可加性，值得注意的是，不論ａ，ｂ，ｃ的相對位置如何，總有等式：■ｆ（ｘ）ｄｘ＝■ｆ（ｘ）ｄｘ＋■ｆ（ｘ）ｄｘ成立。例如當ａ＜ｂ＜ｃ時，由于■ｆ（ｘ）ｄｘ＝■ｆ（ｘ）ｄｘ＋■ｆ（ｘ）ｄｘ，于是有■ｆ（ｘ）ｄｘ＝■ｆ（ｘ）ｄｘ－■ｆ（ｘ）ｄｘ＝■ｆ（ｘ）ｄｘ＋■ｆ（ｘ）ｄｘ。
  　　性質(zhì)４ 如果在區(qū)間［ａ，ｂ］上ｆ（ｘ）＝１，則■ｆ（ｘ）ｄｘ＝■１ｄｘ＝ｂ－ａ。
  　　性質(zhì)５ 如果在區(qū)間［ａ，ｂ］上 ｆ（ｘ）≥０，則■ｆ（ｘ）ｄｘ≥０（ａ＜ｂ）。
  　　推論１ 如果在區(qū)間［ａ，ｂ］上 ｆ（ｘ）≤ｇ（ｘ），則■ｆ（ｘ）ｄｘ≤■ｇ（ｘ）ｄｘ（ａ＜ｂ）。
  　　這是因為ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）≥０，從而■ｇ（ｘ）ｄｘ－■ｆ（ｘ）ｄｘ＝■［ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）］ｄｘ≥０，所以■ｆ（ｘ）ｄｘ≤■ｇ（ｘ）ｄｘ。
  　　推論２ ｜■ｆ（ｘ）ｄｘ｜≤■｜ ｆ（ｘ）｜ｄｘ（ａ＜ｂ）。
  　　這是因為－｜ ｆ（ｘ）｜≤ｆ（ｘ）≤｜ ｆ（ｘ）｜，所以－■｜ ｆ（ｘ）｜ｄｘ≤■ｆ（ｘ）ｄｘ≤■｜ ｆ（ｘ）｜ｄｘ，即 ｜■ｆ（ｘ）ｄｘ｜≤■｜ ｆ（ｘ）｜ｄｘ。
  　　性質(zhì)６ 設(shè)Ｍ 及ｍ 分別是函數(shù)ｆ（ｘ）在區(qū)間［ａ，ｂ］上的最大值及最小值，則
  　　ｍ（ｂ－ａ）≤■ｆ（ｘ）ｄｘ≤Ｍ（ｂ－ａ）（ａ＜ｂ）。
  　　證明：因為ｍ≤ｆ（ｘ）≤Ｍ，所以■ｍｄｘ≤■ｆ（ｘ）ｄｘ≤■Ｍｄｘ，從而ｍ（ｂ－ａ）≤■ｆ（ｘ）ｄｘ≤Ｍ（ｂ－ａ）。
  　　性質(zhì)７（定積分中值定理） 如果函數(shù)ｆ（ｘ）在閉區(qū)間［ａ，ｂ］上連續(xù)，則在積分區(qū)間［ａ，ｂ］上至少存在一個點ξ，使下式成立：■ｆ（ｘ）ｄｘ＝ ｆ（ξ）（ｂ－ａ），這個公式叫做積分中值公式。
  　　證明：由性質(zhì)６可得，ｍ（ｂ－ａ）≤■ｆ（ｘ）ｄｘ≤Ｍ（ｂ－ａ），各項除以ｂ－ａ得ｍ≤■■ｆ（ｘ）ｄｘ≤Ｍ，再由連續(xù)函數(shù)的介值定理，在［ａ，ｂ］上至少存在一點ξ，使ｆ（ξ）＝■■ｆ（ｘ）ｄｘ，于是兩端乘以ｂ－ａ得中值公式■ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）。
  　　【注】不論ａ＜ｂ還是ａ＞ｂ，積分中值公式都成立。
  　　五、定積分與不定積分的計算
  　　例題13：計算積分■ｘ２■ｄｘ。
  　　解析：■ｘ２■ｄｘ＝■ｘ■ｄｘ＝■ｘ■＋Ｃ＝■ｘ■＋Ｃ＝■ｘ３■＋Ｃ。
  　　例題14：計算積分■■。
  　　解析：■■＝■ｘ■ｄｘ＝■＋Ｃ＝－３ｘ■＋Ｃ＝－■＋Ｃ。
  　　例題15：計算積分■■（ｘ２－５）ｄｘ。
  　　解析：■■（ｘ２－５）ｄｘ＝■（ｘ■－５ｘ■）ｄｘ
  　　＝■ｘ■ｄｘ－■５ｘ■ｄｘ＝■ｘ■ｄｘ－５■ｘ■ｄｘ
  　?。健觯觯怠ぁ觯觯?。
  　　例題16：計算積分■■ｄｘ。
  　　解析：■■ｄｘ＝■■ｄｘ＝■（ｘ－３＋■－■）ｄｘ
  　?。健觯洌场觯洌场觥觯洌觥觯洌健觯玻常常欤睿觯谩?br /> 　　例題17：計算積分■（ｅｘ－３ｃｏｓｘ）ｄｘ。
  　　解析：■（ｅｘ－３ｃｏｓｘ）ｄｘ＝■ｅｘｄｘ－３■ｃｏｓｘｄｘ＝ｅｘ－３ｓｉｎｘ＋Ｃ。
  　　例題18：計算積分■ｔａｎ２ｘｄｘ。
  　　解析：■ｔａｎ２ｘｄｘ＝■（ｓｅｃ２ｘ－１）ｄｘ＝■ｓｅｃ２ｘｄｘ－■ｄｘ＝ｔａｎｘ－ｘ＋Ｃ。
  　　例題19：計算（１）■ｘ２ｄｘ； （２）■■ｄｘ。
  　　解析：（１）■ｘ２ｄｘ＝■■■＝■－■＝■；
  　?。ǎ玻觥觯洌剑郏欤睿荨觥觯剑欤睿矗欤睿玻剑欤睢觯剑欤睿病?br /> 　　例題20：計算（１）■ｘ＋■■ｄｘ； （２）■■。
  　　解析：（１）■ｘ＋■■ｄｘ＝■ｘ２＋２＋■ｄｘ＝■＋２ｘ－■■■＝■；
  　　（２）■■＝■■－■■ｄｘ＝－■－ａｒｃｔａｎｘ■■＝■＋■－ａｒｃｔａｎ２。
  　　

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