2013中公版數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力高級(jí)中學(xué)

出版時(shí)間:2012-7  出版社:世界圖書出版公司北京公司  作者:中公教育教師資格考試研究院  頁數(shù):217  字?jǐn)?shù):278000  
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內(nèi)容概要

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作者簡介

中公教育教師資格考試研究院

書籍目錄

前言
《數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力》高級(jí)中學(xué)考試大綱
第一部分 學(xué)科知識(shí)
第一章 高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)
第一節(jié) 數(shù)列極限與函數(shù)極限
一、極限的定義
二、極限的基本性質(zhì)與兩個(gè)重要極限
三、極限存在性的判定
四、求極限的方法
第二節(jié) 連續(xù)函數(shù)
一、連續(xù)性概念
二、函數(shù)連續(xù)性的判斷
三、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
第三節(jié) 一元函數(shù)微積分
一、導(dǎo)數(shù)的概念
二、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
三、不定積分
四、定積分
五、定積分與不定積分的計(jì)算
第四節(jié) 向量及其運(yùn)算
一、平面向量
二、空間向量
第五節(jié) 矩陣與變換
一、矩陣的概念
二、矩陣的運(yùn)算
三、矩陣的初等變換
第六節(jié) 概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)
一、概率基礎(chǔ)知識(shí)
二、數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)
第二章 高中數(shù)學(xué)知識(shí)分析
第一節(jié) 必修課程——數(shù)學(xué)
一、集合
二、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)
三、函數(shù)應(yīng)用
第二節(jié) 必修課程——數(shù)學(xué)
一、立體幾何初步
二、平面解析幾何初步
第三節(jié) 必修課程——數(shù)學(xué)
一、算法初步
二、統(tǒng)計(jì)
三、概率
第四節(jié) 必修課程——數(shù)學(xué)
一、三角函數(shù)
二、向量
三、三角恒等變換
第五節(jié) 必修課程——數(shù)學(xué)
一、解三角形
二、數(shù)列
 三、不等式
第六節(jié) 其他選修內(nèi)容
一、選修課程——系列
二、選修課程——系列
三、選修課程——系列3數(shù)學(xué)史選講
四、選修課程——系列4幾何證明選講
五、選修課程——系列4矩陣與變換
六、選修課程——系列4坐標(biāo)系與參數(shù)方程
七、選修課程——系列4不等式選講
第二部分 課程知識(shí)
第一章 高中數(shù)學(xué)課程概述
第一節(jié) 高中數(shù)學(xué)的課程理念
一、高中數(shù)學(xué)增加了選擇性
二、讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人
三、提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)
四、強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)
五、注重?cái)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能
六、強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值
第二節(jié) 高中數(shù)學(xué)的課程目標(biāo)
一、過程與方法
二、五大基本能力
第二章 高中數(shù)學(xué)的課程結(jié)構(gòu)
第一節(jié) 函數(shù)主線
一、對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)
二、中學(xué)數(shù)學(xué)研究函數(shù)的什么性質(zhì)
三、具體函數(shù)模型
四、函數(shù)與其他內(nèi)容的聯(lián)系
第二節(jié) 運(yùn)算主線
一、對(duì)運(yùn)算的認(rèn)識(shí)
二、運(yùn)算的作用
三、運(yùn)算內(nèi)容的設(shè)計(jì)
第三節(jié) 幾何主線
一、幾何的教育功能
二、中學(xué)幾何研究的對(duì)象
三、幾何研究圖形的方法
四、幾何內(nèi)容的設(shè)計(jì)
第四節(jié) 算法主線
一、算法的作用
二、算法的基本思想
三、算法的基本結(jié)構(gòu)
四、算法的基本語句
五、算法內(nèi)容的設(shè)計(jì)
第五節(jié) 統(tǒng)計(jì)概率主線
第六節(jié) 應(yīng)用主線
一、對(duì)應(yīng)用的認(rèn)識(shí)
二、應(yīng)用的層次
第三部分 教學(xué)知識(shí)
第一章 概念教學(xué)
第一節(jié) 數(shù)學(xué)概念概述
一、數(shù)學(xué)概念的意義和結(jié)構(gòu)
二、概念間的邏輯關(guān)系
第二節(jié) 概念的定義與劃分
一、概念的定義
二、概念的劃分
第三節(jié) 概念的教學(xué)
第二章 命題教學(xué)
第一節(jié) 數(shù)學(xué)命題概述
一、數(shù)學(xué)命題的意義
二、命題的四種基本形式及關(guān)系
第二節(jié) 數(shù)學(xué)命題的教學(xué)
一、注重過程
二、注意變式
三、形成命題體系
四、加強(qiáng)命題應(yīng)用
第三章 推理教學(xué)
第一節(jié) 形式邏輯的基本規(guī)律
一、同一律
二、矛盾律
三、排中律
四、充足理由律
第二節(jié) 數(shù)學(xué)推理
一、推理的結(jié)構(gòu)
二、推理的形式
第四章 數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)
第一節(jié) 數(shù)學(xué)思想方法概述
一、數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)
二、中學(xué)數(shù)學(xué)中的基本數(shù)學(xué)思想方法
第二節(jié) 中學(xué)數(shù)學(xué)基本思想方法教學(xué)原則
一、目標(biāo)性原則
二、滲透性原則
三、層次性原則
四、概括性原則
五、實(shí)踐性原則
第四部分 教學(xué)技能
第一章 教學(xué)設(shè)計(jì)
第一節(jié) 中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)概述
一、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的內(nèi)涵
二、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的意義
第二節(jié) 中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的基本內(nèi)容
一、教材分析
二、學(xué)情分析
三、制定教學(xué)目標(biāo)
四、考慮教學(xué)方法
五、教學(xué)媒體的使用
六、教學(xué)實(shí)施過程分析
七、教學(xué)反思
八、教學(xué)設(shè)計(jì)的撰寫
第二章 教學(xué)實(shí)施
第一節(jié) 中學(xué)課堂導(dǎo)入技能
一、直接導(dǎo)入法
二、復(fù)習(xí)導(dǎo)入法
三、事例導(dǎo)入法
四、趣味導(dǎo)入法
五、懸念導(dǎo)入法
第二節(jié) 中學(xué)課堂語言技能
一、數(shù)學(xué)課堂語言的原則
二、數(shù)學(xué)課堂語言技能結(jié)構(gòu)要素
三、數(shù)學(xué)課堂語言的類型
四、中學(xué)課堂語音技能
五、中學(xué)課堂體態(tài)語言運(yùn)用技能
第三節(jié) 中學(xué)課堂板書技能
一、板書的主要作用
二、板書的類型與要求
第四節(jié) 中學(xué)課堂提問技能
一、課堂提問的原則
二、課堂提問的類型
第五節(jié) 中學(xué)課堂組織管理技能
一、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)組織管理原則
二、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)組織要求
三、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)組織管理方式
第六節(jié) 中學(xué)課堂反饋與強(qiáng)化技能
一、反饋的主要方法
二、強(qiáng)化的基本技能
第三章 教學(xué)評(píng)價(jià)
第一節(jié) 數(shù)學(xué)教學(xué)評(píng)價(jià)概述
一、數(shù)學(xué)教學(xué)評(píng)價(jià)的功能
二、數(shù)學(xué)教學(xué)評(píng)價(jià)的原則
三、數(shù)學(xué)教學(xué)評(píng)價(jià)的類型
四、數(shù)學(xué)教學(xué)評(píng)價(jià)的要素
第二節(jié) 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)評(píng)價(jià)方法
一、觀察法
二、訪談法
三、問卷法
第三節(jié) 學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的方法
一、測(cè)驗(yàn)法
二、觀察法
三、其他方法
四、成長記錄袋
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用戶評(píng)論 (總計(jì)8條)

 
 

  •   相對(duì)來說,中公書的內(nèi)容排版不錯(cuò),但還不夠詳細(xì),需要借助更多的資料。。。但整體還是不錯(cuò)的。。。
  •   很好,數(shù)學(xué)考試專用~
  •   買了三本,有一本里面兩頁破了。。。
  •   感覺作者很用心的編輯了,不過有些大學(xué)的東西全當(dāng)參考
  •   還不錯(cuò)的一本書,知識(shí)點(diǎn)全面,希望對(duì)自己有幫助哦。
  •   知識(shí)點(diǎn)很詳細(xì),就是感覺紙質(zhì)一般,書好輕~~
  •   書有點(diǎn)舊。。。。。。。。。。。。。。
  •     一、極限的定義
      定義1:■ xn = A: ?坌?著 > 0,?堝正整數(shù)N,當(dāng)n > N時(shí),有xn - A< ?著 。
      若xn存在極限(有限數(shù)),又稱xn收斂,否則稱xn發(fā)散。
      定義2:■ f(x) = A: ?坌?著 > 0,?堝正數(shù)X,當(dāng)x > X時(shí),有f(x) - A< ?著 。
      類似可定義:■ f(x) = A, ■ f(x) = A。
      定義3:■ f(x) = A: ?坌?著 > 0,?堝正數(shù)δ,當(dāng)0 < x - x0< δ時(shí),有f(x) - A< ?著 。
      類似可定義f(x) 當(dāng)x → x0時(shí)右極限與左極限:
       f(x0 + 0) = ■ f(x) = A, f(x0 - 0) =■ f(x) = A。
      二、極限的基本性質(zhì)與兩個(gè)重要極限
     ?。ㄒ唬?shù)列極限的基本性質(zhì)
      性質(zhì)1:(極限的不等式性質(zhì)) 設(shè) ■xn = a, ■yn = b,
      若a > b,則?堝N,當(dāng)n > N時(shí),xn > yn; 若n > N時(shí),xn ≥ yn,則a ≥ b。
      性質(zhì)2:(收斂數(shù)列的有界性) 設(shè)xn收斂,則xn有界(即?堝常數(shù)M > 0,xn≤M,n = 1,2,…)。
     ?。ǘ┖瘮?shù)極限的基本性質(zhì)
      性質(zhì)1:(極限的不等式性質(zhì)) 設(shè)■ f(x) = A, ■g(x) = B,
      若A > B,則?堝δ > 0,當(dāng)0 < x - x0 < δ時(shí), f(x) > g(x);
      若f(x) ≥ g(x) (0 < x - x0 < δ),則A≥B。
      【推論】(極限的保號(hào)性) 設(shè) ■f(x)=A,若A > 0 ?圯?堝δ > 0,當(dāng)0 < x - x0< δ時(shí), f(x)>0;若
      f(x) ≥ 0 (0 < x - x0< δ) ?圯 A ≥ 0。
      性質(zhì)2:(存在極限的函數(shù)局部有界性) 設(shè)存在極限■f(x) = A,則f(x)在x0的某空心鄰域
      U0(x0,δ) = x | 0 < x - x■ < δ內(nèi)有界,即?堝δ > 0,M > 0,使得0 < x - x0 < δ時(shí), f(x)≤M。
      (三)兩個(gè)重要極限
      ■■ = 1, ■(1 + ■)x = e (■(1 + x)■ = e, ■■ = 1) (1.1)
      例題1:判斷下列結(jié)論是否正確,并證明你的判斷。
     ?。á瘢┤魓n < yn(n > N),又存在極限■xn = A, ■yn = B,則A < B;
      (Ⅱ)設(shè)f(x)定義在(a,b),又c∈(a,b),并存在極限■f(x) = A,則f(x)在(a,b)有界;
     ?。á螅┤簟鰂(x) = ∞ ,則?堝δ > 0,當(dāng)0 < x - a < δ時(shí),■有界。
      解析:(Ⅰ)不正確。在題設(shè)下只能保證A ≤ B,不能保證A < B。例如,xn = ■,yn = ■,則xn < yn,而■xn = ■yn = 0。
      【注】 對(duì)不等式xn < yn (n > N)兩邊取極限時(shí)(以極限存在為前提),除保持不等號(hào)外還要帶上等號(hào),即 ■xn ≤ ■yn 。
     ?。á颍┎徽_。這時(shí)只能保證:?堝c的一個(gè)空心領(lǐng)域U0(c,δ) = x | 0 < x - c < δ,f(x)在U0(c,δ)有界,不能保證f(x)在(a,b)有界。例如,f(x) = ■,(a,b) = (0,1),取c∈(0,1),則■f(x) = ■,但f(x) = ■在(0,1)無界。
      (Ⅲ)正確。因?yàn)椤鰂(x) = ∞ ?圯 ■■ = 0,由存在極限的函數(shù)的局部有界性?圯?堝δ > 0,當(dāng)0 < x - a < δ時(shí),■有界。
      三、極限存在性的判定
     ?。ㄒ唬A逼定理
     ?。〝?shù)列情形) 若?堝N,當(dāng)n > N時(shí),yn ≤ xn ≤ zn,且有■yn = ■zn = a,則■xn = a。
     ?。ê瘮?shù)情形) 設(shè)?堝δ > 0,0 < x - x0 < δ 時(shí),h(x) ≤ f(x) ≤ g(x),又■h(x) = ■g(x) = A,則 ■f(x) = A 。
      【注】 其他極限過程也有類似的結(jié)論。
     ?。ǘ﹩握{(diào)有界數(shù)列必收斂定理
      若數(shù)列xn單調(diào)遞增有上界,即xn+1 ≥ xn (n = 1,2,…),并存在一個(gè)數(shù)M,使得對(duì)一切的n有xn ≤ M,則xn收斂。 即存在一個(gè)數(shù)a,使得■xn = a 且有xn≤a (n=1,2……)。
      (三)單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系
      ■f(x) = A ?圳 ■f(x) = ■f(x) =A。
      對(duì)于分段函數(shù)f(x) =g(x), x0-δ<x<x0,h(x), x0<x<x0+δ,考察■f(x) 是否存在,就要分別求 ■f(x) = ■h(x) 與 ■f(x) = ■ g(x)。
      例題2:設(shè)f(x)=2(x+1)arctan■,x>0,1, x>0,■, x<0,問a為何值時(shí)■f(x)存在。
      【分析】分別求右、左極限 f(0+0)與 f(0-0),由 f(0+0)= f(0-0),定出a值。
      解析: f(0+0)=■f(x) =■2(x+1)arctan■=2 ■arctan■=π, f(0-0)= ■f(x)=■■·■=1·a·1=a(a≠0), f(0-0)=0(a=0)。
      由f(0+0)= f(0-0),得a=π。因此,僅當(dāng)a=π時(shí),存在■f(x)=π。
      例題3:■(x-1)2e■是( )。
      A.0 B.-∞ C.+∞ D.不存在但不是∞
      【分析】因■et=+∞,■et=0,故要分雖考察左、右極限。由于■(x-1)2e■■■■=+∞,■(x-1)2e■■ ■■=0,因此選D。
      四、求極限的方法
      求極限的方法很多,以下結(jié)合例題介紹幾種常用的、簡單的求極限的方法。
     ?。ㄒ唬├米兞刻鎿Q法與兩個(gè)重要極限
      例題4:求w = ■x2(3■-3■)。
      解析:先改寫成
      w = ■■·3■(3■-1)x(x+1)。
      作變量替換,令t = 3■-1,則x→∞時(shí)t→0且x(x+1)=■,于是
      w = ■■· ■3■· ■■·1n3=1n3。
      例題5:求w = ■(■+2■)x。
      解析:這是1∞型極限,改寫成w = ■2(1+■2■)x ·2■2■=2e。
     ?。ǘ├玫葍r(jià)無窮小因子替換
      若x→a時(shí),無窮小?琢(x)~?琢*(x), β(x)~β*(x),(即 ■■=1, ■■=1),則■■=■■。(等式兩邊其中之一極限存在或?yàn)椤?,則另一也是且相等)。
      例題6:求下列極限:
     ?。?) w = ■■;(2) w = ■■。
      解析:(1)注意x→0時(shí),1-cos(x■)~■x2(1-cosx)~■x4,e■-1~x4,?圯w = ■■=4。
      【注】設(shè)x→a時(shí),α ~β,β~γ ?圯 α~γ(x→a)
     ?。?)因?yàn)椋ā觯?x-1~1n(■)2x-1+1=2xln(1+■)~2x·■~x·(-■x2)=-■x3(x→0),ln(1+2x3)~2x3(x→0),所以w = ■■= ■■=-■。
      (三)利用洛必達(dá)法則
      例題7:求w = ■■。
      解析:先作恒等變形
      w = ■■,然后用等價(jià)無窮小因子替換:x→0時(shí)
      sin3x~x3,ln(1+■)~■~x2-sin2x,
      于是w = ■■= ■■· ■■=2·■■。
      最后用洛必達(dá)法則得
      w = 2■■=■·■=■。
      (四)分別求左右極限的函數(shù)極限
      例題8:求下列極限■ f(x):
       f(x)=■arctan■。
      解析:注意■e■=+∞,■arctan■=■;■e■=0,■arctan■=-■。則■f(x)=■■·■arctan■=1·■=■,■f(x)=■■·■arctan■=(-1)·(-■)=■。因此,■ f(x)=■。
     ?。ㄎ澹├脢A逼法
      用夾逼定理求極限■xn,就是要將數(shù)列xn放大與縮小成:zn≤xn≤yn,要想成功,必須是極限■yn與■zn會(huì)求且相等。
      例題9:求數(shù)列極限:
      (1)■■; (2)設(shè)■xn=2,求■■。
      解析:(1)由于0<■=■≤■■=■·■,又■■·■=0,于是■■=0。
     ?。ǎ玻┯捎冢睢?,故?堝N,當(dāng)n>N時(shí),0<xn<3,于是0<■<■。又■■=0,則■■=0。
      【注】a.類似于題(1)可證■■=0(b為常數(shù))。
      b.求極限的方法還有①利用極限的四則運(yùn)算與冪指數(shù)運(yùn)算法則求極限;②利用函數(shù)的連續(xù)性;③利用定積分求n項(xiàng)和式極限;④利用泰勒公式等,篇幅所限,此處不再講述。
      
      
      ■
      
      一、連續(xù)性概念
      1.若■f(x)=f(x0),稱f(x)在x0連續(xù)。
      2.若■f(x)=f(x0)(■f(x)=f(x0)),稱f(x)在x=x0右(左)連續(xù)。
      3.若f(x)在(a,b)內(nèi)任一點(diǎn)均連續(xù),稱f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)。
      4.若f(x)在(a,b)連續(xù),在x=a右連續(xù),在x=b左連續(xù),稱f(x)在(a,b)上連續(xù)。
      (單雙側(cè)連續(xù)性的關(guān)系)f(x)在x0連續(xù)?圳f(x)在x0既左連續(xù)又右連續(xù)。
      二、函數(shù)連續(xù)性的判斷
      1°若是初等函數(shù),則在它的定義域區(qū)間上處處連續(xù)。
      2°用連續(xù)性運(yùn)算法則。
      3°分別判斷左右連續(xù)性或按定義來判斷。
      (連續(xù)性運(yùn)算法則)
     ?。?)(連續(xù)性的四則運(yùn)算法則)設(shè)f(x), g(x)在x0連續(xù),則f(x)± g(x),f(x)· g(x),f(x)/ g(x)(g(x0)≠0)在x0也連續(xù)。
      (2)(復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)u=?漬(x)在x=x0連續(xù),y=f(u)在u=u0(u0=?漬(x0))連續(xù),則f(?漬(x))在x=x0連續(xù)。
     ?。?)(反函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)y=f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)且連續(xù),則反函數(shù)x=?漬(y)也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間Iy=y∣y=f(x),x∈Ix上連續(xù)且有相同的單調(diào)性。
      【注】若按定義判斷連續(xù)性或間斷點(diǎn)類型,則是求極限問題。
      例題10:
      設(shè)f(x)=■■,
     ?。á瘢┤簦妫ǎ┨幪庍B續(xù),求a,b值;
     ?。á颍┤簦ǎ?,b)不是求出的值時(shí), f(x)有何間斷點(diǎn),并指出它的類型。
      【分析與求解】(Ⅰ)首先求出f(x),注意到
      ■x2n=∞, x>1,1, x=1,0, x<1, 要分段求出f(x)。
      當(dāng)x>1時(shí), f(x)=■■=■;
      當(dāng)x<1時(shí), f(x)=■■=ax2+bx。
      于是得f(x)=■, x>1,■(a+b+1), x=1,■(a-b-1), x=-1,ax2+bx, x<1。
      其次,由初等函數(shù)的連續(xù)性,當(dāng)x>1,x<1時(shí)f(x)分別與初等函數(shù)相等,故連續(xù)。最后,只須考察分段函數(shù)的連接點(diǎn)x=±1處的連續(xù)性,這就要按定義考察連續(xù)性,分別計(jì)算
      ■f(x)=■■=1, ■f(x)=■(ax2+bx)=a+b,
      ■f(x)=■(ax2+bx)=a-b, ■f(x)=■■=-1;
     ?。妫ǎ┰趚=1連續(xù)?圳f(1+0)=f(1-0)=f(1)?圳a+b=1=■(a+b+1)
       ?圳a+b=1;
     ?。妫ǎ┰趚=-1連續(xù)?圳f(-1+0)=f(-1-0)=f(-1)?圳a-b=-1=■(a-b-1)
       ?圳a-b=-1。
      因此f(x)在x=±1均連續(xù)?圳a+b=1a-b=-1?圳a=0,b=1。僅當(dāng)a=0,b=1時(shí)f(x)處處連續(xù)。
      
     ?。á颍┊?dāng)(a,b)≠(0,1)時(shí),若a+b=1(則a-b≠-1),則x=1是連續(xù)點(diǎn),只有x=-1是第一類間斷點(diǎn);若a-b=-1(則a+b≠1),則x=-1是連續(xù)點(diǎn),只有間斷點(diǎn)x=1,且是第一類間斷點(diǎn);若a-b≠-1且a+b≠1,則x=1,x=-1均是第一類間斷點(diǎn)。
      三、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
      性質(zhì)1:設(shè)f(x)在x=x0連續(xù), f(x0)>0,則?堝δ>0,當(dāng)x-x0<δ時(shí), f(x0)>0。
      性質(zhì)2:(連續(xù)函數(shù)介值定理(中間值定理))設(shè)f(x)在a,b上連續(xù), f(a)≠ f(b),則對(duì) f(a)與 f(b)之間的任何數(shù)η,則必定?堝c(a<c<b),使得f(c)=η。
      設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),又 f(a)與 f(b)異號(hào),則?堝c∈(a,b),使得f(c)=0(c稱為f(x)的零點(diǎn))。
      性質(zhì)3:(有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性)設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),則f(x)在a,b有界,即存在常數(shù)M>0,對(duì)任意x∈a,b,使得f(x)≤M。
      性質(zhì)4:(有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)存在最大、最小值)設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),則在a,b上必存在x1,x2,使得
      f(x1)=■ f(x) (即?坌x∈a,b, f(x)≤f(x1)),
     ?。妫ǎ?)=■ f(x) (即?坌x∈a,b, f(x)≥f(x2))。
      
      
      ■
      
      一、導(dǎo)數(shù)的概念
      1.導(dǎo)數(shù)(導(dǎo)函數(shù)的簡稱)的定義:設(shè)x0是函數(shù)y= f(x)定義域內(nèi)的一點(diǎn),如果自變量x在x0處有增量Δx,則函數(shù)值y也引起相應(yīng)的增量Δy= f(x0+Δx)-f(x0);比值■=■稱為函數(shù)y= f(x)在點(diǎn)x0到x0+Δx之間的平均變化率;如果極限■■=■■存在,則稱函數(shù)y= f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),并把這個(gè)極限叫做y= f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù),記作f ′(x0)或y′■,即f ′(x0)=■■=■■。
      【注】①Δx是增量,我們也稱為“改變量”,因?yàn)棣ぃ烧?,可?fù),但不為零。
      ②已知函數(shù)y= f(x)定義域?yàn)椋?,y?f ′(x)的定義域?yàn)椋?,則A與B關(guān)系為A?勐B。
      2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:
      函數(shù)y= f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y= f(x)在點(diǎn)(x0, f(x0))處的切線的斜率。也就是說,曲線y= f(x)在點(diǎn)(x0, f(x0))處的切線的斜率是f ′(x0),切線方程為y- f(x0)= f ′(x0)(x-x0)。
      例題11:已知函數(shù)f(x)=■(x2+1)(x≤1),■(x+1)(x>1),判斷f(x)在x=1處是否可導(dǎo)?
      解析:分段函數(shù)在“分界點(diǎn)”處的導(dǎo)數(shù),須根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義來判斷是否可導(dǎo)。
      ■■=■■=1,
      ■■=■■=■,
      故f(x)在x=1處不可導(dǎo)。
      【點(diǎn)評(píng)】函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),是一個(gè)極限值,即■■,Δx→0,包括Δx→0+與Δx→0-,因此,在判定分段函數(shù)在“分界點(diǎn)”處的導(dǎo)數(shù)是否存在時(shí),要驗(yàn)證其左、右極限是否存在且相等,如果都存在且相等,才能判定分界點(diǎn)存在導(dǎo)數(shù),否則不存在導(dǎo)數(shù)。
      二、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
      1.可導(dǎo)函數(shù)的極值
     ?。ǎ保O值的概念
      設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義,且若對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)都有f(x)< f(x0)(或f(x)> f(x0)),則稱f(x0)為函數(shù)f(x)的一個(gè)極大(小)值,稱x0為極大(?。┲迭c(diǎn)。
     ?。ǎ玻┣罂蓪?dǎo)函數(shù)f(x)極值的步驟:
     ?、偾髮?dǎo)數(shù)f ′(x);
     ?、谇蠓匠蹋? ′(x)=0的根;
     ?、蹤z驗(yàn)f ′(x)在方程f ′(x)=0的根的左右的符號(hào),如果在根的左側(cè)附近為正,右側(cè)附近為負(fù),那么函數(shù)y= f(x)在這個(gè)根處取得極大值;如果在根的右側(cè)附近為正,左側(cè)附近為負(fù),那么函數(shù)y= f(x)在這個(gè)根處取得極小值。
     ?。玻瘮?shù)的最大值和最小值
      (1)設(shè)y= f(x)是定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù),y= f(x)在(a,b)內(nèi)有導(dǎo)數(shù),求函數(shù)y= f(x)在[a,b]上的最大值與最小值,可分兩步進(jìn)行:
     ?、偾螅?f(x)在(a,b)內(nèi)的極值;
     ?、趯ⅲ?f(x)在各極值點(diǎn)的極值與f(a)、 f(b)比較,其中最大的一個(gè)為最大值,最小的一個(gè)為最小值。
      (2)若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增,則f(a)為函數(shù)的最小值, f(b)為函數(shù)的最大值;若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減,則f(a)為函數(shù)的最大值, f(b)為函數(shù)的最小值。
      例題12:設(shè)工廠A到鐵路線的垂直距離為20km,垂足為B。鐵路線上距離B為100km處有一原料供應(yīng)站C,現(xiàn)要在鐵路BC之間某處D修建一個(gè)原料中轉(zhuǎn)車站,再由車站D向工廠A修一條公路。如果已知每千米的鐵路運(yùn)費(fèi)與公路運(yùn)費(fèi)之比為3∶5,那么D應(yīng)選在何處,才能使原料供應(yīng)站C運(yùn)貨到工廠A所需運(yùn)費(fèi)最?。?br />   解析:設(shè)BD之間的距離為xkm,則|AD|=■,|CD|=100-x。如果公路運(yùn)費(fèi)為a元/km,那么鐵路運(yùn)費(fèi)為■元/km。故從原料供應(yīng)站C途經(jīng)中轉(zhuǎn)站D到工廠A所需總運(yùn)費(fèi)y為:y=■(100-x)+a■,(0≤x≤100)。對(duì)該式求導(dǎo)得,y′=■+■=■,令y′=0,即得25x2=9(x2+400),解得x1=15,x2=-15(不符合實(shí)際意義,舍去)。且x1=15是函數(shù)y在定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn),所以x1=15是函數(shù)y的極小值點(diǎn),而且也是函數(shù)y的最小值點(diǎn)。由此可知,車站D建于B,C之間并且與B相距15km處時(shí),運(yùn)費(fèi)最省。
      【點(diǎn)評(píng)】這是一道實(shí)際生活中的優(yōu)化問題,建立的目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)復(fù)合函數(shù),用過去的知識(shí)求其最值往往沒有一般方法,即使能求出,也要涉及到較高的技能技巧。而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí),求復(fù)合函數(shù)的最值就變得非常簡單。一般情況下,對(duì)于實(shí)際生活中的優(yōu)化問題,如果其目標(biāo)函數(shù)為高次多項(xiàng)式函數(shù)、簡單的分式函數(shù)、簡單的無理函數(shù)、簡單的指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù),或它們的復(fù)合函數(shù),均可用導(dǎo)數(shù)法求其最值。由此也可見,導(dǎo)數(shù)的引入,大大拓寬了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際優(yōu)化問題中的應(yīng)用空間。
      三、不定積分
     ?。ㄒ唬┗靖拍?br />   定義1 如果在區(qū)間I上,可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),即對(duì)任一x∈I,都有
      F′(x)= f(x)或dF(x)=f(x)dx
      那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù)。
      例如:因?yàn)椋ǎ螅椋睿洌剑悖铮螅?,所以sinx是cosx的原函?shù);又如當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),因?yàn)椋ā觯洌健?,所以■是■的原函?shù)。
      原函數(shù)存在定理 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)F(x),使對(duì)任一x∈I,都有
     ?。啤洌ǎ?f(x)
      簡單地說,連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。
      兩點(diǎn)說明
      第一,如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù)F(x),那么f(x)就有無限多個(gè)原函數(shù)F(x)+C都是f(x)的原函數(shù),其中C是任意常數(shù);
      第二, f(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)之間只差一個(gè)常數(shù),即如果Φ(x)和F(x)都是f(x)的原函數(shù),則Φ(x)-F(x)=C(C為某個(gè)常數(shù))。
      定義2 在區(qū)間I上,函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的不定積分,記作
      ■f(x)dx
      其中記號(hào)■稱為積分號(hào), f(x)稱為被積函數(shù), f(x)dx稱為被積表達(dá)式,x稱為積分變量,根據(jù)定義,如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù),那么F(x)+C就是f(x)的不定積分,即
      ■f(x)dx=F(x)+C
      因而不定積分■f(x)dx可以表示f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)。
      積分曲線 函數(shù)f(x)的原函數(shù)的圖形稱為f(x)的積分曲線。
      從不定積分的定義,即可知下述關(guān)系
      ■[■f(x)dx]=f(x) 或 d[■f(x)dx]=f(x)dx
      又由于F(x)是F′(x)的原函數(shù),所以■F′(x)dx=F(x)+C或記作■dF(x)=F(x)+C。
      由此可見,微分運(yùn)算(以記號(hào)d表示)與求不定積分的運(yùn)算(簡稱積分運(yùn)算,以記號(hào)■表示)是互逆的,當(dāng)記號(hào)■與d 連在一起時(shí),或者抵消,或者抵消后差一個(gè)常數(shù)。
     ?。ǘ┏S貌欢ǚe分
      (1)■kdx=kx+C(k是常數(shù)) (2)■xμdx=■xμ+1+C(μ是常數(shù),且μ≠-1)
     ?。ǎ常觥觯洌剑欤睿? (4)■exdx=ex+C
     ?。ǎ担觯幔洌健觯茫ǎ幔?,且a≠1) (6)■cosxdx=sinx+C
     ?。ǎ罚觯螅椋睿洌剑悖铮螅? (8)■■dx=■sec2xdx=tanx+C
     ?。ǎ梗觥觯洌健觯悖螅悖玻洌剑悖铮簦? (10)■■dx=arctanx+C
      (11)■■dx=arcsinx+C (12)■secxtanxdx=secx+C
     ?。ǎ保常?■cscxcotxdx=-cscx+C
      
      四、定積分
     ?。ㄒ唬┗靖拍?br />   定義:設(shè)f(x)是定義在[a,b]上的函數(shù),在(a,b)中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)(這里插入n-1個(gè))a=x1<x2<……<xn-1<xn=b來劃分區(qū)間[a,b],這一分法記為Δ,在每一個(gè)部分區(qū)間[xi-1,xi]中任取一點(diǎn)ξi作和式σ=■f(ξi)Δxi,其中Δxi=xi-xi-1,設(shè)λ為Δxi(i=1,2,…,n)中的最大數(shù),即λ=■{Δxi},當(dāng)λ→0時(shí),如果和式的極限存在,且此極限值不依賴于ξi的選擇,也不依賴于[a,b]的分法,就稱此極限值為f(x)在[a,b]上的定積分。
      幾何意義:■f(x)dx表示由曲線y=f(x)及直線x=a,x=b,y=0所圍成的曲邊梯形的面積。在x軸(y=0)上方的面積取正值,在x軸(y=0)下方的面積取負(fù)值。
     ?。ǘ┗拘再|(zhì)
      兩點(diǎn)規(guī)定:
      (1)當(dāng)a=b時(shí),■f(x)dx=0;
      (2)當(dāng)a>b時(shí),■f(x)dx=-■f(x)dx。
      性質(zhì)1 函數(shù)的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差),即
      ■[ f(x)±g(x)]dx=■f(x)dx±■g(x)dx
      證明:■[ f(x)±g(x)]dx=■■[ f(ξi)±g(ξi)]Δxi(其中λ=max{Δxi},i=1,2,……,n)
      =■■f(ξi)Δxi±■■g(ξi)Δxi
     ?。健觯妫ǎ洌馈觯纾ǎ洌?br />   性質(zhì)2 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面,即■kf(x)dx=k■f(x)dx。
      這是因?yàn)椤觯耄妫ǎ洌健觥觯耄妫é危椋│ぃ椋剑搿觥觯妫é危椋│ぃ椋剑搿觯妫ǎ洌?br />   性質(zhì)3 如果將積分區(qū)間分成兩部分,則在整個(gè)區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和,即■f(x)dx=■f(x)dx+■f(x)dx。
      這個(gè)性質(zhì)表明定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性,值得注意的是,不論a,b,c的相對(duì)位置如何,總有等式:■f(x)dx=■f(x)dx+■f(x)dx成立。例如當(dāng)a<b<c時(shí),由于■f(x)dx=■f(x)dx+■f(x)dx,于是有■f(x)dx=■f(x)dx-■f(x)dx=■f(x)dx+■f(x)dx。
      性質(zhì)4 如果在區(qū)間[a,b]上f(x)=1,則■f(x)dx=■1dx=b-a。
      性質(zhì)5 如果在區(qū)間[a,b]上 f(x)≥0,則■f(x)dx≥0(a<b)。
      推論1 如果在區(qū)間[a,b]上 f(x)≤g(x),則■f(x)dx≤■g(x)dx(a<b)。
      這是因?yàn)椋纾ǎ妫ǎ荩?,從而■g(x)dx-■f(x)dx=■[g(x)-f(x)]dx≥0,所以■f(x)dx≤■g(x)dx?br />   推論2 |■f(x)dx|≤■| f(x)|dx(a<b)。
      這是因?yàn)椋?f(x)|≤f(x)≤| f(x)|,所以-■| f(x)|dx≤■f(x)dx≤■| f(x)|dx,即 |■f(x)dx|≤■| f(x)|dx。
      性質(zhì)6 設(shè)M 及m 分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值及最小值,則
      m(b-a)≤■f(x)dx≤M(b-a)(a<b)。
      證明:因?yàn)椋怼埽妫ǎ埽?,所以■mdx≤■f(x)dx≤■Mdx,從而m(b-a)≤■f(x)dx≤M(b-a)?br />   性質(zhì)7(定積分中值定理) 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ,使下式成立:■f(x)dx= f(ξ)(b-a),這個(gè)公式叫做積分中值公式。
      證明:由性質(zhì)6可得,m(b-a)≤■f(x)dx≤M(b-a),各項(xiàng)除以b-a得m≤■■f(x)dx≤M,再由連續(xù)函數(shù)的介值定理,在[a,b]上至少存在一點(diǎn)ξ,使f(ξ)=■■f(x)dx,于是兩端乘以b-a得中值公式■f(x)dx=f(ξ)(b-a)。
      【注】不論a<b還是a>b,積分中值公式都成立。
      五、定積分與不定積分的計(jì)算
      例題13:計(jì)算積分■x2■dx。
      解析:■x2■dx=■x■dx=■x■+C=■x■+C=■x3■+C。
      例題14:計(jì)算積分■■。
      解析:■■=■x■dx=■+C=-3x■+C=-■+C。
      例題15:計(jì)算積分■■(x2-5)dx。
      解析:■■(x2-5)dx=■(x■-5x■)dx
     ?。健觯觯洌觯担觯洌健觯觯洌怠觯觯洌?br />  ?。健觯觯怠ぁ觯觯?。
      例題16:計(jì)算積分■■dx。
      解析:■■dx=■■dx=■(x-3+■-■)dx
      =■xdx-3■dx+3■■dx-■■dx=■x2-3x+3ln|x|+■+C。
      例題17:計(jì)算積分■(ex-3cosx)dx。
      解析:■(ex-3cosx)dx=■exdx-3■cosxdx=ex-3sinx+C。
      例題18:計(jì)算積分■tan2xdx。
      解析:■tan2xdx=■(sec2x-1)dx=■sec2xdx-■dx=tanx-x+C。
      例題19:計(jì)算(1)■x2dx; (2)■■dx。
      解析:(1)■x2dx=■■■=■-■=■;
      (2)■■dx=[ln|x|]■■=ln4-ln2=ln■=ln2。
      例題20:計(jì)算(1)■x+■■dx; (2)■■。
      解析:(1)■x+■■dx=■x2+2+■dx=■+2x-■■■=■;
     ?。ǎ玻觥觯健觥觯觥觯洌剑觯幔颍悖簦幔睿觥觯健觯觯幔颍悖簦幔睿?。
      
 

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