傅立葉分析導論

前言

　　本套叢書是數(shù)學大師給本科生寫的分析學系列教材。第一作者E.M.Stein是調和分析大師（1999年Wolf獎獲得者），也是一位卓越的教師。他的學生，和學生的學生，加起來超過兩百多人，其中有兩位已經(jīng)獲得過Fields獎，2006年Fields獎的獲獎者之一即為他的學生陶哲軒?！　∵@本教材在Princeton大學使用，同時在其它學校，比如UCLA等名校也在本科生教學中得到使用。其教學目的是，用統(tǒng)一的、聯(lián)系的觀點來把現(xiàn)代分析的“核心”內容教給本科生，力圖使本科生的分析學課程能接上現(xiàn)代數(shù)學研究的脈絡。共四本書，順序是：　　I．傅立葉分析　　II．復分析　　III．實分析　　IV．泛函分析　　這些課程僅僅假定讀者讀過大一微積分和線性代數(shù)，所以可看作是本科生高年級（大二到大三共四個學期）的必修課程，每學期一門?！　》浅Ｖ档米⒁獾氖?，作者把傅立葉分析作為學完大一微積分后的第一門高級分析課。同時，在后續(xù)課程中，螺旋式上升，將其貫穿下去。我本人是極為贊同這種做法的，一者，現(xiàn)代數(shù)學中傅立葉分析無處不在，既在純數(shù)學，如數(shù)論的各個方面都有深入的應用，又在應用數(shù)學中是絕對的基礎工具。二者，傅立葉分析不光有用，其本身的內容，可以說，就能夠把數(shù)學中的幾大主要思想都體現(xiàn)出來。這樣，學生們先學這門課，對數(shù)學就能有鮮活的了解，既知道它的用處，又能夠“連續(xù)”地欣賞到數(shù)學中的各種大思想、大美妙。接著，是學同樣具有深刻應用和理論優(yōu)美性于一體的復分析。學完這兩門課，學生已經(jīng)有了相當多的例子和感覺，既懂得其用又懂得其妙。這樣，再學后面比較抽象的實分析和泛函分析時，就自然得多、動機充分得多?！　∵@種教法，國內還很欠缺，也缺乏相應的教材。這主要是因為我們的教育體制還存在一些問題，比如數(shù)學系研究生入學考試，以往最關鍵的是初試，但初試只考數(shù)學分析和高等代數(shù)，也就是本科生低年級的課程。長此以往，中國的大多數(shù)本科生，只用功在這兩門低年級課程上，而在高年級后續(xù)課程，以及現(xiàn)代數(shù)學的眼界上有很大的欠缺。這樣，導致他們在研究生階段后勁不足，需要補的東西過多，而疲于奔命?！　∧敲矗瑸閺浹a這種不足，國內的教材顯然是不夠的。列舉幾個原因如下：　　1．比如復變函數(shù)這門課，即使國內最好的本科教材，其覆蓋的主要內容也僅是這套書中《復分析》的1／3，也就是前一百頁。其后面的內容，我們很多研究生也未必學到，但那些知識，在以后做數(shù)學研究時，卻往往用到?！　?．國內的教材，往往只教授其知識本身，對這個知識的來龍去脈，后續(xù)應用，均有很大的欠缺。比如實變函數(shù)（實分析），為什么要學這么抽象的東西呢，從書本上是不太能看到的，但是Stein卻以Fourier分析為線索，將這些知識串起來，說明了其中的因果。　　因此在目前情況下，這種大學數(shù)學教育有很大的欠缺。尤其是有些偏遠學校的本科生，他們可能很用功，已經(jīng)很好地掌握了數(shù)學分析、高等代數(shù)這兩門低年級課程，研究生初試成績很高。但對于高年級課程掌握不夠，有些甚至未學過，所以在入學考試的第二階段——面試過程中，就捉襟見肘，顯露出不足。所以，最近幾年，各高校亦開始重視研究生考試的面試階段。那些知識面和理解度不夠的同學，往往會在面試時被刷下來。如果他們能夠讀完Stein這套本科生教材，相信他們的知識面足以在分析學領域，應付得了國內任何一所高校的研究生面試，也會更加明白，學了數(shù)學以后，要干什么，怎么樣去干。　　本套叢書由世界圖書出版公司北京公司引進出版。影印版的發(fā)行，將使得這些本科生有可能買得起這套叢書，形成討論班，互相研討，琢磨清楚。這對大學數(shù)學教育質量的提升，乃至對中國數(shù)學研究梯隊的壯大，都將是非常有益的。

內容概要

　　《傅里葉分析導論》由在國際上享有盛譽普林斯大林頓大學教授Stein撰寫而成，是一部傅立葉分析的入門教材，理論與實踐并重，為了便于非數(shù)專業(yè)的學生學習，全書內容簡明、易懂.全書分為三部分，第一部分介紹傅立葉級數(shù)的基本理論及其在等周不等式和等分布中的應用；第二部分研究傅立葉變換及其在經(jīng)典偏微分方程及Radom變換中的應用；第三部分研究有限阿貝爾群上的傅立葉分析。書中各章均有練習題及思考題。目次：傅立葉積分的起源；傅立葉級數(shù)和基本性質；傅立葉級數(shù)的收斂性；傅立葉積分的應用；IR上的傅立葉變換；IRd上的傅立葉變換；有限傅里葉分析；Dirichlet定理。

作者簡介

作者：（美國）斯坦恩（Elias M.Stein） （美國）Rami Shakarchi

書籍目錄

foreword
preface
chapter 1. the genesis of fourier analysis
1 the vibrating string
1.1 derivation of the wave equation
1.2 solution to the wave equation
1.3 example： the plucked string
2 the heat equation
2.1 derivation of the heat equation
2.2 steady-state heat equation in the disc
3 exercises
4 problem
chapter 2. basic properties of fourier series
1 examples and formulation of the problem
1.1 main definitions and some examples
2 uniqueness of fourier series
3 convolutions
4 good kernels
5 cesaro and abel summability： applications to fourier
series
.5.1 cesaro means and snmmation
5.2 fejer's theorem
5.3 abel means and s-ruination
5.4 the poisson kernel and dirichlet's problem in the unit
disc
6 exercises
7 problems
chapter 3. convergence of fourier series
1 mean-square convergence of fourier series
1.1 vector spaces and inner products
1.2 proof of mean-square convergence
2 return to pointwise convergence
2.1 a local result
2.2 a continuous function with diverging fourier
series
3 exercises
4 problems
chapter 4. some applications of fourier series
1 the isoperimetric inequality
2 weyl's equidistribution theorem
3 a continuous but nowhere differentiable function
4 the heat equation on the circle
5 exercises
6 problems
chapter 5. the fourier transform on r
1 elementary theory of the fourier transform
1.1 integration of functions on the real line
1.2 definition of the fourier transform
1.3 the schwartz space
1.4 the fourier transform on 3
1.5 the fourier inversion
1.6 the plancherel formula
1.7 extension to functions of moderate decrease
1.8 the weierstrass approximation theorem
2 applications to some partial differential equations
2.1 the time-dependent heat equation on the real line
2.2 the steady-state heat equation in the upper
half-plane
3 the poisson summation formula
3.1 theta and zeta functions
3.2 heat kernels
3.3 poisson kernels
4 the heisenberg uncertainty principle
5 exercises
6 problems
chapter 6. the fourier transform on ra
1 preliminaries
1.1 symmetries
1.2 integration on ra
2 elementary theory of the fourier transform
3 the wave equation in rd ×r
3.1 solution in terms of fourier transforms
3.2 the wave equation in r3× r
3.3 the wave equation in r2 × r： descent
4 radial symmetry and bessel functions
5 the radon transform and some of its applications
5.1 the x-ray transform in r2
5.2 the radon transform in r3
5.3 a note about plane waves
6 exercises
7 problems
chapter 7. finite fourier analysis
1 fourier analysis on z（n）
1.1 the group z（n）
1.2 fourier inversion theorem and plancherel identity on
z（n）
1.3 the fast fourier transform
2 fourier analysis on finite abelian groups
2.1 abelian groups
2.2 characters
2.3 the orthogonality relations
2.4 characters as a total family
2.5 fourier inversion and plancherel formula
3 exercises
4 problems
chapter 8. dirichlet's theorem
1 a little elementary number theory
1.1 the fundamental theorem of arithmetic
1.2 the infinitude of primes
2 dirichlet's theorem
2.1 fourier analysis， dirichlet characters， and reduc-tion of
the theorem
2.2 dirichlet l-functions
3 proof of the theorem
3.1 logarithms
3.2 l-functions
3.3 non-vanishing of the l-function
4 exercises
5 problems
appendix： integration
1 definition of the riemann integral
1.1 basic properties
1.2 sets of measure zero and discontinuities of inte-grable
functions
2 multiple integrals
2.1 the riemann integral in rd
2.2 repeated integrals
2.3 the change of variables formula
2.4 spherical coordinates
3 improper integrals. integration over rd
3.1 integration of functions of moderate decrease
3.2 repeated integrals
3.3 spherical coordinates
notes and references
bibliography
symbol glossary

章節(jié)摘錄

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編輯推薦

《傅立葉分析導論(英文版)》由在國際上享有盛譽普林斯大林頓大學教授斯坦恩撰寫而成，是一部傅立葉分析的入門教材，理論與實踐并重，為了便于非數(shù)專業(yè)的學生學習。

圖書封面

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無

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