復分析

前言

　　本套叢書是數(shù)學大師給本科生寫的分析學系列教材。第一作者K．MStein是調(diào)和分析大師（1999年Wolf獎獲得者），也是一位卓越的教師。他的學生，和學生的學生，加起來超過兩百多人，其中有兩位已經(jīng)獲得過Fields獎，2006年Fields獎的獲獎者之一即為他的學生陶哲軒。　　這本教材在Princeton大學使用，同時在其它學校，比如UCLA等名校也在本科生教學中得到使用。其教學目的是，用統(tǒng)一的、聯(lián)系的觀點來把現(xiàn)代分析的“核心”內(nèi)容教給本科生，力圖使本科生的分析學課程能接上現(xiàn)代數(shù)學研究的脈絡(luò)。共四本書，順序是：　　I．傅立葉分析　　II．復分析　　III．實分析　　IV．泛函分析　　這些課程僅僅假定讀者讀過大一微積分和線性代數(shù)，所以可看作是本科生高年級（大二到大三共四個學期）的必修課程，每學期一門?！　》浅Ｖ档米⒁獾氖牵髡甙迅盗⑷~分析作為學完大一微積分后的第一門高級分析課。同時，在后續(xù)課程中，螺旋式上升，將其貫穿下去。我本人是極為贊同這種做法的，一者，現(xiàn)代數(shù)學中傅立葉分析無處不在，既在純數(shù)學，如數(shù)論的各個方面都有深入的應用，又在應用數(shù)學中是絕對的基礎(chǔ)工具。二者，傅立葉分析不光有用，其本身的內(nèi)容，可以說，就能夠把數(shù)學中的幾大主要思想都體現(xiàn)出來。這樣，學生們先學這門課，對數(shù)學就能有鮮活的了解，既知道它的用處，又能夠“連續(xù)”地欣賞到數(shù)學中的各種大思想、大美妙。接著，是學同樣具有深刻應用和理論優(yōu)美性于一體的復分析。學完這兩門課，學生已經(jīng)有了相當多的例子和感覺，既懂得其用又懂得其妙。這樣，再學后面比較抽象的實分析和泛函分析時，就自然得多、動機充分得多?！　∵@種教法，國內(nèi)還很欠缺，也缺乏相應的教材。這主要是因為我們的教育體制還存在一些問題，比如數(shù)學系研究生入學考試，以往最關(guān)鍵的是初試，但初試只考數(shù)學分析和高等代數(shù)，也就是本科生低年級的課程。長此以往，中國的大多數(shù)本科生，只用功在這兩門低年級課程上，而在高年級后續(xù)課程，以及現(xiàn)代數(shù)學的眼界上有很大的欠缺。這樣，導致他們在研究生階段后勁不足，需要補的東西過多，而疲于奔命?！　∧敲矗瑸閺浹a這種不足，國內(nèi)的教材顯然是不夠的。列舉幾個原因如下：　　1．比如復變函數(shù)這門課，即使國內(nèi)最好的本科教材，其覆蓋的主要內(nèi)容也僅是這套書中《復分析》的1／3，也就是前一百頁。其后面的內(nèi)容，我們很多研究生也未必學到，但那些知識，在以后做數(shù)學研究時，卻往往用到?！　?．國內(nèi)的教材，往往只教授其知識本身，對這個知識的來龍去脈，后續(xù)應用，均有很大的欠缺。比如實變函數(shù)（實分析），為什么要學這么抽象的東西呢，從書本上是不太能看到的，但是Stein卻以Fourier分析為線索，將這些知識串起來，說明了其中的因果?！　∫虼嗽谀壳扒闆r下，這種大學數(shù)學教育有很大的欠缺。尤其是有些偏遠學校的本科生，他們可能很用功，已經(jīng)很好地掌握了數(shù)學分析、高等代數(shù)這兩門低年級課程，研究生初試成績很高。但對于高年級課程掌握不夠，有些甚至未學過，所以在入學考試的第二階段——面試過程中，就捉襟見肘，顯露出不足。所以，最近幾年，各高校亦開始重視研究生考試的面試階段。那些知識面和理解度不夠的同學，往往會在面試時被刷下來。如果他們能夠讀完Stein這套本科生教材，相信他們的知識面足以在分析學領(lǐng)域，應付得了國內(nèi)任何一所高校的研究生面試，也會更加明白，學了數(shù)學以后，要干什么，怎么樣去干。　　本套叢書由世界圖書出版公司北京公司引進出版。影印版的發(fā)行，將使得這些本科生有可能買得起這套叢書，形成討論班，互相研討，琢磨清楚。這對大學數(shù)學教育質(zhì)量的提升，乃至對中國數(shù)學研究梯隊的壯大，都將是非常有益的。

內(nèi)容概要

Elias M.Stein、Rami
Shakarchi所著的《復分析》由在國際上享有盛譽普林斯大林頓大學教授Stein等撰寫而成，是一部為數(shù)學及相關(guān)專業(yè)大學二年級和三年級學生編寫的教材，理論與實踐并重。為了便于非數(shù)學專業(yè)的學生學習，全書內(nèi)容簡明、易懂,讀者只需掌握微積分和線性代數(shù)知識。與本書相配套的教材《傅立葉分析導論》和《實分析》也已影印出版。本書已被哈佛大學和加利福尼亞理工學院選為教材。

作者簡介

作者：（美國）斯坦恩（Elias M.Stein） （美國）Rami Shakarchi

書籍目錄

Foreword
Introduction
Chapter  1. Preliminaries to Complex Analysis
  1  Complex numbe and the complex plane
    1.1  Basic properties
    1.2  Convergence
    1.3  Sets in the complex plane
  2  Functio on the complex plane
    2.1  Continuous functio
    2.2  Holomorphic functio
    2.3  Power series
  3  Integration along curves
  4  Exercises
Chapter  2. Cauchy's Theorem and Its Applicatio
  1  Gouat's theorem
  2  Local existence of primitives and Cauchy's theorem in a disc
  3  Evaluation of some integrals
  4  Cauchy's integral formulas
  5  Further applicatio
    5.1  Morera's theorem
    5.2  Sequences of holomorphic functio
    5.3  Holomorphic functio defined in terms of integrals
    5.4  Schwarz reflection principle
    5.5  Runge's approximation theorem
  6  Exercises
  7  Problems
Chapter  3. Meromorphic Functio and the Logarithm
  1  Zeros and poles
  2  The residue formula
    2.1  Examples
  3  Singularities and meromorphic functio
  4  The argument principle and applicatio
  5  Homotopies and simply connected domai
  6  The complex logarithm
  7  Fourier series and harmonic functio
  8  Exercises
  9  Problems
Chapter  4. The Fourier Traform
  1  The class ξ
  2  Action of the Fourier traform on ξ
  3  Paley-Wiener theorem
  4  Exercises
  5  Problems
Chapter  5. Entire Functio
  1  Jeen's formula
  2  Functio of finite order
  3  Infinite products
    3.1  Generalities
    3.2  Example: the product formula for the sine function
  4  Weietrass infinite products
  5  Hadamard's factorization theorem
  6  Exercises
  7  Problems
Chapter  6. The Gamma and Zeta Functio
  1  The gamma function
    1.1  Analytic continuation
    1.2  Further properties of τ
  2  The zeta function
    2.1  Functional equation and analytic continuation
  3  Exercises
  4  Problems
Chapter  7. The Zeta Function and Prime Number Theorem
  1  Zeros of the zeta function
    1.1 Estimates for 1/ζ(s)
  2  Reduction to the functio ψ and ψ1
    2.1  Proof of the asymptotics for ψ1
  Note on interchanging double sums
  3  Exercises
  4  Problems
  Chapter 8. Conformal Mappings
  1  Conformal equivalence and examples
    1.1  The disc and Upper half-plane
    1.2  Further examples
    1.3  The Dirichlet problem in a strip
  2  The Schwarz lemma; automorphisms of the disc and upper
half-plane
    2.1  Automorphisms of the disc
    2.2  Automorphisms of the upper half-plane
  3  The Riemann mapping theorem
    3.1  Necessary conditio and statement of the theorem
    3.2  Montel's theorem
    3.3  Proof of the Riemann mapping theorem
  4  Conformal mappings onto polygo
    4.1  Some examples
    4.2  The Schwarz-Christoffel integral
    4.3  Boundary behavior
    4.4  The mapping formula
    4.5  Return to elliptic integrals
  5  Exercises
  6  Problems
  Chapter 9. An Introduction to Elliptic Functio
  1  Elliptic functio
    1.1  Liouville's theorems
    1.2  The Weietrass p function
  2  The modular character of elliptic functio and Eisetein series
    2.1  Eisetein series
    2.2  Eisetein series and divisor functio
  3  Exercises
  4  Problems
  Chapter 10. Applicatio of Theta Functio
  1  Product formula for the Jacobi theta function
    1.1  Further traformation laws 
  2  Generating functio
  3  The theorems about sums of squares
    3.1  The two-squares theorem
    3.2  The four-squares theorem
  4  Exercises
  5  Problems
Appendix A: Asymptotics
  1  Bessel functio
  2  Laplace's method; Stirling's formula
  3  The Airy function
  4  The partition function
  5  Problems
Appendix B: Simple Connectivity and Jordan Curve Theorem
  1  Equivalent formulatio of simple connectivity
  2  The Jordan curve theorem
    2.1  Proof of a general form of Cauchy's theorem
Notes and References
Bibliography
Symbol Glossary
Index

章節(jié)摘錄

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