復(fù)分析

前言

　　本套叢書是數(shù)學(xué)大師給本科生寫的分析學(xué)系列教材。第一作者K．MStein是調(diào)和分析大師（1999年Wolf獎(jiǎng)獲得者），也是一位卓越的教師。他的學(xué)生，和學(xué)生的學(xué)生，加起來(lái)超過(guò)兩百多人，其中有兩位已經(jīng)獲得過(guò)Fields獎(jiǎng)，2006年Fields獎(jiǎng)的獲獎(jiǎng)?wù)咧患礊樗膶W(xué)生陶哲軒。　　這本教材在Princeton大學(xué)使用，同時(shí)在其它學(xué)校，比如UCLA等名校也在本科生教學(xué)中得到使用。其教學(xué)目的是，用統(tǒng)一的、聯(lián)系的觀點(diǎn)來(lái)把現(xiàn)代分析的“核心”內(nèi)容教給本科生，力圖使本科生的分析學(xué)課程能接上現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的脈絡(luò)。共四本書，順序是：　　I．傅立葉分析　　II．復(fù)分析　　III．實(shí)分析　　IV．泛函分析　　這些課程僅僅假定讀者讀過(guò)大一微積分和線性代數(shù)，所以可看作是本科生高年級(jí)（大二到大三共四個(gè)學(xué)期）的必修課程，每學(xué)期一門。　　非常值得注意的是，作者把傅立葉分析作為學(xué)完大一微積分后的第一門高級(jí)分析課。同時(shí)，在后續(xù)課程中，螺旋式上升，將其貫穿下去。我本人是極為贊同這種做法的，一者，現(xiàn)代數(shù)學(xué)中傅立葉分析無(wú)處不在，既在純數(shù)學(xué)，如數(shù)論的各個(gè)方面都有深入的應(yīng)用，又在應(yīng)用數(shù)學(xué)中是絕對(duì)的基礎(chǔ)工具。二者，傅立葉分析不光有用，其本身的內(nèi)容，可以說(shuō)，就能夠把數(shù)學(xué)中的幾大主要思想都體現(xiàn)出來(lái)。這樣，學(xué)生們先學(xué)這門課，對(duì)數(shù)學(xué)就能有鮮活的了解，既知道它的用處，又能夠“連續(xù)”地欣賞到數(shù)學(xué)中的各種大思想、大美妙。接著，是學(xué)同樣具有深刻應(yīng)用和理論優(yōu)美性于一體的復(fù)分析。學(xué)完這兩門課，學(xué)生已經(jīng)有了相當(dāng)多的例子和感覺(jué)，既懂得其用又懂得其妙。這樣，再學(xué)后面比較抽象的實(shí)分析和泛函分析時(shí)，就自然得多、動(dòng)機(jī)充分得多?！　∵@種教法，國(guó)內(nèi)還很欠缺，也缺乏相應(yīng)的教材。這主要是因?yàn)槲覀兊慕逃w制還存在一些問(wèn)題，比如數(shù)學(xué)系研究生入學(xué)考試，以往最關(guān)鍵的是初試，但初試只考數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)，也就是本科生低年級(jí)的課程。長(zhǎng)此以往，中國(guó)的大多數(shù)本科生，只用功在這兩門低年級(jí)課程上，而在高年級(jí)后續(xù)課程，以及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼界上有很大的欠缺。這樣，導(dǎo)致他們?cè)谘芯可A段后勁不足，需要補(bǔ)的東西過(guò)多，而疲于奔命。　　那么，為彌補(bǔ)這種不足，國(guó)內(nèi)的教材顯然是不夠的。列舉幾個(gè)原因如下：　　1．比如復(fù)變函數(shù)這門課，即使國(guó)內(nèi)最好的本科教材，其覆蓋的主要內(nèi)容也僅是這套書中《復(fù)分析》的1／3，也就是前一百頁(yè)。其后面的內(nèi)容，我們很多研究生也未必學(xué)到，但那些知識(shí)，在以后做數(shù)學(xué)研究時(shí)，卻往往用到。　　2．國(guó)內(nèi)的教材，往往只教授其知識(shí)本身，對(duì)這個(gè)知識(shí)的來(lái)龍去脈，后續(xù)應(yīng)用，均有很大的欠缺。比如實(shí)變函數(shù)（實(shí)分析），為什么要學(xué)這么抽象的東西呢，從書本上是不太能看到的，但是Stein卻以Fourier分析為線索，將這些知識(shí)串起來(lái)，說(shuō)明了其中的因果。　　因此在目前情況下，這種大學(xué)數(shù)學(xué)教育有很大的欠缺。尤其是有些偏遠(yuǎn)學(xué)校的本科生，他們可能很用功，已經(jīng)很好地掌握了數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)這兩門低年級(jí)課程，研究生初試成績(jī)很高。但對(duì)于高年級(jí)課程掌握不夠，有些甚至未學(xué)過(guò)，所以在入學(xué)考試的第二階段——面試過(guò)程中，就捉襟見肘，顯露出不足。所以，最近幾年，各高校亦開始重視研究生考試的面試階段。那些知識(shí)面和理解度不夠的同學(xué)，往往會(huì)在面試時(shí)被刷下來(lái)。如果他們能夠讀完Stein這套本科生教材，相信他們的知識(shí)面足以在分析學(xué)領(lǐng)域，應(yīng)付得了國(guó)內(nèi)任何一所高校的研究生面試，也會(huì)更加明白，學(xué)了數(shù)學(xué)以后，要干什么，怎么樣去干?！　”咎讌矔墒澜鐖D書出版公司北京公司引進(jìn)出版。影印版的發(fā)行，將使得這些本科生有可能買得起這套叢書，形成討論班，互相研討，琢磨清楚。這對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)教育質(zhì)量的提升，乃至對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)研究梯隊(duì)的壯大，都將是非常有益的。

內(nèi)容概要

Elias M.Stein、Rami
Shakarchi所著的《復(fù)分析》由在國(guó)際上享有盛譽(yù)普林斯大林頓大學(xué)教授Stein等撰寫而成，是一部為數(shù)學(xué)及相關(guān)專業(yè)大學(xué)二年級(jí)和三年級(jí)學(xué)生編寫的教材，理論與實(shí)踐并重。為了便于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)，全書內(nèi)容簡(jiǎn)明、易懂,讀者只需掌握微積分和線性代數(shù)知識(shí)。與本書相配套的教材《傅立葉分析導(dǎo)論》和《實(shí)分析》也已影印出版。本書已被哈佛大學(xué)和加利福尼亞理工學(xué)院選為教材。

作者簡(jiǎn)介

作者：（美國(guó)）斯坦恩（Elias M.Stein） （美國(guó)）Rami Shakarchi

書籍目錄

Foreword
Introduction
Chapter  1. Preliminaries to Complex Analysis
  1  Complex numbe and the complex plane
    1.1  Basic properties
    1.2  Convergence
    1.3  Sets in the complex plane
  2  Functio on the complex plane
    2.1  Continuous functio
    2.2  Holomorphic functio
    2.3  Power series
  3  Integration along curves
  4  Exercises
Chapter  2. Cauchy's Theorem and Its Applicatio
  1  Gouat's theorem
  2  Local existence of primitives and Cauchy's theorem in a disc
  3  Evaluation of some integrals
  4  Cauchy's integral formulas
  5  Further applicatio
    5.1  Morera's theorem
    5.2  Sequences of holomorphic functio
    5.3  Holomorphic functio defined in terms of integrals
    5.4  Schwarz reflection principle
    5.5  Runge's approximation theorem
  6  Exercises
  7  Problems
Chapter  3. Meromorphic Functio and the Logarithm
  1  Zeros and poles
  2  The residue formula
    2.1  Examples
  3  Singularities and meromorphic functio
  4  The argument principle and applicatio
  5  Homotopies and simply connected domai
  6  The complex logarithm
  7  Fourier series and harmonic functio
  8  Exercises
  9  Problems
Chapter  4. The Fourier Traform
  1  The class ξ
  2  Action of the Fourier traform on ξ
  3  Paley-Wiener theorem
  4  Exercises
  5  Problems
Chapter  5. Entire Functio
  1  Jeen's formula
  2  Functio of finite order
  3  Infinite products
    3.1  Generalities
    3.2  Example: the product formula for the sine function
  4  Weietrass infinite products
  5  Hadamard's factorization theorem
  6  Exercises
  7  Problems
Chapter  6. The Gamma and Zeta Functio
  1  The gamma function
    1.1  Analytic continuation
    1.2  Further properties of τ
  2  The zeta function
    2.1  Functional equation and analytic continuation
  3  Exercises
  4  Problems
Chapter  7. The Zeta Function and Prime Number Theorem
  1  Zeros of the zeta function
    1.1 Estimates for 1/ζ(s)
  2  Reduction to the functio ψ and ψ1
    2.1  Proof of the asymptotics for ψ1
  Note on interchanging double sums
  3  Exercises
  4  Problems
  Chapter 8. Conformal Mappings
  1  Conformal equivalence and examples
    1.1  The disc and Upper half-plane
    1.2  Further examples
    1.3  The Dirichlet problem in a strip
  2  The Schwarz lemma; automorphisms of the disc and upper
half-plane
    2.1  Automorphisms of the disc
    2.2  Automorphisms of the upper half-plane
  3  The Riemann mapping theorem
    3.1  Necessary conditio and statement of the theorem
    3.2  Montel's theorem
    3.3  Proof of the Riemann mapping theorem
  4  Conformal mappings onto polygo
    4.1  Some examples
    4.2  The Schwarz-Christoffel integral
    4.3  Boundary behavior
    4.4  The mapping formula
    4.5  Return to elliptic integrals
  5  Exercises
  6  Problems
  Chapter 9. An Introduction to Elliptic Functio
  1  Elliptic functio
    1.1  Liouville's theorems
    1.2  The Weietrass p function
  2  The modular character of elliptic functio and Eisetein series
    2.1  Eisetein series
    2.2  Eisetein series and divisor functio
  3  Exercises
  4  Problems
  Chapter 10. Applicatio of Theta Functio
  1  Product formula for the Jacobi theta function
    1.1  Further traformation laws 
  2  Generating functio
  3  The theorems about sums of squares
    3.1  The two-squares theorem
    3.2  The four-squares theorem
  4  Exercises
  5  Problems
Appendix A: Asymptotics
  1  Bessel functio
  2  Laplace's method; Stirling's formula
  3  The Airy function
  4  The partition function
  5  Problems
Appendix B: Simple Connectivity and Jordan Curve Theorem
  1  Equivalent formulatio of simple connectivity
  2  The Jordan curve theorem
    2.1  Proof of a general form of Cauchy's theorem
Notes and References
Bibliography
Symbol Glossary
Index

章節(jié)摘錄

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