數學物理方程

內容概要

　　《數學物理方程》系統(tǒng)介紹了三種典型偏微分方程，即波動方程、熱傳導方程和靜態(tài)場方程的分離變量解法。限于篇幅，對格林函數方法和積分變換方法未作介紹。與現有數學物理方程教材相比，《數學物理方程》增加了二元及多元偏微分方程的化簡和分類，矢量分析與張量分析基礎知識以及場論和曲線坐標系等內容。考慮到柱波函數和球波函數的加法定理在實際物理問題(如電子波、電磁波和機械波的多重散射)中有重要應用，但現有教材較少涉及，本書中還增加了這方面的有關內容。
《數學物理方程》可作為理工科類各專業(yè)本科和研究生學習“數學物理方程”課程的教材用書，也可供廣大科技工作者和工程技術人員閱讀和參考。

書籍目錄

1 偏微分方程及其分類
　1.1 偏微分方程的基本概念
　1.2 2階2元線性偏微分方程的分類
　1.3 多元線性偏微分方程的分類
　習題
2 3類典型方程及其定解條件
　2.1 3類典型方程的導出
　　2.1.1 波動方程的導出
　　2.1.2 輸運方程的導出
　　2.1.3 穩(wěn)態(tài)場方程
　2.2 定解條件
　2.3 定解問題的適定性
　　2.3.1 Laplace方程的適定性
　　2.3.2 熱傳導方程的適定性
　　2.3.3 波動方程的適定性
　2.4 數理方程反問題
　習題
3 算子、場和坐標系
　3.1 矢量與張量
　　3.1.1 矢量
　　3.1.2 張量
　3.2 Hamilton算子
　　3.2.1 梯度
　　3.2.2 散度
　　3.2.3 旋度
　　3.2.4 Hamilton算子的復雜運算
　3.3 場
　　3.3.1 有勢場
　　3.3.2 管形場
　　3.3.3 調和場
　3.4 正交曲線坐標系
　　3.4.1 正交曲線坐標系
　　3.4.2 曲線坐標系中的基矢量與弧微分表示
　　3.4.3 曲線坐標系下的梯度，散度和旋度
　習題
4 直角坐標系下的分離變量法
　4.1 有界弦的自由振動
　4.2 有界桿的熱傳導
　4.3 斯圖姆-劉維爾(Sturm-Liouville)特征值問題
　4.4 級數解的收斂性
　4.5 非齊次定解問題
　習題
5 圓柱坐標系下的分離變量法
　5.1 極坐標系下的Laplace方程
　5.2 柱坐標系下的Helmholz方程
　5.3 貝塞爾方程的求解
　5.4 貝塞爾函數的性質
　　5.4.1 貝塞爾函數的零點
　　5.4.2 貝塞爾函數的漸進性質
　　5.4.3 貝塞爾函數的遞推關系式
　　5.4.4 貝塞爾函數的正交性
　　5.4.5 半奇數階的貝塞爾函數
　　5.4.6 整數階的貝塞爾函數
　　5.4.7 平面波按駐波函數的展開式
　　5.4.8 柱波函數的加法公式
　　5.4.9 整數階貝塞爾函數的積分形式
　5.5 貝塞爾函數方程的特征值問題
　5.6 綜合應用
　習題
6 球坐標系下的分離變量法
　6.1 球坐標系下的亥姆霍斯方程和拉普拉斯方程
　6.2 勒讓德方程的求解
　6.3 勒讓德多項式的性質
　　6.3.1 和 的基本性質
　　6.3.2 和 的微分和積分表達式
　　6.3.3 和 的正交性
　　6.3.4 母函數及遞推關系式
　　6.3.5 球面調和函數及其正交性
　　6.3.6 平面波展開公式
　　6.3.7 加法公式
　6.4 勒讓德方程和球貝塞爾方程的特征值問題
　6.5 綜合應用
　習題
7 無界域中的分離變量法
　7.1 1 維無界域中的分離變量法
　7.2 2 維和3維無界域中的分離變量法
　習題
參考文獻

章節(jié)摘錄

版權頁：   插圖：   在一個包含各階偏導數的偏微分方程中，最高階的偏導數項決定著偏微分方程的性質，通常稱為偏微分方程的主部。根據主部可以對非線性偏微分方程作進一步的分類。以二階偏微分方程為例，如果主部關于最高階偏導數是線性的，則稱偏微分方程為擬線性偏微分方程。 換句話說，出現第一類和第二類非線性項的偏微分方程是擬線性的偏微分方程；而出現第三類非線性項的偏微分方程是完全非線性偏微分方程。 性質1 空間每一個點都屬于一個等值面。 性質2 不同的等值面互不相交，即不存在一個點同時屬于兩個等值面（線）。 矢量場不僅有大小，還有方向，如位移場、靜電（磁）場、重力場等。矢量場可一般地表示為A（x，y，z）。 性質1 空間每一點都屬于一條矢量線。 性質2 矢量線互不相交（除源點外）。 由性質2知，通過封閉曲線L上所有點的矢量線必形成一管道，稱此管道為矢量管，如圖3．3—1所示。若設管道壁的外法線為n，則有A?n=0。 張量場較標量場和矢量場更為復雜，如應力場、應變場等。本書不作深入討論，而將重點放在矢量場上。

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