復(fù)變函數(shù)與積分變換

內(nèi)容概要

全書共分8章，內(nèi)容包括：復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)，解析函數(shù)，復(fù)變函數(shù)的積分，解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示，留數(shù)理論，保形映射，傅里葉變換，拉普拉斯變換等.　　本書條理清晰，層次分明，通俗易懂，注重解題方法的訓(xùn)練和能力的培養(yǎng).每節(jié)后配備了豐富的習(xí)題，有利于學(xué)生掌握基本內(nèi)容.　　本書可供高等工科院校各專業(yè)師生作為教材使用，也可供有關(guān)工程技術(shù)人員參考.

作者簡介

劉西民，華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)系教授、博士生導(dǎo)師，主要從事幾何拓?fù)溲芯俊?/pre>


書籍目錄
1復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)(1)1.1復(fù)數(shù)與復(fù)平面(1)1.2復(fù)平面上的點(diǎn)集(10)1.3復(fù)變函數(shù)(15)2解析函數(shù)(21)2.1解析函數(shù)(21)2.2初等函數(shù)(26)2.3解析函數(shù)的物理意義(34)3復(fù)變函數(shù)的積分(39)3.1復(fù)積分的概念(39)3.2柯西(Cauchy）積分定理(45)3.3柯西積分公式及其應(yīng)用(52)3.4調(diào)和函數(shù)(60)4解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示(64)4.1復(fù)級(jí)數(shù)(64)4.2冪級(jí)數(shù)(69)4.3泰勒（Taylor)級(jí)數(shù)(73)4.4羅朗(Laurent)級(jí)數(shù)(79)5留數(shù)理論(85)5.1孤立奇點(diǎn)(85)5.2留數(shù)定理(92)5.3留數(shù)定理在實(shí)積分計(jì)算中的應(yīng)用(98)6保形映射(110)6.1保形映射的幾何意義(110)6.2分式線性變換(113)6.3初等函數(shù)構(gòu)成的保形映射(124)6.4施瓦茨-克里斯托費(fèi)爾（Schwarz?Christoffel)變換(128)7傅里葉變換(134)7.1傅里葉（Fourier)積分(134)7.2傅里葉變換(139)7.3單位脈沖函數(shù)(148)8拉普拉斯變換(155)8.1拉普拉斯（Laplace）變換的概念(155)8.2拉普拉斯變換的性質(zhì)(160)8.3拉普拉斯變換的應(yīng)用(168)8.4梅林(Mellin)變換與z變換(173)附錄1傅里葉變換簡表(180)附錄2拉普拉斯變換簡表(183)參考文獻(xiàn)(188)


章節(jié)摘錄
　　復(fù)數(shù)的概念起源于求方程的根，在二次、三次代數(shù)方程的求根中就出現(xiàn)了負(fù)數(shù)開平方的問題.在很長時(shí)間里，人們對(duì)這類數(shù)不能理解，把它看作不能接受的“虛數(shù)”.直到17世紀(jì)和18世紀(jì)，隨著微積分的發(fā)明和發(fā)展，情況才逐漸有了改變，這類數(shù)的重要性才日益顯現(xiàn)出來.復(fù)數(shù)的一般形式是a+bi，其中a,b為實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位.　　以復(fù)數(shù)作為自變量的函數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)，而與之相關(guān)的理論就是復(fù)變函數(shù)論.解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)中一類具有解析性質(zhì)的函數(shù)，復(fù)變函數(shù)主要是研究解析函數(shù)的數(shù)學(xué)分支.　　復(fù)變函數(shù)論產(chǎn)生于18世紀(jì).1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由復(fù)變函數(shù)的積分導(dǎo)出的兩個(gè)方程.在此之前，法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾在他的關(guān)于流體力學(xué)的論文中也得到了這兩個(gè)方程.因此，后來把這兩個(gè)方程叫做“達(dá)朗貝爾-歐拉方程”.到了19世紀(jì)，上述兩個(gè)方程在柯西和黎曼研究流體力學(xué)時(shí)，作了更詳細(xì)的研究，所以現(xiàn)在的復(fù)變函數(shù)書也把這兩個(gè)方程稱為“柯西—黎曼方程”或“柯西—黎曼條件”.　　復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在19世紀(jì)，它統(tǒng)治了19世紀(jì)的數(shù)學(xué).當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，也有人稱贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一.為復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)建做了早期工作的是歐拉、達(dá)朗貝爾，法國的拉普拉斯也隨后研究過復(fù)變函數(shù)的積分，他們是創(chuàng)建這門學(xué)科的先驅(qū).后來為這門學(xué)科的發(fā)展做了大量奠基工作的有柯西、黎曼和德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯.20世紀(jì)初，復(fù)變函數(shù)論又有了很大的發(fā)展，維爾斯特拉斯的學(xué)生，瑞典數(shù)學(xué)家列夫勒、法國數(shù)學(xué)家彭加勒、阿達(dá)瑪?shù)榷甲隽舜罅康难芯抗ぷ鳎_拓了復(fù)變函數(shù)論更廣闊的研究領(lǐng)域，為這門學(xué)科的發(fā)展做出了貢獻(xiàn).　　復(fù)變函數(shù)論在應(yīng)用方面涉及的面很廣，有很多復(fù)雜的計(jì)算都是用它來解決的.比如物理學(xué)上有很多不同的穩(wěn)定平面場，對(duì)它們的計(jì)算就是通過復(fù)變函數(shù)來解決的.比如俄國的儒柯夫斯基在設(shè)計(jì)飛機(jī)的時(shí)候，就利用復(fù)變函數(shù)論解決了飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問題，他在運(yùn)用復(fù)變函數(shù)論解決流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問題上也做出了貢獻(xiàn).復(fù)變函數(shù)論不僅在其他學(xué)科得到了廣泛的應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多分支也有重要的應(yīng)用.它已深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等學(xué)科，對(duì)它們的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響.　　積分變換是通過積分運(yùn)算，把一個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)函數(shù)的變換.這里所說的積分變換指的是傅里葉變換和拉普拉斯變換，它與復(fù)變函數(shù)有著密切的聯(lián)系.它的理論和方法不僅在數(shù)學(xué)的許多分支中，而且在其他自然科學(xué)和許多工程技術(shù)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，已成為不可缺少的運(yùn)算工具.　　復(fù)變函數(shù)與積分變換是工科數(shù)學(xué)中一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，它是在實(shí)變函數(shù)微積分的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的.因此它不僅在內(nèi)容上與實(shí)變函數(shù)微積分有許多相似之處，而且在研究問題的方法與邏輯結(jié)構(gòu)方面也很類似.當(dāng)然，它也有自身的特點(diǎn)，有自己的研究工具和方法，在學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)注意與微積分理論的比較，從而加深理解，同時(shí)也需注意其自身的特點(diǎn)，并掌握它自身所固有的理論和方法.　　本書只假定讀者熟悉基本的微積分理論，全面介紹了復(fù)變函數(shù)與積分變換的基本理論及其在工程問題上的應(yīng)用，理論和實(shí)際應(yīng)用密切結(jié)合.通過本課程的學(xué)習(xí)，讀者不僅能學(xué)到復(fù)變函數(shù)與積分變換的基本理論和工程數(shù)學(xué)中的常用數(shù)學(xué)方法，同時(shí)還可以鞏固和復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí).該教材可供高等工科院校的各個(gè)專業(yè)師生使用，也可作為工程技術(shù)人員自學(xué)復(fù)變函數(shù)的參考書.本書具有以下幾個(gè)主要特色：　　（1） 基本知識(shí)的引入和基本方法的闡述采用啟發(fā)式，基本理論的推導(dǎo)深入淺出，循序漸進(jìn)，盡量避免過多的理論證明和純粹的數(shù)學(xué)推導(dǎo).對(duì)工科學(xué)生來說，這種方式使數(shù)學(xué)方法更具有生動(dòng)性.　　（2） 強(qiáng)調(diào)復(fù)變量z和z的作用，利用其實(shí)現(xiàn)實(shí)變量和復(fù)變量之間的互換.突出級(jí)數(shù)和積分表示方法，并將這兩種方法交替出現(xiàn)使之成為本書的主線.　?。?） 重視學(xué)生基本素質(zhì)的培養(yǎng)，注重提高學(xué)生的計(jì)算與應(yīng)用能力，以達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)新能力的目的.本書例題和習(xí)題豐富，有利于學(xué)生掌握基本內(nèi)容，提高分析問題和解決實(shí)際問題的能力.　　感謝眾邦文化的精心策劃和編輯梁艷女士在本書的組稿和編輯中所付出的辛勤勞動(dòng)，感謝上海交通大學(xué)出版社的大力支持！　　由于編者的水平所限，書中缺點(diǎn)和錯(cuò)誤難免，懇請(qǐng)專家、同行和廣大讀者批評(píng)指正.　　　　編者　　2010年3月于華南理工大學(xué)








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