數值分析

前言

在現代科學研究與工程實際中，電子計算機的應用已滲透到各個領域的方方面面，科學計算的重要性已被愈來愈多的人所認識。作為理工科大學的學生，應當具備一定的科學計算的知識和能力。因此，目前各工科院校普遍將“數值分析”（有的叫“計算方法”或“數值計算方法”）列為各專業(yè)本科生的必修課程以及工科碩士研究生的學位課程，同時它還是信息與計算科學專業(yè)的主干課程。本書是合肥工業(yè)大學數學學院的老師在十多年從事“數值分析”教學的基礎上編寫的一本教材。在編寫時，我們力求使它既便于教學，也便于自學。在選材方面，突出基本理論和方法以及它們的應用背景，注重對計算數學最新理論和方法的介紹，強化解決問題能力的培養(yǎng)；在文字敘述方面，力求做到由淺人深，通俗易懂，講清思想方法來源。書中每章都配備了大量的例題和習題，尤其對那些讀者比較難以理解和掌握的理論和方法，通過例題從多角度給予詳盡的解答，同時注意各種方法的比較，書末還附有習題答案。每章后的小結對所學內容做了高度的概括和總結，使讀者更容易掌握其中的脈絡和精髓，起到了畫龍點睛的作用。“數值分析”是一門實踐性很強的課程，為加強上機實踐，書后配有很多具有一定綜合性的計算實習題，可供讀者選用。為便于讀者學習，我們還在每章最后配有該章所有算法的MATLAB程序，并附例題演示。此外，書中給出了主要概念的英文表達，書末還有相關概念的中英文索引，方便讀者查閱。同時，我們還給出了書中出現的科學家的簡介，以此表達我們對他們的敬意。

內容概要

本書是為理工科大學各專業(yè)普遍開設的“數值分析”或“計算方法”課程編寫的教材，本書列選安徽省高等學校“十一五”省級規(guī)劃教材。    本書主要內容包括：線性方程組的數值解法(直接法和迭代法)，非線性方程(組)的數值解法、數值逼近(包括插值與樣條、平方逼近與一致逼近)，數值微積分、常微分方程初值問題和邊值問題的數值解法以及矩陣特征值、特征向量的數值解法，每章都有大量例題和習題、相關算法的MATLAB程序，并附例題演示；書末附有習題答案、配有上機實習題，供學生上機實習選用，此外，書中給出了所有概念的英文表達以及書中出現的科學家的簡介，書末還有相關概念的中英文索引，方便讀者查閱，全書闡述嚴謹、脈絡分明、深入淺出、注重理論學習和上機實踐相結合，便于教學和自學。    本書也可以作為理工科大學各專業(yè)研究生學位課程的教材，并可供從事科學計算的科技工作者參考。

書籍目錄

前言第1章 緒論  1.1 引言  1.2 誤差的基本理論  1.3 避免誤差危害的若干原則  習題第2章 解線性方程組的直接法  2.1 引言  2.2 Gauss消去法  2.3 矩陣三角分解法  2.4 向量與矩陣范數  2.5 方程組的性態(tài)及誤差分析  2.6 算法程序  本章小結  習題第3章 解線性方程組的迭代法  3.1 引言  3.2 解線性方程組的迭代法  3.3 迭代法的收斂性  3.4 算法程序  本章小結  習題第4章 方程求根的數值解法  4.1 引言  4.2 求實根的二分法  4.3 迭代法及其收斂性  4.4 Newton迭代法  4.5 弦截法  4.6 非線性方程組的迭代法簡介  4.7 算法程序  本章小結  習題第5章 插值法  5.1 引言  5.2 Lagrange插值  5.3 逐步線性插值  5.4 Newton插值  5.5 Hermite插值公式  5.6 分段多項式插值  5.7 三次樣條插值  5.8 算法程序  本章小結  習題第6章 數據擬合與函數逼近  6.1 引言  6.2 最小二乘法  6.3 正交多項式  6.4 最佳平方逼近  6.5 最佳一致逼近  6.6 算法程序  本章小結  習題第7章 數值微積分  7.1 引言  7.2 數值微分  7.3 數值積分的一般概念  7.4 Newton-Cotes求積公式  7.5 復化求積公式  7.6 Romberg算法  7.7 Gauss型求積公式  7.8 算法程序  本章小結  習題第8章 常微分方程的數值解法  8.1 引言  8.2 Euler方法及改進的Euler方法  8.3  Runge-Kutta方法  8.4 單步法的收斂性與穩(wěn)定性  8.5 線性多步法  8.6 常微分方程組和高階常微分方程的數值解法  8.7 解常微分方程邊值問題的差分法  8.8 解常微分方程邊值問題的有限元法  8.9 解常微分方程邊值問題的打靶法  8.10 算法程序  本章小結  習題第9章 矩陣特征值的數值解法  9.1 引言  9.2 冪法與反冪法  9.3 QR算法  9.4 Jacobi方法  9.5算法程序  本章小結  習題上機實習題習題參考答案符號注釋表名詞索引參考文獻

章節(jié)摘錄

插圖：由實際問題的提出，到上機計算、求出結果的整個過程，都可以看作是應用數學的范疇。細分起來，由實際問題運用有關學科知識和數學理論，建立數學模型這一過程，通常作為應用數學的任務，這一般要涉及多門學科的知識，本課程不做討論。而根據數學模型提出求解的數值計算方法（即算法），直到編出程序、上機算出結果，這一過程則是計算數學的任務，也是數值分析研究的對象。注隨著計算數學的發(fā)展，計算數學的研究很多時候已經擴展到上述整個過程。科學計算離不開計算機，但更離不開計算方法。美國著名的計算數學家Babusk曾說過：“沒有好的計算方法，超級計算機就是超級廢鐵?！比祟惖挠嬎隳芰Φ扔谟嬎愎ぞ叩男阅芘c計算方法的效能乘積。這一形象化公式表明了硬件與計算方法對于計算能力的同等重要性。因此計算機只有配上相應的軟件才能發(fā)揮作用，而一個好的軟件的編制則是基于一個好的算法。數值分析的一個重要研究對象就是研究算法以及相應的性質。所謂算法（mgorithm），就是用完全確定的規(guī)則（包括運算的邏輯順序），對某一類數值問題的輸入數據進行處理，判斷此數值問題是否有解。在解存在的情況下，給出輸出數據；當解不存在時，算法應能作出明確的判斷，最好指出解不存在的關鍵。

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