非線性科學(xué)若干前沿問題

前言

現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展、各學(xué)科之間的交叉融合正在改變著傳統(tǒng)學(xué)科之間的界限和研究方法。由于基礎(chǔ)學(xué)科和應(yīng)用學(xué)科的發(fā)展，它們在經(jīng)歷了“線性化”一個(gè)富有成果的發(fā)展時(shí)期后，必然地要提出研究非線性問題。通過對各學(xué)科中非線性問題的深入研究和學(xué)科之間的交叉，逐步發(fā)現(xiàn)了存在于不同學(xué)科、具有共性的非線性現(xiàn)象，從而開始形成“非線性科學(xué)”這一新興交叉學(xué)科，它所研究的是廣泛存在于各學(xué)科中的非線性相互作用所提出的共性問題。非線性科學(xué)于20世紀(jì)60年代興起后得到了快速的發(fā)展。從20世紀(jì)90年代起，非線性科學(xué)進(jìn)入學(xué)科內(nèi)涵基本確定后的穩(wěn)定發(fā)展時(shí)期，在對一些問題進(jìn)行深入研究、將有關(guān)成果應(yīng)用到其他學(xué)科的同時(shí)，也出現(xiàn)了非線性科學(xué)中新的研究方向。我國非線性科學(xué)的研究盡管起步稍晚，但由于及時(shí)瞄準(zhǔn)跟蹤國際前沿，并注意自己的研究特色，經(jīng)過國家攀登計(jì)劃“八五”、“九五”和國家“973計(jì)劃”期間近十五年的研究，我國的非線性科學(xué)研究有了很大的發(fā)展，水平也有了很大提高，在全國已經(jīng)形成了一個(gè)比較穩(wěn)定的非線性科學(xué)研究隊(duì)伍。更令人感到高興的是，在這支隊(duì)伍中一批年輕的學(xué)者已經(jīng)成長起來，使我國的非線性科學(xué)研究后繼有人。

內(nèi)容概要

　　本書是一本簡明概括地介紹非線性科學(xué)的專著，由國家“973計(jì)劃”項(xiàng)目“非線性科學(xué)中的若干前沿問題”相關(guān)學(xué)者結(jié)合非線性科學(xué)中各個(gè)前沿方向的研究寫作而成，對非線性科學(xué)中的若干前沿研究領(lǐng)域進(jìn)行了系統(tǒng)而深入的介紹。全書內(nèi)容包括：KAM理論與Arnold擴(kuò)散；孤立子與可積系統(tǒng)；分形幾何；斑圖演化的動(dòng)力學(xué)；動(dòng)力系統(tǒng)；符號序列的復(fù)雜性分析；可微動(dòng)力系統(tǒng)遍歷理論基礎(chǔ)；非平衡定態(tài)、隨機(jī)共振和分子馬達(dá)?！　”緯晒┓蔷€性科學(xué)相關(guān)研究人員以及有一定數(shù)理基礎(chǔ)并對非線性科學(xué)感興趣的讀者閱讀參考。

書籍目錄

序前言第1章 KAM理論與Arnold擴(kuò)散　1.1 緒論　　1.1.1 辛流形和Hamilton系統(tǒng)　　1.1.2 完全可積與近可積系統(tǒng)　　1.1.3 攝動(dòng)方法——平均法　1.2 KAM定理　　1.2.1 經(jīng)典的KAM定理　　1.2.2 低維KAM定理　　1.2.3 共振情形下的KAM定理　　1.2.4 廣義Hamilton系統(tǒng)的KAM定理　　1.2.5 廣義Hamilton系統(tǒng)的有效穩(wěn)定性　1.3 Arnold擴(kuò)散與不穩(wěn)定性　　1.3.1 引言　　1.3.2 正定Lagrange系統(tǒng)的變分框架　　1.3.3 局部連接軌道的存在性　　1.3.4 全局連接軌道的變分構(gòu)造　　1.3.5 通有性證明　1.4 軌道擴(kuò)散與不變環(huán)面的粘滯性　　1.4.1 軌道擴(kuò)散　　1.4.2 不變環(huán)面的粘滯性　參考文獻(xiàn)第2章 孤立子與可積系統(tǒng)　2.1 概述　　2.1.1 孤波與孤子　　2.1.2 可積系統(tǒng)　2.2 有限維可積系統(tǒng)　2.3 Schrodinger方程的反散射理論　　2.3.1 概述　　2.3.2 Jost解　　2.3.3 基本散射公式　　2.3.4 散射數(shù)據(jù)　　2.3.5 Gelfand-Levitan-Mrachenko方程　　2.3.6 無反射位勢　　2.3.7 Bargmann系統(tǒng)　　2.3.8 反射系數(shù)不為零的情形　2.4 KdV方程的孤子解　　2.4.1 KdV方程　　2.4.2 GGKM演化定理　　2.4.3 初值問題的反散射解法　　2.4.4 雙孤子的相互作用　　2.4.5 Ⅳ孤子解　2.5 KdV方程的完全可積性　　2.5.1 無窮守恒律　　2.5.2 Zakharov-Faddeev跡公式　　2.5.3 廣義Hamilton正則方程與完全可積性　2.6 各種孤子方程及解法簡述　　2.6.1 Lax方程與零曲率方程　　2.6.2 Ⅳ帶勢解　　2.6.3 其他重要方法舉例　2.7 有限帶解　　2.7.1 基本恒等式　　2.7.2 KdV方程族與Lenart序列　　2.7.3 特征值問題的非線性化　　2.7.4 守恒積分的對合性　　2.7.5 KdV方程族的分解　　2.7.6 守恒積分的函數(shù)獨(dú)立性　　2.7.7 Hk流的拉直　　2.7.8 反演、概周期解　2.8 孤立子實(shí)驗(yàn)　　2.8.1 非傳播水波孤立子　　2.8.2 離散系統(tǒng)中的孤立子　2.9 孤立子方程的建立　　2.9.1 非傳播水波孤立子方程　　2.9.2 一維非線性單擺鏈系統(tǒng)中包絡(luò)孤立子方程　2.10 孤立子和缺陷的相互作用　　2.10.1 理論和數(shù)值研究　　2.10.2 實(shí)驗(yàn)觀察　參考文獻(xiàn)第3章 分形幾何——它的內(nèi)容、意義和方法　3.1 引言　3.2 分形的特征　　3.2.1 光滑函數(shù)的圖像分析　　3.2.2 vonKoch曲線（雪花曲線）　3.3 測度與維數(shù)　　3.3.1 尺度的臨界性質(zhì)　　3.3.2 測量方式　　3.3.3 雪花曲線的情形　3.4 兩種測量方式：覆蓋與填充　　3.4.1 Hausdorff測度與Hausdorff維數(shù)　　3.4.2 Hausdorff測度與Hausdorff維數(shù)的基本性質(zhì)　　3.4.3 維數(shù)的幾何意義　　3.4.4 填充測度與填充維數(shù)　　3.4.5 兩種測度與維數(shù)的比較　　3.4.6 兩點(diǎn)注記　3.5 其他測度與維數(shù)　　3.5.1 拓?fù)渚S數(shù)　　3.5.2 Minkowski容度與Minkowski維數(shù)　　3.5.3 相似維數(shù)　　3.5.4 容量維數(shù)　　3.5.5 測度的維數(shù)　　3.5.6 Fourier維數(shù)　　3.5.7 Besicovitch-Taylor維數(shù)　3.6 進(jìn)一步的討論　　3.6.1 廣義自相似集　　3.6.2 分形的定義　　3.6.3 隨機(jī)的作用與分形模型　　3.6.4 有效維數(shù)與物理意義　　3.6.5 標(biāo)度律與分形　3.7 進(jìn)一步閱讀材料　參考文獻(xiàn)第4章 斑圖演化的動(dòng)力學(xué)　4.1 引言　4.2 混沌：初值敏感性　4.3 斑圖動(dòng)力學(xué)　4.4 固體損傷破壞斑圖的動(dòng)力學(xué)復(fù)雜性　4.5 損傷斑圖演化的跨尺度耦合理論　　4.5.1 基于細(xì)觀損傷表象的統(tǒng)計(jì)細(xì)觀損傷力學(xué)　　4.5.2 基于細(xì)觀物質(zhì)單元表象的統(tǒng)計(jì)細(xì)觀損傷力學(xué)　4.6 損傷局部化——損傷斑圖向損傷局部化斑圖轉(zhuǎn)變　……第5章 動(dòng)力系統(tǒng)——從有限維到無窮維第6章 符號序列的復(fù)雜性分析第7章 可微動(dòng)力系統(tǒng)遍歷理論基礎(chǔ)第8章 非平衡定態(tài)、隨機(jī)共振和分子馬達(dá)

章節(jié)摘錄

插圖：1.1 緒論自然界中很多問題的數(shù)學(xué)模型都可以用Lagrange方程或Hamilton方程來表示。而通過Legendre變換我們知道Lagrange方程和Hamilton方程又可以相互轉(zhuǎn)換，因此研究Lagrange方程和Hamilton系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為就顯得十分重要。對于一類完全可積的Hamilton系統(tǒng)，我們只要求出該系統(tǒng)的各個(gè)獨(dú)立的首次積分，就可以了解整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情形。然而在自然界中，這種情形非常稀少，更多現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型不是完全可積的。例如整個(gè)太陽系，其他九大行星的質(zhì)量之和不超過太陽質(zhì)量的0。002倍，如果忽略行星與行星之間引力的作用，每個(gè)行星和太陽所構(gòu)成的兩體問題都可以看成一個(gè)完全可積的Hamilton系統(tǒng)，從而我們可以計(jì)算出它們各自的運(yùn)行軌道。但是事實(shí)上，我們必須考慮那些小的影響。像這樣一個(gè)完全可積系統(tǒng)加上一個(gè)小攝動(dòng)的系統(tǒng)稱為近可積系統(tǒng)。那么可積系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性有多少在其攝動(dòng)的近可積系統(tǒng)中保持下來呢？這個(gè)問題的重要性是顯而易見的。Poincare稱這種問題為“動(dòng)力學(xué)的基本問題”[4]400.20世紀(jì)五六十年代，由Kolmogorov[50]，Arnold[1]和Moser[76]所建立的經(jīng)典KAM理論是研究這一問題的一個(gè)里程碑。經(jīng)典KAM理論表明，大多數(shù)頻率非共振的軌道（對應(yīng)著不變環(huán)面）的穩(wěn)定性在小攝動(dòng)之下保持下來，只是軌道經(jīng)歷了小的形變。這一理論使太陽系穩(wěn)定性的大多數(shù)情形得到了合理的解釋，同時(shí)也直接否定了Boltzmann的遍歷性猜測。并且作為一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，KAM理論及其相關(guān)的數(shù)學(xué)方法在天體力學(xué)[97]、理論物理[43，52，103]、微分方程定性理論[37，45，58，115，106]、辛算法[39，40，92，94]等學(xué)科和分支中都得到廣泛的應(yīng)用。這使得人們對KAM理論的研究日益深刻，促進(jìn)了其他方向的研究發(fā)展，如Aubry-Mather理論[7，65，66]和系統(tǒng)有效穩(wěn)定性[61，80，81，88]的研究。1.1.1 辛流形和Hamiltorl系統(tǒng)由于KAM理論研究的是Hamilton系統(tǒng)，我們先簡單介紹Hamilton系統(tǒng)的一些基本知識(shí)。這要涉及辛流形、辛幾何中的一些概念和性質(zhì)。

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《非線性科學(xué)若干前沿問題》是由中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社出版的。

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