變分法

前言

　　自1998年以來，作者在中國科學技術大學數(shù)學系和哥倫比亞國立大學（Llniversidad Nacional de Colombia）數(shù)學系多次講授研究生課程“變分法”。雖然在變分理論方面有好幾部專著，如本書參考文獻中所列，有M．Struwe編著的《VariationalMethods））、M．Willem編著的《Minimax‘Theorems））、張恭慶院士編著的《臨界點理論及其應用》、陸文端編著的《微分方程中的變分法》、沈堯天和嚴樹森編著的《擬線性橢圓型方程的變分法》等等，但是作者在科研和教學中總感覺到上述專著要么起點太高、內容沒有自封性，要么體系龐大、內容過于煩雜。在教學中，為了做到理論體系相對完整、自封，證明脈絡清晰，需要查閱許多文獻資料；同時，為了使學生盡快接觸到科研前沿，我們也有意識地增加最新的科研成果的介紹。經(jīng)過幾輪講授，現(xiàn)將講稿整理出版，希望對以后的教學有所幫助。　　為了提高學生的專業(yè)英語水平和國際競爭力，教育部教高【2001】4號文件明確指出：高校教育應采用雙語教學，尤其是被列入“21l”重點工程的各高校，要創(chuàng)造使用英語等外語進行公共課和專業(yè)課教學的氣氛。結合現(xiàn)在研究生教學的實際情況，本書采用英語編寫。　　本書主要內容安排如下：　　第1章概述變分理論的主要思想、基本概念和術語。通過廣義解將微分方程的求解與泛函極值問題的求解聯(lián)系起來，提出了現(xiàn)代變分理論的中心任務：通過尋求適當泛函的臨界點求解微分方程的解。最后介紹了幾個源自物理和幾何的具體例子，首先利用物理定律或幾何性質，給出適當?shù)哪芰糠汉賹С鰵W拉．拉格朗日（Euler-Lagrange）方程?！　〉?章研究索伯列夫（Sobolev）空間的基本性質。索伯列夫空間已經(jīng)成為應用泛函分析知識得到微分方程信息的最合適的工作空間，本章主要介紹后面內容將要用到的主要性質，如基本不等式、嵌入定理，以及各種意義下的強弱收斂關系。關于索伯列夫空間知識的完整介紹，可以參考R．Adams和J．Fournier編著的（（SobolevSpaces））第2版，以及L．C．Evans編著的《Partial Differential Equations》的第5章。

內容概要

　　《變分法：理論與應用》不僅對變分法的基本概念、理論和方法作了嚴謹?shù)慕榻B和論述，而且特別注重介紹變分法在解決橢圓型方程中的應用。《變分法：理論與應用》中的許多證明都被有意識地分解成幾個步驟，每個步驟都給出了目標，這樣不僅利于讀者理解證明思路和過程，而且更便于總結命題條件與結論之間的因果關系?！蹲兎址ǎ豪碚撆c應用》在內容上盡量到自封，只是在極少數(shù)地方引用了代數(shù)拓撲和泛涵分析中的命題，也盡量給出參考文獻，以便讀者查閱?！　　蹲兎址ǎ豪碚撆c應用》可作為數(shù)學系分析類研究生專業(yè)教材，也可作為數(shù)學系高年級本科生選修課教材。

書籍目錄

Preface1 Introduction1.1 Basic ideas of variatinal methods1.2 Classical solution and generalized solution1.3 First variation,Euler-Lagrange equation1.4 Second variation1.5 Systems2 Sobolev Spaces2.1 Holder spaces2.2 Lp spaces2.2.1 Useful inequalities2.2.2 Completeness of Lp（Ω）2.2.3 Dual space of Lp（Ω）2.2.4 Topologies in Lp（Ω）space2.2.5 Convolution2.2.6 Mollifier2.3 Sobolev spaces2.3.1 Weak derivatives2.3.2 Definition of Sobolev spaces2.3.3 Inequalities2.3.4 Embedding theorems and trace theorems3 Calulus in Banach Spaces3.1 Frechet-derivatives3.2 Nemyski poerator3.3 Gateaux-derivatives3.4 Calculus of abstract functions3.5 Initial value problem in Banach space4 Direct Methods5 Deformation Theorems6 Minimax Methods7 Noncompact Variational Problems8 Generalized K-P Equation9 Best Constants in Sobolev InequalitiesAppendix A Elliptic RegularityBibliographyIndex

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