無窮級數(shù)與連分?jǐn)?shù)

前言

　　無窮級數(shù)——作為數(shù)學(xué)中的一種離散型和的表示，一直在數(shù)學(xué)的發(fā)展中起著不可取代的作用。某種意義上說它確實是經(jīng)典數(shù)學(xué)與近代數(shù)學(xué)中的一種重要技術(shù)工具——把數(shù)學(xué)中的一些連續(xù)和有效地表示成較為清晰的離散和；反過來有些時候用這種較為清晰的離散和又可描述一種變量之間的復(fù)雜關(guān)系，因而無窮級數(shù)在經(jīng)典數(shù)學(xué)與近代數(shù)學(xué)中起著重要作用，以至于它伴隨著整個數(shù)學(xué)的發(fā)展一直具有特殊的地位。可以說在近代數(shù)學(xué)中，無窮級數(shù)的思想與方法無處不見。正是如此，才顯示了無窮級數(shù)旺盛的生命力?！　「鼮橥怀龅囊粋€方面，無窮級數(shù)這個離散和可在不同的可和條件下來描述某些函數(shù)的性質(zhì)，因為數(shù)學(xué)的發(fā)展一直沒有脫開用無窮級數(shù)表示函數(shù)，反過來，函數(shù)盡可能地表示為無窮級數(shù)，所以無窮級數(shù)這個技術(shù)上的工具在數(shù)學(xué)的發(fā)展中永遠(yuǎn)保持著它獨有的角色?！　∨c之相聯(lián)系的連分?jǐn)?shù)及其解析理論在Denjoy的深入研究后，給出了構(gòu)造性的一種滿足以o與+cx為導(dǎo)數(shù)值的單值的單調(diào)遞減的可微函數(shù)。這又是數(shù)學(xué)發(fā)展中與無窮級數(shù)相關(guān)的連分?jǐn)?shù)理論作為技術(shù)工具而獲得的一個重要的突破。隨后再應(yīng)用連分?jǐn)?shù)的解析理論這樣的函數(shù)還可以解析開拓到復(fù)平面的某個區(qū)域內(nèi)。當(dāng)然也應(yīng)用另外一些有關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容。

內(nèi)容概要

本書比較系統(tǒng)地對無窮級數(shù)在數(shù)學(xué)中所起的技術(shù)工具作用與連分?jǐn)?shù)解析理論構(gòu)造閔可夫斯基（Minkowski）函數(shù)及將其開拓到復(fù)數(shù)域上作了介紹。特別較為無窮發(fā)散級數(shù)的幾種和性結(jié)合實際地作了論述和論證。當(dāng)然這是本書在數(shù)學(xué)思想方面的體現(xiàn)。    本書第一章主要介紹無窮收斂級數(shù)在經(jīng)典與近代數(shù)學(xué)中的技術(shù)工具作用，第二章主要介紹無窮發(fā)散級數(shù)作為某些函數(shù)的漸進(jìn)級數(shù)作相應(yīng)的數(shù)值計算與求微分方程的數(shù)值解。同時不同程度地闡明了對無窮發(fā)散級數(shù)的幾種可和性方法。第三章論述連分?jǐn)?shù)與無窮級數(shù)的關(guān)系及連分?jǐn)?shù)的解析理論。第四章應(yīng)用其連分?jǐn)?shù)的解析理論，特別是Denjoy引理構(gòu)造了閔可夫斯基函數(shù)，而這個函數(shù)具有明顯的特征，順便將其解析開拓到復(fù)平面的某個區(qū)域內(nèi)，給出最普遍的表示形式。

書籍目錄

前言第一章  無窮收斂級數(shù)  1.1  無窮收斂級數(shù)的概念  1.2  無窮混合收斂級數(shù)  1.3  循環(huán)無窮收斂級數(shù)   1.4  倒數(shù)無窮收斂級數(shù)  1.5  歐拉（Euler）常數(shù)  1.6  無窮數(shù)項收斂級數(shù)的漸近值  1.7  無窮數(shù)項收斂級數(shù)的歐拉（Euler）轉(zhuǎn)換  1.8  丟番圖（Diophantus）方程解的個數(shù)  1.9  貝奴利（Bernoulli）多項式  1.10  無窮收斂級數(shù)的求和法  1.11  有關(guān)無窮收斂級數(shù)的一些典型例子  1.12  無窮乘積  1.13  無窮收斂級數(shù)的冥運算  1.14  用無窮收斂級數(shù)解微分方程第二章  無窮發(fā)散級數(shù)  2.1  無窮發(fā)散級數(shù)的概述  2.2  無窮發(fā)散級數(shù)對積分的估值  2.3  漸近級數(shù)的理論  2.4  無窮級數(shù)的可和性第三章  連分?jǐn)?shù)理論  3.1  連分?jǐn)?shù)及連分?jǐn)?shù)的收斂概念  3.2  普通車分?jǐn)?shù)  3.3  具零不完全商的連分?jǐn)?shù)  3.4  雙方無限展開式  3.5  實數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)連分?jǐn)?shù)展開式  3.6  實數(shù)作為有理數(shù)的極限與最佳逼近第四章  閔可夫斯基（Minkowski）函數(shù)  4.1  基本概念  4.2  反函數(shù)  4.3  線性變換  4.4  閔可夫斯基（Minkowski）函數(shù)的微分與微分方程  4.5  閔可夫斯基（Minkowski）函數(shù)的解析開拓  4.6  最普遍的表示形式參考文獻(xiàn)

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