常微分方程

前言

基于近幾年來的教學(xué)實踐，在復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院領(lǐng)導(dǎo)和復(fù)旦大學(xué)出版社的持續(xù)關(guān)心下，我們編寫了這本教材，復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系曾在1962年、1984年相繼出版了《常微分方程》教材，在構(gòu)思本書的整體框架時，我們既遵循了1984年版本的基本結(jié)構(gòu)，同時也參考了國內(nèi)外其他的常微分方程教材。    近年來，一些學(xué)校對本科數(shù)學(xué)類專業(yè)的教學(xué)計劃進行了調(diào)整，這樣，在大學(xué)本科第三學(xué)期開設(shè)常微分方程課程時，學(xué)生尚未完全掌握所需的數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)的一些基礎(chǔ)知識，這為常微分方程課程教學(xué)方案的順利實施帶來了一定的困難，為解決這些困難，本教材作了一些相應(yīng)的技術(shù)性處理。    開拓讀者的思路始終是編寫本教材的一個重要考量，因此，在許多知識點的講授中，針對同一問題我們提供了視角不同的多種方法，例如，本教材對高階常系數(shù)齊次線性方程通解公式的證明，列出了體現(xiàn)不同重要思想的3種方法；給出了多種不同的方法計算eAt；還給出了多種可能的構(gòu)造Iyapunov函數(shù)的方法，很多方法看似簡單，但其中往往包含了樸素而重要的思想，教師在制定教學(xué)方案時，可以考慮選講其中一部分，而將其余的內(nèi)容留作學(xué)生自習(xí)。    此外，在關(guān)于方程解的基本性質(zhì)的講授中，我們嘗試了直接利用方程本身和己知結(jié)果進行研究的方法．例如，利用比較定理和Gronwall不等式給出方程解的估計，并以此證明方程解對參數(shù)的連續(xù)依賴性和可微性，在Peano定理的證明中，體現(xiàn)了以“好”的方程逼近“差”的方程的思想．在關(guān)于閉軌線存在性和Lyapunov穩(wěn)定性等知識點的講授中，我們更多地從幾何或力學(xué)的角度分析和闡述了問題，我們期望，學(xué)生通過學(xué)習(xí)這些知識點，能夠深入理解和掌握解決問題的思想方法，從而為后繼課程的學(xué)習(xí)打下一個扎實的基礎(chǔ)。

內(nèi)容概要

本書主要介紹了常微分方程的初等解法、基本理論和穩(wěn)定性理論初步。具體包括：常微分方程的初等解法、線性常微分方程組、高階常系數(shù)線性方程、常微分方程的冪級數(shù)解法、常微分方程基本理論、常微分方程定性理論初步和一階偏微分方程。    本書在編寫中注重開拓讀者思路，在許多知識點的講授中，能針對同一問題提供視角不同的多種方法；在關(guān)于方程解的基本性質(zhì)的講授中，嘗試直接利用方程本身和已知結(jié)果進行研究；在關(guān)于閉軌線存在性和 Lyapunov穩(wěn)定性等的講授中，注重從幾何或力學(xué)的角度來分析和闡述問題。    本書可以作為數(shù)學(xué)類各專業(yè)常微分方程課程的教學(xué)用書或參考書，對其他理工科學(xué)生學(xué)習(xí)常微分方程理論也具有參考價值。

書籍目錄

第0章 緒論第一章 常微分方程的初等解法  1.1 分離變量法  1.2 一階線性方程  1.3 恰當(dāng)方程、積分因子法  1.4 初等變換法  1.5 一階隱式方程  1.6 高階方程的降階  1.7 微分方程組、首次積分第二章 線性常微分方程組  2.1 常系數(shù)線性方程組  2.2 eAt的計算  2.3 高階常系數(shù)線性方程  2.4 算子法和Laplace變換法  2.5 線性方程組的一般理論  2.6 二階線性方程的邊值問題第三章 常微分方程基本理論  3.1 Picard存在惟一性定理  3.2 解的延伸  3.3 比較定理、Gronwall不等式  3.4 解關(guān)于參數(shù)、初值的連續(xù)性、連續(xù)可微性  3.5 Peano定理、Osgood條件  3.6 不動點定理與解的存在性第四章 冪級數(shù)解法  4.1 Picard冪級數(shù)解法  4.2 廣義冪級數(shù)解法第五章 定性理論初步  5.1 自治系統(tǒng)  5.2 平面自治系統(tǒng)的奇點  5.3 平面自治系統(tǒng)的極限環(huán)  5.4 Lyapunov穩(wěn)定性  5.5 Lyapunov直接方法  5.6 Lyapunov函數(shù)的存在性  5.7 一次近似理論第六章 一階偏微分方程  6.1 引論  6.2 一階齊次線性偏微分方程  6.3 一階擬線性偏微分方程參考文獻

章節(jié)摘錄

插圖：

編輯推薦

人類的文明進步和社會發(fā)展，無時無刻不受到數(shù)學(xué)的恩惠和影響，數(shù)學(xué)科學(xué)的應(yīng)用和發(fā)展牢固地奠定了它作為整個科學(xué)技術(shù)乃至許多人文學(xué)科的基礎(chǔ)的地位，當(dāng)今時代，數(shù)學(xué)正突破傳統(tǒng)的應(yīng)用范圍向幾乎所有的人類知識領(lǐng)域滲透，它和其他學(xué)科的交互作用空前活躍，越來越直接地為人類物質(zhì)生產(chǎn)與日常生活作出貢獻，也成為其掌握者打開眾多機會大門的鑰匙。    常微分方程是一門歷史悠久的學(xué)科，幾乎與微積分同時誕生，至今已有300多年的歷史，是數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)和解析幾何的應(yīng)用和發(fā)展，也是解決物理，力學(xué)、經(jīng)濟等學(xué)科和工程技術(shù)問題的有力手段。大學(xué)本科學(xué)生通過這門必修基礎(chǔ)課的學(xué)習(xí)，正確掌握常微分方程的各種基本概念和處理微分方程問題的思維方法，能進一步理解前述三門課程中的概念和方法，提高應(yīng)用能力，為后繼的學(xué)習(xí)和研究打下堅實的基礎(chǔ)。    《常微分方程》介紹常微分方程理論中的一螳最主要的問題，以及求解常微分方程的一些最基本的方法，在編寫中注重開拓讀者思路，在許多知識點的講授中，能針對同一問題提供視角不同的多種方法；在關(guān)于方程解的基本性質(zhì)的講授中，嘗試直接利用方程本身和已知結(jié)果進行研究；在關(guān)于閉軌線存在性和Lyapunov穩(wěn)定性等的講授中，注重從幾何或力學(xué)的角度來分析和闡述問題。

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