常微分方程

前言

基于近幾年來的教學實踐，在復旦大學數學科學學院領導和復旦大學出版社的持續(xù)關心下，我們編寫了這本教材，復旦大學數學系曾在1962年、1984年相繼出版了《常微分方程》教材，在構思本書的整體框架時，我們既遵循了1984年版本的基本結構，同時也參考了國內外其他的常微分方程教材。    近年來，一些學校對本科數學類專業(yè)的教學計劃進行了調整，這樣，在大學本科第三學期開設常微分方程課程時，學生尚未完全掌握所需的數學分析和高等代數的一些基礎知識，這為常微分方程課程教學方案的順利實施帶來了一定的困難，為解決這些困難，本教材作了一些相應的技術性處理。    開拓讀者的思路始終是編寫本教材的一個重要考量，因此，在許多知識點的講授中，針對同一問題我們提供了視角不同的多種方法，例如，本教材對高階常系數齊次線性方程通解公式的證明，列出了體現不同重要思想的3種方法；給出了多種不同的方法計算eAt；還給出了多種可能的構造Iyapunov函數的方法，很多方法看似簡單，但其中往往包含了樸素而重要的思想，教師在制定教學方案時，可以考慮選講其中一部分，而將其余的內容留作學生自習。    此外，在關于方程解的基本性質的講授中，我們嘗試了直接利用方程本身和己知結果進行研究的方法．例如，利用比較定理和Gronwall不等式給出方程解的估計，并以此證明方程解對參數的連續(xù)依賴性和可微性，在Peano定理的證明中，體現了以“好”的方程逼近“差”的方程的思想．在關于閉軌線存在性和Lyapunov穩(wěn)定性等知識點的講授中，我們更多地從幾何或力學的角度分析和闡述了問題，我們期望，學生通過學習這些知識點，能夠深入理解和掌握解決問題的思想方法，從而為后繼課程的學習打下一個扎實的基礎。

內容概要

本書主要介紹了常微分方程的初等解法、基本理論和穩(wěn)定性理論初步。具體包括：常微分方程的初等解法、線性常微分方程組、高階常系數線性方程、常微分方程的冪級數解法、常微分方程基本理論、常微分方程定性理論初步和一階偏微分方程。    本書在編寫中注重開拓讀者思路，在許多知識點的講授中，能針對同一問題提供視角不同的多種方法；在關于方程解的基本性質的講授中，嘗試直接利用方程本身和已知結果進行研究；在關于閉軌線存在性和 Lyapunov穩(wěn)定性等的講授中，注重從幾何或力學的角度來分析和闡述問題。    本書可以作為數學類各專業(yè)常微分方程課程的教學用書或參考書，對其他理工科學生學習常微分方程理論也具有參考價值。

書籍目錄

第0章 緒論第一章 常微分方程的初等解法  1.1 分離變量法  1.2 一階線性方程  1.3 恰當方程、積分因子法  1.4 初等變換法  1.5 一階隱式方程  1.6 高階方程的降階  1.7 微分方程組、首次積分第二章 線性常微分方程組  2.1 常系數線性方程組  2.2 eAt的計算  2.3 高階常系數線性方程  2.4 算子法和Laplace變換法  2.5 線性方程組的一般理論  2.6 二階線性方程的邊值問題第三章 常微分方程基本理論  3.1 Picard存在惟一性定理  3.2 解的延伸  3.3 比較定理、Gronwall不等式  3.4 解關于參數、初值的連續(xù)性、連續(xù)可微性  3.5 Peano定理、Osgood條件  3.6 不動點定理與解的存在性第四章 冪級數解法  4.1 Picard冪級數解法  4.2 廣義冪級數解法第五章 定性理論初步  5.1 自治系統(tǒng)  5.2 平面自治系統(tǒng)的奇點  5.3 平面自治系統(tǒng)的極限環(huán)  5.4 Lyapunov穩(wěn)定性  5.5 Lyapunov直接方法  5.6 Lyapunov函數的存在性  5.7 一次近似理論第六章 一階偏微分方程  6.1 引論  6.2 一階齊次線性偏微分方程  6.3 一階擬線性偏微分方程參考文獻

章節(jié)摘錄

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編輯推薦

人類的文明進步和社會發(fā)展，無時無刻不受到數學的恩惠和影響，數學科學的應用和發(fā)展牢固地奠定了它作為整個科學技術乃至許多人文學科的基礎的地位，當今時代，數學正突破傳統(tǒng)的應用范圍向幾乎所有的人類知識領域滲透，它和其他學科的交互作用空前活躍，越來越直接地為人類物質生產與日常生活作出貢獻，也成為其掌握者打開眾多機會大門的鑰匙。    常微分方程是一門歷史悠久的學科，幾乎與微積分同時誕生，至今已有300多年的歷史，是數學分析、高等代數和解析幾何的應用和發(fā)展，也是解決物理，力學、經濟等學科和工程技術問題的有力手段。大學本科學生通過這門必修基礎課的學習，正確掌握常微分方程的各種基本概念和處理微分方程問題的思維方法，能進一步理解前述三門課程中的概念和方法，提高應用能力，為后繼的學習和研究打下堅實的基礎。    《常微分方程》介紹常微分方程理論中的一螳最主要的問題，以及求解常微分方程的一些最基本的方法，在編寫中注重開拓讀者思路，在許多知識點的講授中，能針對同一問題提供視角不同的多種方法；在關于方程解的基本性質的講授中，嘗試直接利用方程本身和已知結果進行研究；在關于閉軌線存在性和Lyapunov穩(wěn)定性等的講授中，注重從幾何或力學的角度來分析和闡述問題。

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