泛函分析教程

前言

　　本書第一版問世至今，4個年頭已過去了。在此期間，承蒙讀者厚愛，作者獲得了不少有關本書的信息反饋。其中既有粗線條的對全書風格的總體評議，也有細致入微的關于某些章節(jié)處理方法的探討商酌。這些意見和建議對作者啟發(fā)頗大。同時期，作者以此書為藍本，又先后為幾屆研究生講授泛函分析。教學相長，在使用過程中對全書的修訂形成了明確的思路。　　本書的整體框架由兩部分組成：前3章和第四章第一節(jié)的內容適用于基礎泛函分析的教學，其余部分則可根據(jù)各數(shù)學分支應用的需要作為選修的材料。教學實踐表明以這兩個部分各對應于一學期每周3學時的教學，大致是合理妥當?shù)?。修訂后的第二版并不改變原教材的編寫宗旨、結構框架和主要內容，因為原書的特色正是通過它們體現(xiàn)出來的。只是第一版由于編寫時間拖得較長，以致前后不盡協(xié)調，個別概念重復出現(xiàn)，部分材料稍嫌粗糙，忽略了幾個知識點，還有若干內容缺少深入的分析與實例。感謝出版社為本書提供了再版的機會，使我得以比較從容地對全書材料作統(tǒng)一的疏理。在修訂過程中，作者補充了一些基本概念，如Banach空間的Schauder基，算子的本質譜等，使相關內容更系統(tǒng)、更完整；增加了一些具體例子，如作為無界自伴算子的乘法算子，Urysohn算子的全連續(xù)性等，使抽象概念更直觀、更充實；同時，還改善了若干證明，使邏輯推理更簡潔、更嚴密；此外，還調整了一些習題，使訓練更有針對性。修訂的筆墨散見于全書，其目的是使這本教材更適于教、便于學，有利于實際教學過程，有效地提升原書的質量。作者深知一本成熟的教材須久經錘煉，因而仍然殷切地期望同行和同學們一如既往，不吝指正，以期通過共同努力，從教材建設著手，進一步提高研究生基礎課的教學水平。

內容概要

21世紀復旦大學研究生教學用書。

書籍目錄

第一章　線性泛函分析基礎1.1　拓撲空間1.1.1　拓撲空間的概念1.1.2　網1.1.3　連續(xù)映射1.1.4　距離空間1.1.5　距離空間的完備性1.2　拓撲線性空間1.2.1　拓撲線性空間的概念1.2.2　賦準范線性空間1.2.3　賦范線性空間1.2.4　內積空間1.2.5　一致凸空間和嚴格凸空間1.3　緊性1.3.1　緊集的概念1.3.2　緊集上的連續(xù)映射1.3.3　Zorn引理1.3.4　緊空間的乘積空間1.3.5　Stone-Weierstrass定理1.3.6　距離空間中的列緊集與完全有界集1.3.7　有限維賦范線性空間的特征1.3.8　Banach-Alaoglu定理1.3.9　Hilbert空間單位球的弱緊性1.4　Hahn-Banach定理及其幾何形式1.4.1　線性空間上線性泛函的延拓1.4.2　賦范線性空間上連續(xù)線性泛函的延拓1.4.3　自反空間1.4.4　連續(xù)線性泛函保范延拓的唯一性1.4.5　凸集的分離性1.4.6　端點、Krein-Milman定理1.5　線性算子基本定理1.5.1　開映射定理1.5.2　逆算子定理和范數(shù)等價定理1.5.3　閉圖像定理1.5.4　共鳴定理1.5.5　應用1.5.6　Schauder基1.5.7　點列的收斂性1.5.8　泛函序列和算子序列的收斂性習題第二章　譜論Ⅰ：Banach空間上的緊算子及Fredholm算子2.1　Banach代數(shù)中元素的譜2.1.1　代數(shù)和理想2.1.2　賦范代數(shù)2.1.3　Banach代數(shù)中元素的譜2.2　線性算子的譜2.2.1　線性算子譜的概念2.2.2　線性算子譜的分類2.2.3　近似譜點2.2.4　共軛算子及共軛算子的譜2.3　緊算子2.3.1　有限秩算子2.3.2　緊算子的概念2.3.3　緊算子的Ricsz-Schauder理論2.3.4　Banach空間的直和分解2.3.5　緊算子的Ricsz-Schauder理論(續(xù))2.4　Fredholm算子2.4.1　Fredholm算子的概念2.4.2　Fredholm算子的性質習題第三章　譜論Ⅱ：Hilbert空間上的正規(guī)算子3.1　Banach代數(shù)的Gelfand表示3.1.1　可乘線性泛函3.1.2　Gclfand表示3.1.3　極大理想空間3.2　C*代數(shù)3.2.1　C*代數(shù)的概念3.2.2　C*代數(shù)中的正規(guī)元3.2.3　Gelfand-Naimark定理3.2.4　GNS構造3.3　譜測度和譜積分3.3.1　投影算子3.3.2　譜測度與譜積分3.3.3　譜系3.4　Hilbert空間上正規(guī)算子的譜分解3.4.1　譜定理與函數(shù)演算3.4.2　函數(shù)演算的擴充3.4.3　正規(guī)算子的譜分解定理3.4.4　正規(guī)算子的譜3.4.5　Hilbert空間上緊算子的結構3.4.6　正規(guī)算子的本質譜3.4.7　von Neumann代數(shù)習題第四章　無界算子4.1　對稱算子和自伴算子4.1.1　稠定算子的共軛算子4.1.2　對稱算子與自伴算子的概念4.1.3　算子的圖像4.1.4　對稱算子為自伴算子的條件4.1.5　自伴算子的譜4.1.6　Cayley變換4.1.7　無界函數(shù)的譜積分4.1.8　自伴算子的譜分解定理4.1.9　L2(-∞，+∞)上的乘法算子4.2　對稱算子的自伴擴張4.2.1　閉對稱算子的虧指數(shù)4.2.2　正定雙線性泛函4.2.3　半有界算子的Friedrichs擴張定理4.3　自伴算子的擾動4.3.1　可閉算子的擾動4.3.2　自伴算子的擾動4.3.3　自伴算子在擾動下的譜4.4　無界算子序列的收斂性4.4.1　預解意義下的收斂性4.4.2　圖意義下的收斂性習題第五章　算子半群5.1　向量值函數(shù)5.1.1　向量值函數(shù)的連續(xù)性5.1.2　向量值函數(shù)的可導性5.1.3　向量值函數(shù)的Ricmann積分5.1.4　向量值函數(shù)的可測性5.1.5　強可測與弱可測的關系5.1.6　算子值可測函數(shù)5.2　Bochner積分和Pettis積分5.2.1　Pettis積分5.2.2　Bochner積分5.2.3　Bochner積分的性質5.3　算子半群的概念5.3.1　算子半群概念的由來5.3.2　C0類算子半群5.3.3　算子半群的一些例子5.4　C0類算子半群的表示5.4.1　C0類算子半群無窮小母元的概念5.4.2　無窮小母元的預解式5.4.3　C0類算子半群的表示5.5　無窮小母元的特征5.5.1　C0類算子半群無窮小母元的特征5.5.2　標準型C0類算子半群母元的特征5.5.3　C0類壓縮半群母元的特征5.5.4　Hilben空間上C0類壓縮半群母元的特征5.6　單參數(shù)酉算子群、Stone定理5.6.1　單參數(shù)算子群的無窮小母元5.6.2　Stone定理5.6.3　Stone定理的應用：Bochner定理5.7　遍歷定理5.7.1　相空間上的保測變換5.7.2　Boltzmann遍歷假設5.7.3　不可壓縮穩(wěn)定流5.7.4　遍歷定理5.7.5　變換群的遍歷性習題第六章　無窮維空間的微分學6.1　映射的微分6.1.1　Gatcaux微分6.1.2　Frechet微分6.1.3　高階導數(shù)6.1.4　Taylor公式6.1.5　冪級數(shù)6.2　隱函數(shù)定理6.2.1　Cp映射與微分同胚6.2.2　隱函數(shù)的存在性6.2.3　隱函數(shù)的可微性6.3　泛函極值6.3.1　線性方程的解與二次泛函的極小問題6.3.2　泛函極值的必要條件6.3.3　泛函極值的存在性：下半弱連續(xù)條件6.3.4　最速下降法6.3.5　泛函極值的存在性：Palais-Smale條件習題第七章　拓撲度7.1　Brouwcr度7.1.1　C1類映射的拓撲度(非臨界點情形)7.1.2　3個引理7.1.3　C1類映射的拓撲度(一般情形)7.1.4　Brouwcr度7.1.5　Brouwcr度的性質7.2　Leray-Schauder度7.2.1　一個例子7.2.2　全連續(xù)映射7.2.3　Leray-Schauder度的定義7.2.4　Leray-Schauder度的性質7.3　不動點定理及其應用7.3.1　Brouwer不動點定理7.3.2　Schauder不動點定理7.3.3　非緊性測度7.3.4　集壓縮映射的不動點7.3.5　Kakutani不動點定理7.3.6　應用：代數(shù)學基本定理7.3.7　應用：不變子空間7.3.8　應用：對策論基本定理習題參考文獻

編輯推薦

　　《研究生教學用書·泛函分析教程》可作為基礎數(shù)學、應用數(shù)學、計算數(shù)學、運籌學與控制論、概率論與數(shù)理統(tǒng)計等數(shù)學類各專業(yè)方向的研究生學位課教材，也可供理工類相關專業(yè)的研究生以及自然科學工作者、工程技術人員參考使用。

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