出版時(shí)間:2008-2 出版社:復(fù)旦大學(xué)出版社 作者:童裕孫 頁(yè)數(shù):303
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前言
本書(shū)第一版問(wèn)世至今,4個(gè)年頭已過(guò)去了。在此期間,承蒙讀者厚愛(ài),作者獲得了不少有關(guān)本書(shū)的信息反饋。其中既有粗線條的對(duì)全書(shū)風(fēng)格的總體評(píng)議,也有細(xì)致入微的關(guān)于某些章節(jié)處理方法的探討商酌。這些意見(jiàn)和建議對(duì)作者啟發(fā)頗大。同時(shí)期,作者以此書(shū)為藍(lán)本,又先后為幾屆研究生講授泛函分析。教學(xué)相長(zhǎng),在使用過(guò)程中對(duì)全書(shū)的修訂形成了明確的思路?! ”緯?shū)的整體框架由兩部分組成:前3章和第四章第一節(jié)的內(nèi)容適用于基礎(chǔ)泛函分析的教學(xué),其余部分則可根據(jù)各數(shù)學(xué)分支應(yīng)用的需要作為選修的材料。教學(xué)實(shí)踐表明以這兩個(gè)部分各對(duì)應(yīng)于一學(xué)期每周3學(xué)時(shí)的教學(xué),大致是合理妥當(dāng)?shù)?。修訂后的第二版并不改變?cè)滩牡木帉?xiě)宗旨、結(jié)構(gòu)框架和主要內(nèi)容,因?yàn)樵瓡?shū)的特色正是通過(guò)它們體現(xiàn)出來(lái)的。只是第一版由于編寫(xiě)時(shí)間拖得較長(zhǎng),以致前后不盡協(xié)調(diào),個(gè)別概念重復(fù)出現(xiàn),部分材料稍嫌粗糙,忽略了幾個(gè)知識(shí)點(diǎn),還有若干內(nèi)容缺少深入的分析與實(shí)例。感謝出版社為本書(shū)提供了再版的機(jī)會(huì),使我得以比較從容地對(duì)全書(shū)材料作統(tǒng)一的疏理。在修訂過(guò)程中,作者補(bǔ)充了一些基本概念,如Banach空間的Schauder基,算子的本質(zhì)譜等,使相關(guān)內(nèi)容更系統(tǒng)、更完整;增加了一些具體例子,如作為無(wú)界自伴算子的乘法算子,Urysohn算子的全連續(xù)性等,使抽象概念更直觀、更充實(shí);同時(shí),還改善了若干證明,使邏輯推理更簡(jiǎn)潔、更嚴(yán)密;此外,還調(diào)整了一些習(xí)題,使訓(xùn)練更有針對(duì)性。修訂的筆墨散見(jiàn)于全書(shū),其目的是使這本教材更適于教、便于學(xué),有利于實(shí)際教學(xué)過(guò)程,有效地提升原書(shū)的質(zhì)量。作者深知一本成熟的教材須久經(jīng)錘煉,因而仍然殷切地期望同行和同學(xué)們一如既往,不吝指正,以期通過(guò)共同努力,從教材建設(shè)著手,進(jìn)一步提高研究生基礎(chǔ)課的教學(xué)水平。
內(nèi)容概要
21世紀(jì)復(fù)旦大學(xué)研究生教學(xué)用書(shū)。
書(shū)籍目錄
第一章 線性泛函分析基礎(chǔ)1.1 拓?fù)淇臻g1.1.1 拓?fù)淇臻g的概念1.1.2 網(wǎng)1.1.3 連續(xù)映射1.1.4 距離空間1.1.5 距離空間的完備性1.2 拓?fù)渚€性空間1.2.1 拓?fù)渚€性空間的概念1.2.2 賦準(zhǔn)范線性空間1.2.3 賦范線性空間1.2.4 內(nèi)積空間1.2.5 一致凸空間和嚴(yán)格凸空間1.3 緊性1.3.1 緊集的概念1.3.2 緊集上的連續(xù)映射1.3.3 Zorn引理1.3.4 緊空間的乘積空間1.3.5 Stone-Weierstrass定理1.3.6 距離空間中的列緊集與完全有界集1.3.7 有限維賦范線性空間的特征1.3.8 Banach-Alaoglu定理1.3.9 Hilbert空間單位球的弱緊性1.4 Hahn-Banach定理及其幾何形式1.4.1 線性空間上線性泛函的延拓1.4.2 賦范線性空間上連續(xù)線性泛函的延拓1.4.3 自反空間1.4.4 連續(xù)線性泛函保范延拓的唯一性1.4.5 凸集的分離性1.4.6 端點(diǎn)、Krein-Milman定理1.5 線性算子基本定理1.5.1 開(kāi)映射定理1.5.2 逆算子定理和范數(shù)等價(jià)定理1.5.3 閉圖像定理1.5.4 共鳴定理1.5.5 應(yīng)用1.5.6 Schauder基1.5.7 點(diǎn)列的收斂性1.5.8 泛函序列和算子序列的收斂性習(xí)題第二章 譜論Ⅰ:Banach空間上的緊算子及Fredholm算子2.1 Banach代數(shù)中元素的譜2.1.1 代數(shù)和理想2.1.2 賦范代數(shù)2.1.3 Banach代數(shù)中元素的譜2.2 線性算子的譜2.2.1 線性算子譜的概念2.2.2 線性算子譜的分類(lèi)2.2.3 近似譜點(diǎn)2.2.4 共軛算子及共軛算子的譜2.3 緊算子2.3.1 有限秩算子2.3.2 緊算子的概念2.3.3 緊算子的Ricsz-Schauder理論2.3.4 Banach空間的直和分解2.3.5 緊算子的Ricsz-Schauder理論(續(xù))2.4 Fredholm算子2.4.1 Fredholm算子的概念2.4.2 Fredholm算子的性質(zhì)習(xí)題第三章 譜論Ⅱ:Hilbert空間上的正規(guī)算子3.1 Banach代數(shù)的Gelfand表示3.1.1 可乘線性泛函3.1.2 Gclfand表示3.1.3 極大理想空間3.2 C*代數(shù)3.2.1 C*代數(shù)的概念3.2.2 C*代數(shù)中的正規(guī)元3.2.3 Gelfand-Naimark定理3.2.4 GNS構(gòu)造3.3 譜測(cè)度和譜積分3.3.1 投影算子3.3.2 譜測(cè)度與譜積分3.3.3 譜系3.4 Hilbert空間上正規(guī)算子的譜分解3.4.1 譜定理與函數(shù)演算3.4.2 函數(shù)演算的擴(kuò)充3.4.3 正規(guī)算子的譜分解定理3.4.4 正規(guī)算子的譜3.4.5 Hilbert空間上緊算子的結(jié)構(gòu)3.4.6 正規(guī)算子的本質(zhì)譜3.4.7 von Neumann代數(shù)習(xí)題第四章 無(wú)界算子4.1 對(duì)稱(chēng)算子和自伴算子4.1.1 稠定算子的共軛算子4.1.2 對(duì)稱(chēng)算子與自伴算子的概念4.1.3 算子的圖像4.1.4 對(duì)稱(chēng)算子為自伴算子的條件4.1.5 自伴算子的譜4.1.6 Cayley變換4.1.7 無(wú)界函數(shù)的譜積分4.1.8 自伴算子的譜分解定理4.1.9 L2(-∞,+∞)上的乘法算子4.2 對(duì)稱(chēng)算子的自伴擴(kuò)張4.2.1 閉對(duì)稱(chēng)算子的虧指數(shù)4.2.2 正定雙線性泛函4.2.3 半有界算子的Friedrichs擴(kuò)張定理4.3 自伴算子的擾動(dòng)4.3.1 可閉算子的擾動(dòng)4.3.2 自伴算子的擾動(dòng)4.3.3 自伴算子在擾動(dòng)下的譜4.4 無(wú)界算子序列的收斂性4.4.1 預(yù)解意義下的收斂性4.4.2 圖意義下的收斂性習(xí)題第五章 算子半群5.1 向量值函數(shù)5.1.1 向量值函數(shù)的連續(xù)性5.1.2 向量值函數(shù)的可導(dǎo)性5.1.3 向量值函數(shù)的Ricmann積分5.1.4 向量值函數(shù)的可測(cè)性5.1.5 強(qiáng)可測(cè)與弱可測(cè)的關(guān)系5.1.6 算子值可測(cè)函數(shù)5.2 Bochner積分和Pettis積分5.2.1 Pettis積分5.2.2 Bochner積分5.2.3 Bochner積分的性質(zhì)5.3 算子半群的概念5.3.1 算子半群概念的由來(lái)5.3.2 C0類(lèi)算子半群5.3.3 算子半群的一些例子5.4 C0類(lèi)算子半群的表示5.4.1 C0類(lèi)算子半群無(wú)窮小母元的概念5.4.2 無(wú)窮小母元的預(yù)解式5.4.3 C0類(lèi)算子半群的表示5.5 無(wú)窮小母元的特征5.5.1 C0類(lèi)算子半群無(wú)窮小母元的特征5.5.2 標(biāo)準(zhǔn)型C0類(lèi)算子半群母元的特征5.5.3 C0類(lèi)壓縮半群母元的特征5.5.4 Hilben空間上C0類(lèi)壓縮半群母元的特征5.6 單參數(shù)酉算子群、Stone定理5.6.1 單參數(shù)算子群的無(wú)窮小母元5.6.2 Stone定理5.6.3 Stone定理的應(yīng)用:Bochner定理5.7 遍歷定理5.7.1 相空間上的保測(cè)變換5.7.2 Boltzmann遍歷假設(shè)5.7.3 不可壓縮穩(wěn)定流5.7.4 遍歷定理5.7.5 變換群的遍歷性習(xí)題第六章 無(wú)窮維空間的微分學(xué)6.1 映射的微分6.1.1 Gatcaux微分6.1.2 Frechet微分6.1.3 高階導(dǎo)數(shù)6.1.4 Taylor公式6.1.5 冪級(jí)數(shù)6.2 隱函數(shù)定理6.2.1 Cp映射與微分同胚6.2.2 隱函數(shù)的存在性6.2.3 隱函數(shù)的可微性6.3 泛函極值6.3.1 線性方程的解與二次泛函的極小問(wèn)題6.3.2 泛函極值的必要條件6.3.3 泛函極值的存在性:下半弱連續(xù)條件6.3.4 最速下降法6.3.5 泛函極值的存在性:Palais-Smale條件習(xí)題第七章 拓?fù)涠?.1 Brouwcr度7.1.1 C1類(lèi)映射的拓?fù)涠?非臨界點(diǎn)情形)7.1.2 3個(gè)引理7.1.3 C1類(lèi)映射的拓?fù)涠?一般情形)7.1.4 Brouwcr度7.1.5 Brouwcr度的性質(zhì)7.2 Leray-Schauder度7.2.1 一個(gè)例子7.2.2 全連續(xù)映射7.2.3 Leray-Schauder度的定義7.2.4 Leray-Schauder度的性質(zhì)7.3 不動(dòng)點(diǎn)定理及其應(yīng)用7.3.1 Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理7.3.2 Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理7.3.3 非緊性測(cè)度7.3.4 集壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)7.3.5 Kakutani不動(dòng)點(diǎn)定理7.3.6 應(yīng)用:代數(shù)學(xué)基本定理7.3.7 應(yīng)用:不變子空間7.3.8 應(yīng)用:對(duì)策論基本定理習(xí)題參考文獻(xiàn)
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