數(shù)學(xué)分析（上下冊(cè)）

前言

復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系的數(shù)學(xué)分析教材從20世紀(jì)60年代起出版了幾種版本，隨著改革開放和對(duì)外交流的發(fā)展，現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)和方法融入數(shù)學(xué)分析教材是必然的趨勢(shì)。20世紀(jì)90年代初由歐陽光中和姚允龍編寫的《數(shù)學(xué)分析》（以下稱原書，由復(fù)旦大學(xué)出版社出版）由于其獨(dú)特的風(fēng)格深受讀者歡迎，被許多學(xué)校選用作為教材或教學(xué)參考書，也為其他教材提供了參考，迄今為止已經(jīng)三次重印。近年來，原書在復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系多次使用，取得了很好的教學(xué)效果，深受廣大學(xué)生歡迎。在教學(xué)過程中，通過對(duì)教材不斷地改進(jìn)，又積累了很多新的經(jīng)驗(yàn)，得到了各方同仁建議性意見，同時(shí)對(duì)照國內(nèi)外同類教材的發(fā)展方向，以及21世紀(jì)數(shù)學(xué)分析課程對(duì)教學(xué)的要求，本著學(xué)生易學(xué)、教師易教的宗旨對(duì)原書進(jìn)行了重新編寫。本書繼續(xù)保持了原書的基本特色，對(duì)上下冊(cè)風(fēng)格進(jìn)行了協(xié)調(diào)，并進(jìn)一步簡(jiǎn)化一些重要結(jié)論的證明，將現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一些重要工具引入數(shù)學(xué)分析課程，為讀者進(jìn)一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)打好基礎(chǔ)。本書的重要特點(diǎn)是理論體系完整，對(duì)所有重要結(jié)論都給出了嚴(yán)格的證明；對(duì)數(shù)學(xué)分析教材中的一系列難點(diǎn)問題的講述進(jìn)行了系統(tǒng)的改進(jìn)，提出了許多新的思想和方法。本書對(duì)數(shù)學(xué)分析教材進(jìn)行的創(chuàng)新工作主要包括：1。提出用QD10函數(shù)建立實(shí)數(shù)系的新方法，使得實(shí)數(shù)系理論處理變得非常簡(jiǎn)明，學(xué)生也容易接受。2。在不涉及圓周長(zhǎng)和圓面積的前提下，用數(shù)列極限定義了圓周率，克服了傳統(tǒng)教材與圓周長(zhǎng)相互循環(huán)定義之嫌，嚴(yán)格化了重要極限lim的證明。3。在積分理論中，不論是定積分還是重積分，我們都引入并證明了Rie－mann積分中的最深刻結(jié)論：函數(shù)Riemann可積的充要條件是有界幾乎處處連續(xù)。我們引入了零測(cè)度集和幾乎處處連續(xù)等概念，并且簡(jiǎn)化了相應(yīng)結(jié)論的證明和Riemann積分的討論。4。給出了全新的無窮限積分順序交換定理。5。作為選用章節(jié)，我們引進(jìn)了經(jīng)過數(shù)學(xué)分析化的Lebesgue積分理論。僅用了一章的篇幅，使用了嶄新的方法介紹了Lebesgue積分以及各種極限理論和Lebesgue測(cè)度，所需知識(shí)只是初等微積分，容易為初學(xué)者接受。本書的Lebesgue積分理論不僅是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)強(qiáng)有力工具，而且也是實(shí)變函數(shù)的一個(gè)重要應(yīng)用。這部分內(nèi)容銜接了數(shù)學(xué)分析和實(shí)變函數(shù)課程并填補(bǔ)了兩者之間的空白區(qū)域。當(dāng)然，這部分內(nèi)容即使不講，也不影響整個(gè)課程的完整性。6。嚴(yán)格化了廣義重積分的理論。7。簡(jiǎn)化了Cauchy收斂原理。本書還引進(jìn)了現(xiàn)代分析的觀點(diǎn)和概念，對(duì)下列內(nèi)容作了修改：1。將有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的三大定理合并為一條值域定理。2。用整體眼光來講授極值問題，尤其是Lagrange乘子法，克服了傳統(tǒng)教材過分強(qiáng)調(diào)局部的毛病。3。強(qiáng)調(diào)了集合論觀點(diǎn)處理問題的方法。4。引進(jìn)了可列集、零測(cè)度等概念。在教材內(nèi)容編排上，作了下述改進(jìn)：1。正文與習(xí)題緊連布排，改變傳統(tǒng)的只在章末安排習(xí)題的做法，為教師、學(xué)生針對(duì)性地選題帶來方便，章末主要安排了一些綜合性的習(xí)題。書末還附有參考答案。2。不同于用正項(xiàng)級(jí)數(shù)和變號(hào)級(jí)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)分類，采用絕對(duì)收斂和收斂為標(biāo)準(zhǔn)分類討論收斂性，更為科學(xué)合理。而傳統(tǒng)方法容易導(dǎo)致學(xué)生對(duì)變號(hào)級(jí)數(shù)使用等價(jià)量判別收斂性感到困惑。3。改變以往輕廣義積分重定積分的做法，加強(qiáng)了廣義積分的運(yùn)算。4。引進(jìn)了任意區(qū)間記號(hào)，使得許多結(jié)論的描述更為簡(jiǎn)潔。5。多重積分的變量代換公式的證明是傳統(tǒng)課程的難點(diǎn)?，F(xiàn)在修改為先講述曲面積分公式，由此輕而易舉地推出該公式，證明過程簡(jiǎn)潔明了。在實(shí)際教學(xué)中有關(guān)Lebesgue積分的內(nèi)容可以根據(jù)實(shí)際情況和教學(xué)計(jì)劃的要求由主講講師決定取舍。希望本書的出版能受到廣大讀者歡迎，并能對(duì)于數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)研究和教學(xué)改革起到一點(diǎn)推進(jìn)作用。應(yīng)讀者的意見和建議，本書所有習(xí)題提供了參考性的解答。最后，感謝教育部對(duì)于本書的資助，并將本書列入普通高等教育“十五”國家級(jí)規(guī)劃教材。感謝復(fù)旦大學(xué)教務(wù)處、復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系領(lǐng)導(dǎo)和同仁的幫助，感謝復(fù)旦大學(xué)出版社范仁梅女士對(duì)本書提出了很好的建議以及對(duì)本書的出版的大力支持。本書上冊(cè)及第26章由姚允龍編寫，下冊(cè)原作者歐陽光中，第16章到第20章由周淵負(fù)責(zé)改寫，第21章到第25章由姚允龍改寫，習(xí)題參考答案由周淵提供。本書作為“十五”國家級(jí)規(guī)劃教材敬獻(xiàn)給復(fù)旦大學(xué)，謹(jǐn)以此賀母校百年校慶。

內(nèi)容概要

本書是作者在20世紀(jì)90年代初編寫的同名教材的基礎(chǔ)上，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，進(jìn)行了更為全面的探索和改革，經(jīng)過了大量的教學(xué)研究，并參閱了國內(nèi)外最新出版的教材后編寫的。全書體系結(jié)構(gòu)的安排充分考慮了教學(xué)效果的需要，而且增加了現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析的一些方法和內(nèi)容。為了幫助讀者深入理解有關(guān)的概念和方法，行文中不時(shí)穿插了許多啟發(fā)讀者思考的練習(xí)，每章后還附有精選的習(xí)題。為了方便讀者使用本書，在書末提供了較為詳細(xì)的習(xí)題解答。本書主要內(nèi)容是極限理論、實(shí)數(shù)系基本理論、一元微積分學(xué)、級(jí)數(shù)論、多元微積分學(xué)、曲線曲面積分、含參變量積分以及Lebesgue積分初步等。   本書適用于數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、管理科學(xué)等專業(yè)學(xué)生作為數(shù)學(xué)分析課程的教材，可以作為相應(yīng)專業(yè)學(xué)生報(bào)考研究生的輔導(dǎo)書或參考書，也可以作為其他科技人員自學(xué)數(shù)學(xué)分析的讀本。

書籍目錄

第一章 集合　1．1 集合　1．2 數(shù)集及其確界第二章 數(shù)列極限　2．1 數(shù)列極限　2．2 數(shù)列極限（續(xù)）　2．3 單調(diào)數(shù)列的極限　2．4 子列第三章 映射與實(shí)函數(shù)　3．1 映射　3．2 一元實(shí)函數(shù)　3．3 函數(shù)的幾何特性第四章 函數(shù)極限和連續(xù)性　4．1 函數(shù)極限　4．2 函數(shù)極限的性質(zhì)　4．3 無窮小量、無窮大量和有界量第五章 連續(xù)函數(shù)和單調(diào)函數(shù)　5．1 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)　5．2 區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)　5．3 單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)第六章 導(dǎo)數(shù)和微分　6．1 導(dǎo)數(shù)概念　6．2 求導(dǎo)法則　6．3 高階導(dǎo)數(shù)和其他求導(dǎo)法則　6．4 微分 第七章 微分學(xué)基本定理及應(yīng)用　7．1 微分中值定理　7．2 Taylor展開式及應(yīng)用　7．3 L'Hospital法則及應(yīng)用第八章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用　8．1 判別函數(shù)的單調(diào)性　8．2 尋求極值和最值　8．3 函數(shù)的凸性　8．4 函數(shù)作圖　8．5 向量值函數(shù)第九章 積分　9．1 不定積分　9．2 不定積分的換元法和分部積分法　9．3 定積分　9．4 可積函數(shù)類R［a，b］　9．5 定積分性質(zhì)　9．6 廣義積分　9．7 定積分與廣義積分的計(jì)算　9．8 若干初等可積函數(shù)類第十章 定積分的應(yīng)用　10．1 平面圖形的面積　10．2 曲線的弧長(zhǎng)　10．3 旋轉(zhuǎn)體的體積和側(cè)面積　10．4 物理應(yīng)用　10．5 近似求積第十一章 極限論及實(shí)數(shù)理論的補(bǔ)充　11．1 Cauchy收斂準(zhǔn)則及迭代法　11．2 上極限和下極限　11．3 實(shí)數(shù)系基本定理第十二章 級(jí)數(shù)的一般理論　12．1 級(jí)數(shù)的斂散性　12．2 絕對(duì)收斂的判別法　12．3 收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)　12．4 Abel-Dirichlet判別法　12．5 無窮乘積第十三章 廣義積分的斂散性　13．1 廣又積分的絕對(duì)收斂性判別法　13．2 廣義積分的Abel-Dirichlet判別法第十四章 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及冪級(jí)數(shù)　14．1 一致收斂性　14．2 一致收斂性的判別　14．3 一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)　14．4 冪級(jí)數(shù)　14．5 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開第十五章 Fourier級(jí)數(shù)　15．1 Fourier級(jí)數(shù)　15．2 Fourier級(jí)數(shù)的收斂性　15．3 Fourier級(jí)數(shù)的性質(zhì)　15．4 用分項(xiàng)式逼近連續(xù)函數(shù)第十六章 Euclid空間上的點(diǎn)集拓?fù)洹?6．1 Euclid空間上點(diǎn)集拓?fù)涞幕靖拍睢?6．2 Euclid空間上點(diǎn)集拓?fù)涞幕径ɡ淼谑哒?Euclid空間上映射的極限和連續(xù)　17．1 多元函數(shù)的極限和連續(xù)　17．2 Euclid空間上的映射　17．3 連續(xù)映射第十八章 偏導(dǎo)數(shù)　18．1 偏導(dǎo)數(shù)和全微分　18．2 鏈?zhǔn)椒▌t第十九章 隱函數(shù)存在定理和隱函數(shù)求導(dǎo)法　19．1 隱函數(shù)的求導(dǎo)法　19．2 隱函數(shù)存在定理第二十章 偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用　20．1 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用　20．2 方向?qū)?shù)和梯度　20．3 Taylor公式　20．4 極值　20．5 Logrange乘子法　20．6 向量值函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)第二十一章 重積分　21．1 矩形上的二重積分　21．2 有界集上的二重積分　21．3 二重積分的變量代換及曲面的面積　21．4 三重積分、n重積分的例子第二十二章 廣義重積分　22．1 無界集上的廣義重積分　22．2 無界函數(shù)的重積分第二十三章 曲線積分　23．1 第一類曲線積分　23．2 第二類曲線積分　23．3 Green公式　23．4 Green定理第二十四章 曲面積分　24．1 第一類曲面積分　24．2 第二類曲面積分　24．3 Gauss公式　24．4 Stokes公式　24．5 場(chǎng)論初步第二十五章 含參變量的積分　25．1 含參變量的常義積分　25，2 含參變量的廣義積分　25．3 B函數(shù)和 函數(shù)第二十六章 Lebesgue積分　26．1 可測(cè)函數(shù)　26．2 若干預(yù)備定理　26．3 Lebesgue積分　26．4（L）積分存在的充分必要條件　26．5 三大極限定理　26．6 可測(cè)集及其測(cè)度　26．7 Fubini定理練習(xí)及習(xí)題解答

章節(jié)摘錄

插圖：

編輯推薦

人類的文明進(jìn)步和社會(huì)發(fā)展，無時(shí)無刻不受到數(shù)學(xué)的恩惠和影響，數(shù)學(xué)科學(xué)的應(yīng)用和發(fā)展牢固地奠定了它作為整個(gè)科學(xué)技術(shù)乃至許多人文學(xué)科的基礎(chǔ)的地位。當(dāng)今時(shí)代，數(shù)學(xué)正突破傳統(tǒng)的應(yīng)用范圍向幾乎所有的人類知識(shí)領(lǐng)域滲透，它和其他學(xué)科的交互作用空前活躍，越來越直接地為人類物質(zhì)生產(chǎn)與日常生活作出貢獻(xiàn)，也成為其掌握者打開眾多機(jī)會(huì)大門的鑰匙。數(shù)學(xué)分析的形成和發(fā)展是由于物理學(xué)、天文學(xué)、幾何學(xué)等研究領(lǐng)域的進(jìn)展和突破。數(shù)學(xué)思想的自如應(yīng)用、數(shù)學(xué)研究的準(zhǔn)確抽象、數(shù)學(xué)邏輯的嚴(yán)格推理、數(shù)學(xué)思考的巧妙方法、數(shù)學(xué)符號(hào)的熟練演算等對(duì)數(shù)學(xué)人才的要求使數(shù)學(xué)分析成為數(shù)學(xué)訓(xùn)練的重要基礎(chǔ)課程?！稊?shù)學(xué)分析(上下)》用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想和方法，對(duì)數(shù)學(xué)分析的傳統(tǒng)教材進(jìn)行了系統(tǒng)的改革，引進(jìn)了一些最新的敘述與處理方法，使得更便于學(xué)生理解、掌握數(shù)學(xué)分析的精髓，從而更便于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)接軌。

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