微分方程數(shù)值解法

前言

　　多年之前，我系計算數(shù)學(xué)教研室就籌劃編寫一套新的專業(yè)基礎(chǔ)課教材，在90年代初正式用于本科生的教學(xué)。由于時間變遷、條件變化、人員變更，幾經(jīng)周折，至今才得以畫上一個句號（本套教材的另外兩本為曹志浩編著的《數(shù)值線性代數(shù)》和蔣爾雄、趙風(fēng)光編著的《數(shù)值逼近》，已分別于1996年6月和1996年7月出版）。　　用數(shù)值方法求解微分方程問題幾乎是與微分方程一同出現(xiàn)的，其歷史可追溯到約一個半世紀(jì)之前。到本世紀(jì)中葉以后，由于微分方程本身的理論研究的深入發(fā)展，更兼之本世紀(jì)最重要的科學(xué)發(fā)明--電子計算機(jī)的問世，這方面的研究進(jìn)入了一個蓬蓬勃勃發(fā)展的新局面，至今依然方興未艾，基于各種新型的超級并行計算機(jī)的新思想、新算法層出不窮，同時，大量通用和專用的計算軟件也組成了一個琳瑯滿目的新天地。　　當(dāng)然，作為一門專業(yè)基礎(chǔ)課的教材，我們沒有必要，也沒有可能把這些內(nèi)容包羅萬象地列入本書中。本教材旨在通過對一些典型問題和典型算法的剖析，使學(xué)生循序漸進(jìn)地掌握本課程的基礎(chǔ)理論和分析解決問題的基本思路和技巧，為今后解決實際問題或進(jìn)入深層次的專門研究奠定良好的基礎(chǔ)。　　本書主要由三大板塊組成：常微分方程及邊值問題的差分方法（第二章、第三章、第四章）、發(fā)展方程的差分方法（第五章）、有限元方法（第六章、第七章）。為了使學(xué)生開闊視野，了解本學(xué)科的發(fā)展現(xiàn)狀，我們也適度介紹了一些當(dāng)前的最新成果（主要集中在第八章）。材料的詳略、取舍以及展開的方式、次序都根據(jù)其他相關(guān)課程的進(jìn)度和講授內(nèi)容的變更，以及當(dāng)今計算機(jī)軟硬件的發(fā)展現(xiàn)狀，作了一些新的探索，許多地方融會了我們以及同事們的講課體驗和研究心得。

內(nèi)容概要

　　《微分方程數(shù)值解法》是大學(xué)本科計算數(shù)學(xué)及其應(yīng)用軟件專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課教材，主要討論了微分方程的數(shù)值求解問題，內(nèi)容包括常微分方程與邊值問題的差分方法、發(fā)展方程的差分方法、變分問題和有限元方法等方面的基本理論與典型算法分析，并適度介紹了該領(lǐng)域當(dāng)前最新的研究成果，如超收斂、多重網(wǎng)格法、區(qū)域分裂法等，還精選了部分規(guī)模適中、緊扣教材的計算實習(xí)題，以加強(qiáng)學(xué)生理論聯(lián)系實際的能力?！　　段⒎址匠虜?shù)值解法》也可作為綜合性大學(xué)理科及工科院校相應(yīng)專業(yè)的教材或教學(xué)參考書，對于計算數(shù)學(xué)工作者、從事科學(xué)和工程計算的其他領(lǐng)域的科研人員也有參考的價值。

書籍目錄

前言第一章緒論§1微分方程§2數(shù)值求解微分方程的意義§3數(shù)值求解方法概述第二章常微分方程的初值問題§1常微分方程的若干理論§2單步方法§2.1從Euler方法談起§2.2高階單步方法的構(gòu)造§2.3高階單步方法的性態(tài)分析§2.4高階單步方法的計算§3線性多步方法§3.1 Adams方法和Gear方法§3.2一般線性多步方法的構(gòu)造§3.3線性多步方法的性態(tài)分析§3.4線性多步方法的計算§4微分方程組和剛性問題§4.1一階常微分方程組§4.2剛性問題§4.3剛性問題的數(shù)值方法習(xí)題計算實習(xí)第三章差分法解邊值問題§1解兩點邊值問題的差分方法§1.1差分格式的導(dǎo)出§1.2差分解的性態(tài)研究§1.3解差分方程組的追趕法§2解橢圓邊值問題的差分方法§2.1矩形網(wǎng)格§2.2邊界條件處理§2.3三角形網(wǎng)格§3橢圓差分方程的性態(tài)研究§3.1極值原理和解的存在唯一性§3.2差分解的收斂性和誤差估計§3.3五點差分格式的斂速估計習(xí)題計算實習(xí)第四章外推法§1外推法的引入§1.1用外推法進(jìn)行誤差估計§1.2一個簡單的例子§2展開式定理§3加速收斂§3.1多項式外推§3.2偶次冪余項的外推§4外推方法的應(yīng)用§4.1常微分方程初值問題--Euler方法§4.2常微分方程初值問題--中心差分格式§4.3有理外推法的執(zhí)行§4.4常微分方程兩點邊值問題習(xí)題計算實習(xí)第五章發(fā)展方程的差分方法§1幾個典型的發(fā)展方程§2擴(kuò)散方程的差分化§2.1擴(kuò)散方程的離散§2.2計算格式示例§2.3第一類混合問題差分方程的真解§3穩(wěn)定性分析§3.1穩(wěn)定性與收斂性§3.2 Lax等價原理§3.3穩(wěn)定性分析方法之一--直接法§3.4穩(wěn)定性分析方法之二--分離變量法§3.5穩(wěn)定性分析方法之三--最大模方法§3.6穩(wěn)定性分析方法之四--傳播因子法§3.7算例分析§3.8穩(wěn)定性的進(jìn)一步討論§4雙曲型方程的差分化和穩(wěn)定性§4.1對流方程的離散§4.2波動方程的離散§4.3穩(wěn)定性分析§4.4線性雙曲型方程組的差分化§5高維問題.§5.1高維發(fā)展方程的差分化§5.2交替方向迭代法習(xí)題計算實習(xí)第六章變分及泛函的極值問題§1變分問題§1.1從兩點邊值問題談起§1.2泛函和變分§1.3兩點邊值問題的變分形式§1.4橢圓型方程的變分形式§2泛函的極值問題§2.1與兩點邊值問題等價的泛函極值問題§2.2與橢圓型方程相應(yīng)的泛函極值問題§2.3極值問題與變分問題之間的聯(lián)系§3變分和泛函極值問題的近似求解§3.1變分和泛函極值問題的進(jìn)一步討論§3.2Ritz法§3.3 GaIerkin法習(xí)題計算實習(xí)第七章橢圓型方程的有限元解法§1解兩點邊值問題的有限元方法§1.1基于變分問題的有限元方法§1.2基于泛函極值問題的有限元方法§1.3有限元方法解兩點邊值問題的誤差估計§1.4高次形狀函數(shù)的有限元方程§2多角區(qū)域上橢圓型方程的有限元方法§2.1有限元方法解橢圓型方程的過程§2.2有限元方法解橢圓型方程的誤差估計§2.3面積坐標(biāo)§2.4高次形狀函數(shù)的有限元方程§3曲邊三角形和等參元§3.1光滑區(qū)域上的有限元方法§3.2等參元§4有限元方法的超收斂性質(zhì)簡介習(xí)題計算實習(xí)第八章多重網(wǎng)格法和區(qū)域分裂法簡介§1多重網(wǎng)格法簡介§1.1經(jīng)典迭代算法的缺陷§1.2多重網(wǎng)格法的基本思想§1.3多重網(wǎng)格法的格式§2區(qū)域分裂法簡介§2.1區(qū)域分裂法的思想§2.2加性Schwarz方法§2.3條件數(shù)估計附錄差分方程簡介習(xí)題

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