數(shù)學分析

前言

　　本書是針對有初等微積分基礎(chǔ)的大學一年級和二年級的學生編寫的，既可以作為教科書使用，也可以作為研究生入學考試和高等數(shù)學競賽的培訓(xùn)教材。除此之外，此書對廣大數(shù)學愛好者來說，也是一本實用性很強的參考書。全書共六章，主要內(nèi)容包括實數(shù)理論、數(shù)列與無窮級數(shù)、連續(xù)性、黎曼與斯蒂爾切斯積分、一致連續(xù)性和廣義積分。書中每一章均配有大量的例題和有一定難度的習題?！　≌憬髮W從2006年開始實行按大類招生的本科生培養(yǎng)計劃，在大學第一年，本科新生沒有確定專業(yè)方向，為了方便同學選課的一年后選專業(yè)，數(shù)學系一年級學生的數(shù)學分析、高等代數(shù)和解析幾何三門基礎(chǔ)課程和內(nèi)容被調(diào)整：原來需要一年半來講授的內(nèi)容壓縮到一年，許多結(jié)論和定理的詳細證明被忽略。本書彌補了理論推導(dǎo)和定理證明的不夠，因而，它不僅可以作為本科生第三學期數(shù)學分析教材，也可以作為第四學期提高班的輔導(dǎo)教材?！　∧壳笆忻嫔嫌懈鞣N版本的數(shù)學分析教材，且數(shù)學分析的內(nèi)容基本成型，因而編寫一本具有特色的教材并非易事。首先遇到的問題是材料的取舍和內(nèi)容的編排。本書的讀者具備初等微積分的基礎(chǔ)，使得編書時合理選材更加重要。我們從實數(shù)理論入手，選取重要的且能培養(yǎng)和提高讀者邏輯推理能力的結(jié)構(gòu)和定理作為本書的重要內(nèi)容。例如數(shù)列與級數(shù)，一致收斂性和廣義積分等，盡量做到所選內(nèi)容是數(shù)學分析的核心問題，避免出現(xiàn)后繼課程將要討論的課題。　　與一般數(shù)學分析教材不同的是，本書可作為研究生入學考試的輔導(dǎo)教材和大學生高等數(shù)學競賽的培訓(xùn)教材，對一般數(shù)學分析教材中的內(nèi)容作了推廣和加深，并精選了部分富有啟發(fā)性的例題和有一定難度的習題供讀者練習。獨立完成部分或全部習題，是讀者檢驗自己推理能力和提高學習效率的重要途徑，通過練習，可以加深對教材主要內(nèi)容的理解和掌握。　　本書講解力求由淺入深，難度坡度設(shè)置合理，語言表述在詳盡嚴謹?shù)耐瑫r努力做到通俗流暢，便于教師講解以及讀者學習和理解?！　≡诒緯木帉懫陂g，作者得到了許多的幫助和支持。我的同事，浙江大學數(shù)學系教師姜海益老師閱讀和校對了第五次校樣稿，同時提出了許多有價值的修改意見。我的研究生汪劉根、鮑群芳、楊晨、馬一寧和張碧原等同學參與了第四、五、六和第七次校稿，并幫助選配了部分習題。本書雖然經(jīng)過多次認真校對，但書中存在的不足和可能的謬誤概由編者負責。感謝浙江大學教務(wù)處、理學院本科生科在編寫過程中所給予的支持和幫助?！　「兄x浙江大學出版社的編輯徐素君、楊曉鳴提供的幫助。

內(nèi)容概要

　　《數(shù)學分析》主要內(nèi)容包括：實數(shù)系、數(shù)列與級數(shù)、連續(xù)性、微分與積分、一致收斂性、廣義積分。

書籍目錄

第一章 實數(shù)系1.1 整數(shù)1.2 有理數(shù)系1.3 有理數(shù)數(shù)列1.4 實數(shù)系1.5 無限小數(shù)方法簡介1.6 戴德金分劃簡介1.7 確界原理與實指數(shù)的乘冪1.8 實數(shù)的完備性和緊性1.9 實數(shù)的擴張——復(fù)數(shù)練習第二章 數(shù)列與級數(shù)2.1 數(shù)列的極限2.2 斯鐸茲定理及應(yīng)用2.3 上、下極限2.4 實數(shù)級數(shù)2.5 無窮乘積2.6 典型例子練習二第三章 連續(xù)性3.1 函數(shù)的極限和連續(xù)3.2 拓撲學初步3.3 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)3.4 間斷點3.5 半連續(xù)和有界變差函數(shù)3.6 p進制練習三第四章 微分與積分4.1 微分與中值定理4.2 洛必達法則與泰勒公式4.3 典型例題選講4.4 黎曼一斯蒂爾切斯積分4.5 不等式4.6 凸函數(shù)4.7 數(shù)e和7c4.8 多元函數(shù)練習四第五章 一致收斂性5.1 函數(shù)序列的一致收斂性5.2 收斂序列的性質(zhì)5.3 函數(shù)項級數(shù)及收斂性5.4 多項式逼近5.5 冪級數(shù)5.6 傅里葉級數(shù)5.7 等度連續(xù)性練習五第六章 廣義積分6.1 無限區(qū)間上的積分6.2 收斂性判別準則6.3 瑕積分6.4 廣義積分與級數(shù)6.5 有限區(qū)間上含參量積分6.6 含參變量的廣義積分6.7 一致收斂積分的性質(zhì)6.8 歐拉積分練習六參考書目

章節(jié)摘錄

　　微積分的一些基本結(jié)論，如數(shù)列的收斂性，函數(shù)的連續(xù)性、可微性和可積性等，都是建立在實數(shù)理論之上的，利用了實數(shù)所具有的性質(zhì)．例如，所有實數(shù)組成的集合R-實數(shù)系，關(guān)于加，減，乘，除（分母不為零）四種運算是封閉的，即對R中任意兩個元素，經(jīng)過這四種運算后仍然屬于R；實數(shù)系的另一重要性質(zhì)是R中的元素與數(shù)軸上的點是1-1對應(yīng)的．雖然有理數(shù)集合Q關(guān)于上述四種運算也是封閉的，且對Q中每一個元素都能在數(shù)軸上找到一點與之對應(yīng)，但反過來，在數(shù)軸上存在這樣的點，找不到有理數(shù)與它對應(yīng)．　　如果a表示邊長為1的正方形的對角線的長度，那么，這個數(shù)就無法用有理數(shù)來表示，這表明與口對應(yīng)的點位于有理數(shù)集合的“空隙”中．　　為了填補有理數(shù)在數(shù)軸上的空隙，自然的想法是擴充有理數(shù)系．由于有理數(shù)能表示成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，所以，擴充有理數(shù)集合的直接方式之一就是把所有無限不循環(huán)小數(shù)（稱為無理數(shù)）吸收進來，讓無理數(shù)填補有理數(shù)在數(shù)軸上的所有“空隙”．全體有理數(shù)和所有無理數(shù)組成的集合稱為實數(shù)系，并以有理數(shù)的四則運算為基礎(chǔ)，建立實數(shù)系的運算，這樣構(gòu)造出來的實數(shù)系不僅保留了有理數(shù)系的重要性質(zhì)，而且比有理數(shù)具有更多的性質(zhì)．　　在這一章中，我們將討論實數(shù)系的構(gòu)造和基本性質(zhì)，并證明實數(shù)系的幾個基本定理．

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