數(shù)學(xué)分析解題思想與方法

前言

　　“數(shù)學(xué)分析”是數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、信息與計(jì)算科學(xué)等專業(yè)的基礎(chǔ)課程，是上述各專業(yè)的考研必考課，其重要性不言而喻。但是學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，會(huì)遇到形形色色的困難。主要的困難是如何熟練地掌握數(shù)學(xué)分析的思想、方法和技巧。一方面數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)教材里往往只涉及最基礎(chǔ)和最核心的知識(shí)點(diǎn)；另一方面教學(xué)課時(shí)不斷受到壓縮，使得這門課程的整個(gè)長(zhǎng)達(dá)三至四個(gè)學(xué)期的教學(xué)過(guò)程顯得行色匆匆，學(xué)生疲于應(yīng)付，做了大量的題目卻可能仍不得要領(lǐng)。　　如何從更高的視角縱覽數(shù)學(xué)分析的概貌，梳理其間各個(gè)知識(shí)板塊的關(guān)聯(lián)與區(qū)別，如何去領(lǐng)悟有較高難度的解題思想，最終轉(zhuǎn)化為學(xué)者自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)？這是筆者在多年數(shù)學(xué)分析以及續(xù)論課程中百思而欲慢慢得其解的難題?！　【鸵郧髽O限這個(gè)數(shù)學(xué)分析的入門課題說(shuō)起吧。求極限怎么求是第一層問(wèn)題；極限本質(zhì)的N，語(yǔ)言的理解是第二層問(wèn)題，然后才說(shuō)得上求極限的高級(jí)、非常規(guī)技巧，比如從定積分去求和式極限，以及無(wú)窮級(jí)數(shù)和數(shù)列極限的關(guān)聯(lián)性；最后還要上升到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、含參變量廣義積分的一致收斂性。僅憑數(shù)學(xué)分析課程一晃而過(guò)的教學(xué)模式，學(xué)生往往學(xué)了后面忘了前面，更談不上知識(shí)的有機(jī)融匯。慢慢地，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析就蛻化為機(jī)械地記憶解題方法、被動(dòng)地應(yīng)試，而其中最為核心的對(duì)數(shù)學(xué)思維前因后果、來(lái)龍去脈之整體的了解和領(lǐng)悟反而淡化了。更無(wú)暇去欣賞數(shù)學(xué)的美。

內(nèi)容概要

　　《數(shù)學(xué)分析解題思想與方法》是大學(xué)數(shù)學(xué)分析課程的輔導(dǎo)用書，可用于數(shù)學(xué)分析課程的同步配套學(xué)習(xí)，也可作為報(bào)考碩士研究生讀者朋友的數(shù)學(xué)分析復(fù)習(xí)指導(dǎo)用書?！　∪珪譃榘苏?，內(nèi)容涉及極限、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)與微分、定積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)與無(wú)窮乘積、多元微分學(xué)、多元積分學(xué)以及含參變量積分。內(nèi)容的編排順序基本上和通用的數(shù)學(xué)分析教材吻合。在素材選取的深度、難度和寬泛度上，比一般的數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)教材有明顯的提升。對(duì)較基礎(chǔ)性的知識(shí)點(diǎn)，只是簡(jiǎn)要地加以介紹，而將重點(diǎn)放在解題思路的挖掘與提煉上?！稊?shù)學(xué)分析解題思想與方法》選取了較多有代表性的考研真題，最大程度地適應(yīng)考研讀者的需要。每章節(jié)配備的習(xí)題難度梯度明顯，旨在拓寬基礎(chǔ)、啟發(fā)思維、熟練方法?！　　稊?shù)學(xué)分析解題思想與方法》是作者十余年數(shù)學(xué)分析選論課程教學(xué)實(shí)踐的結(jié)晶，其中不乏許多創(chuàng)新性的見(jiàn)解，同時(shí)也參考了大量的參考文獻(xiàn)，盡力形成自己獨(dú)特的風(fēng)格?！　　稊?shù)學(xué)分析解題思想與方法》還可供從事數(shù)學(xué)分析、高等數(shù)學(xué)教學(xué)的教師以及其他的數(shù)學(xué)愛(ài)好者參考閱讀。

書籍目錄

對(duì)數(shù)學(xué)的初淺感悟（代序）第一章 極限論§1.1 求證極限的基本方法§1.2 計(jì)算極限的轉(zhuǎn)換方法§1.3 跟微分、積分直接相關(guān)的極限問(wèn)題第二章 連續(xù)性§2.1 連續(xù)、間斷的基本概念§2.2 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)§2.3 一致連續(xù)性第三章 導(dǎo)數(shù)和微分§3.1 基本概念§3.2 高階導(dǎo)數(shù)§3.3 微分中值定理§3.4 函數(shù)零點(diǎn)與方程根的討論§3.5 Taylor公式及其應(yīng)用§3.6 函數(shù)的單調(diào)性、凸凹性等幾何性質(zhì)研究§3.7 不等式的證明第四章 定積分§4.1 積分的計(jì)算§4.2 可積性§4.3 定積分的性質(zhì)§4.4 積分值的估計(jì)§4.5 定積分不等式第五章 無(wú)窮級(jí)數(shù)§5.1 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性§5.2 函數(shù)級(jí)數(shù)的一致收斂性§5.3 一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)§5.4 級(jí)數(shù)求和法§5.5 Fourier級(jí)數(shù)的收斂性、逐項(xiàng)積分等§5.6 無(wú)窮乘積第六章 多元函數(shù)微分學(xué)§6.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)§6.2 偏導(dǎo)數(shù)與全微分§6.3 隱函數(shù)微分法§6.4 偏微分方程及其變換§6.5 極值與條件極值第七章 多元函數(shù)積分學(xué)§7.1 重積分的計(jì)算§7.2 第一型曲線、曲面積分§7.3 第二型曲線積分§7.4 第二型曲面積分第八章 廣義積分和含參變量積分§8.1 廣義積分收斂性及判別法§8.2 含參變量常義積分§8.3 含參變量廣義積分§8.4 歐拉積分·廣義積分的計(jì)算

編輯推薦

　　《數(shù)學(xué)分析解題思想與方法》還可供從事數(shù)學(xué)分析、高等數(shù)學(xué)教學(xué)的教師以及其他的數(shù)學(xué)愛(ài)好者參考閱讀。

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