高等幾何

內(nèi)容概要

本書可用做高等院校本科數(shù)學(xué)專業(yè)的高等幾何課程的教材。本書的宗旨是簡要地介紹射影幾何的基本知識、基本理論和方法，希望幫助讀者發(fā)展幾何空間概念，了解克萊因（Klein）的變換群觀點(diǎn)，明確射影幾何與仿射幾何、歐氏幾何的內(nèi)在聯(lián)系和根本差別，提高解決幾何問題的能力，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)打好基礎(chǔ)。此外，本書還簡單地介紹了n維射影空間以及不同基域（如實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域和有限域）上的射影空間的初步知識，使讀者進(jìn)一步了解抽象空間的概念，并作為橋梁以便于讀者接觸現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識。    本書以克萊因的變換群觀點(diǎn)貫穿始終，內(nèi)容著重論述各種變換，包括1維射影變換，透視變換和對合，直射變換，對射變換，配極變換等，并且分別建立了射影變換群、仿射變換群、相似變換群和正交變換群。每種群對應(yīng)于一種幾何，并通過變換群的關(guān)系揭示出所對應(yīng)的幾何的關(guān)系。在論述變換的過程中，結(jié)合介紹一些在射影幾何中居重要位置的內(nèi)容。    坐標(biāo)法是本書使用的主要方法。本書中依次建立了1維射影坐標(biāo)系、2維射影坐標(biāo)系、3維射影坐標(biāo)系和坐標(biāo)變換，主要使用齊次坐標(biāo)。對于仿射幾何和歐氏幾何，則改用非齊次坐標(biāo)。    本書不采用公理法基礎(chǔ)，開頭介紹幾條公理，目的在于揭示射影平面的基本特征，同時(shí)也為證明一些定理作根據(jù)。除了開頭引入無窮元素以及射影坐標(biāo)系以外，全書的論述在邏輯上是嚴(yán)格的。    交比是基本的射影不變量，在射影幾何中有重要地位，因而本書作了較詳細(xì)的介紹。    2階曲線可以有不同的定義。本書用配極變換作出定義，主要是突出配極變換的作用。對于2階曲線的各種特性，本書所選擇的內(nèi)容不多，較重要的列為定理，一般的作為例題和習(xí)題。    本書所使用的方法以代數(shù)法為主，因此，各種向量運(yùn)算的運(yùn)用，各種變換的關(guān)系式都是基本的知識，必須加以掌握。在這個(gè)基礎(chǔ)上，也就比較容易解題、證題。因?yàn)榫C合法有其方便、巧妙的特點(diǎn)，所以有些定理的證明，兩法兼用，供讀者參考。實(shí)際解題時(shí)，只有一種方法就夠了。    讀者學(xué)習(xí)高等幾何，在按章節(jié)理解各項(xiàng)內(nèi)容以外，還要注意整體理論，每部分理論包括主要概念、主要定理、主要方法、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)等。這樣才能夠?qū)Ω叩葞缀斡休^深入的理解，而且有利于掌握和記憶。    本書的便題都是為幫助讀者理解、掌握理論和方法而選用的，其中有些題目較為復(fù)雜。不過，有了詳細(xì)的解法介紹，讀者不難看懂。至于習(xí)題，避免選用難題。習(xí)題附有解答或提示，便于讀者參考。

書籍目錄

序言第1章 射影平面  1.1 無窮遠(yuǎn)元素    1.1.1 平行射影和中心射影    1.1.2 無窮遠(yuǎn)元素的引進(jìn)    1.1.3 射影點(diǎn)和射影直線的基本特征    1.1.4 無窮遠(yuǎn)元素的物理背景    習(xí)題1.1  1.2 射影平面的基本特征    1.2.1 接合關(guān)系    1.2.2 射影直線的拓樸模型    1.2.3 分離關(guān)系    1.2.4 連續(xù)性    1.2.5 射影平面的拓樸模型  1.3 平面射影坐標(biāo)系    1.3.1 1維射影坐標(biāo)系    1.3.2 2維射影坐標(biāo)系    1.3.3 向量運(yùn)算的應(yīng)用    習(xí)題1.3  1.4 坐標(biāo)變換    1.4.1 點(diǎn)列和線束    1.4.2 由2維射影坐標(biāo)系導(dǎo)出直線上的坐標(biāo)系    1.4.3 1維坐標(biāo)變換    1.4.4 2維坐標(biāo)變換    習(xí)題1.4  1.5 笛沙格定理，平面對偶原則    1.5.1 笛沙格（Desargues）定理    1.5.2 調(diào)和點(diǎn)組與調(diào)和線組    1.5.3 平面對偶原則    習(xí)題1.5  本章小結(jié)  復(fù)習(xí)題第2章 射影變換  2.1 射影變換和射影變換群    2.1.1 映射    2.1.2 群，變換群    2.1.3 1維射影變換    2.1.4 2維射影變換    習(xí)題2.1  2.2 交比    2.2.1 共線4點(diǎn)的交比    2.2.2 共線4點(diǎn)的24個(gè)交比的關(guān)系    2.2.3 交比與射影交換    2.2.4 交比和點(diǎn)的坐標(biāo)    2.2.5 雙曲型1維射影變換的性質(zhì)    習(xí)題2.2……第3章 配極變換和2階曲線第4章 仿射平面和歐氏平面第5章 3維射影空間習(xí)題解答及提示索引

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