微積分基本方法

前言

　　本人曾在大學從事過微積分學（高等數(shù)學）的教學工作和數(shù)學基礎(chǔ)與數(shù)學方法論的研究工作。有鑒于當今的微積分學教育活動的實際情況，只僅僅注重于微積分學知識的傳授和技能的培訓，難以使受教育者了解微積分學孕育、創(chuàng)立、演變與發(fā)展的歷史過程，以及以無窮小為核心概念的微積分基本方法在其中所起到的基礎(chǔ)作用，所以一直希望在數(shù)學史和方法論的結(jié)合上，能撰寫一本輔助性的讀物，以彌補當今微積分學教育現(xiàn)狀之不足?！　∥⒎e分學是研究變量與函數(shù)的微積分性質(zhì)（連續(xù)性、可微性、可積性、收斂性等）及其運算法則的一個數(shù)學分支。它的基礎(chǔ)是無窮小，本質(zhì)上是以無窮小為中心概念的一種“算法”（稱為“無窮小方法”）。微積分學的發(fā)展史表明：在數(shù)學外部的科學數(shù)學化和數(shù)學內(nèi)部的矛盾運動的相互作用下，微積分理論是隨著微積分基本方法（無窮小方法）的演變而進化的，而微積分基本方法的演變，又取決于數(shù)學上認識與處理無窮小這一概念的技巧。據(jù)此，《微積分基本方法》試圖以微積分的發(fā)展史為依據(jù)，以數(shù)學如何認識與處理無窮小為主線，遵循數(shù)學史與方法論相結(jié)合的原則，系統(tǒng)地論述微積分基本方法（無窮小方法）的歷史軌跡。其目的是：為從事微積分學教育活動的教師、學生和其他讀者提供一本課外的讀物。

內(nèi)容概要

本書分12章，論述了微積分基本方法的源與流，其中有關(guān)數(shù)學史史料的選取以及有關(guān)數(shù)學家的貢獻，都是圍繞并服務(wù)于無窮小概念及其方法的這一主題需求的。     為適應(yīng)學習微積分學和其他讀者的需求，《微積分基本方法》采用文獻綜述的方式和通俗性的語言，不僅論述了當今微積分學教育中的實數(shù)域上的極限法的誕生過程，而且介紹了非標準數(shù)域上的以“單子結(jié)構(gòu)”為中心概念的無窮小方法。

書籍目錄

第1章  微積分基本方法引論  1．1  創(chuàng)立微積分的主要動因  1．2  微積分的創(chuàng)立  1．3  微積分的發(fā)展  1．4  微積分的基本方法第2章  初等幾何學中的“窮竭法”  2．1  第一次數(shù)學危機  2．2  曲邊形求積中的窮竭法  2．3  窮竭法是初等幾何學中具有普遍性的數(shù)學方法第3章  幾何形態(tài)的“不可分法”  3．1  窮竭法的拓展  3．2  卡瓦列利創(chuàng)立的“不可分法”  3．3  不可分法的改進與完善第4章  笛卡兒創(chuàng)立的“坐標幾何法”  4．1  笛卡兒是“解析幾何學”的主要創(chuàng)立者  4．2  笛卡兒創(chuàng)立“解析幾何學”的主要動因  4．3  笛卡兒創(chuàng)立的“坐標幾何法”  4．4  “坐標幾何法”的意義第5章  代數(shù)形態(tài)的“微元法”  5．1  羅伯瓦爾和笛卡兒的求切線方法  5．2  費爾馬創(chuàng)立的代數(shù)形態(tài)的“微元法”  5．3  巴羅的“微分(特征)三角形”及其求切線方法  5．4  瓦里斯的《無窮算術(shù)》第6章  牛頓創(chuàng)立的“流數(shù)術(shù)”  6．1  牛頓的“科學數(shù)學化”思想  6．2  牛頓創(chuàng)立的“流數(shù)術(shù)”  6．3  牛頓發(fā)現(xiàn)了求面積是求流數(shù)的逆過程  6．4  首創(chuàng)的逐項積分法  6．5  牛頓的“最初比和最后比”思想第7章  萊布尼茨創(chuàng)立的“無窮小算法”  7．1  從自然數(shù)列的“階差”思想到無窮小算法  7．2  應(yīng)用無窮小算法創(chuàng)立的微分學  7．3  應(yīng)用無窮小算法創(chuàng)立的積分學  7．4  萊布尼茨的無窮小概念第8章  神秘的無窮小方法  8．1  流數(shù)術(shù)和無窮小算法本質(zhì)上都是無窮小方法  8．2  無窮小悖論(第二次數(shù)學危機)的引發(fā)  8．3  消除無窮小悖論的嘗試  8．4  無窮小悖論為極限方法的創(chuàng)立提供了動力與契機第9章  實數(shù)域R上的極限方法  9．1  波爾察諾的“承前啟后”之貢獻  9．2  柯西創(chuàng)立了極限方法  9．3  魏爾斯特拉斯進一步完善與發(fā)展了“極限論”第10章  極限方法的奠基(實數(shù)論的創(chuàng)立)  10．  戴德金用“分劃法”創(chuàng)立了“實數(shù)論”  10．2  皮亞諾把實數(shù)理論建立在公理系統(tǒng)上  10．3  “實數(shù)論”為極限方法奠定了邏輯基礎(chǔ)第11章  古典集合論的思想方法  11．1  康托爾的實無窮集合及其造集原則  11．2  應(yīng)用一一對應(yīng)原則引進“勢”的概念  11．3  集合論觀點下的實數(shù)集  11．4  超限基數(shù)與超限序數(shù)  11．5  集合論悖論(第三次數(shù)學危機)的引發(fā)第12章  非標準數(shù)域R上的“無窮小方法”  12．1  數(shù)理邏輯的興起  12．2  應(yīng)用“模型論”構(gòu)建非標準實數(shù)模型R    12．3  R上的“單子結(jié)構(gòu)”  12．4  R上的無窮小方法參考文獻后記

章節(jié)摘錄

　　1.3.3 在數(shù)理邏輯基礎(chǔ)上創(chuàng)立的“非標準分析”　　極限論與實數(shù)論的創(chuàng)立以及微積分和數(shù)學分析嚴密化，是19世紀數(shù)學的重大成果之一。但是，建立在實數(shù)論與極限論基礎(chǔ)上的微積分學：其一，將所研究的變量和函數(shù)定義局限在實數(shù)系的基礎(chǔ)上；其二，否定或遺棄了萊布尼茨的實無窮觀及其無窮小算法；其三，極限論（潛無窮觀）是建立微積分理論體系的一種途徑或技術(shù)，雖然它對建立微積分學的理論體系而言是正確而成功的，但是這并不意味著微積分發(fā)展的終結(jié)和對無窮小進行直接認識與研究的停止?！　∈紫?，1873年，康托爾在研究實數(shù)系的深層次結(jié)構(gòu)中，創(chuàng)立了“集合論”并明確宣稱他采取“實無窮觀”的立場。然后，在應(yīng)用古典集合論的思想方法引進了非實數(shù)的超限基數(shù)與超限序數(shù)的新概念，在提出“康托爾定理”之中，發(fā)現(xiàn)了“超限數(shù)悖論”?！　∑浯?，在康托爾發(fā)現(xiàn)“超限數(shù)悖論”之后，其他人也從集合論中引出了一系列悖論，尤其是著名哲學家與數(shù)學家羅素（Rus-sell，1872-1970）提出了著名的“羅素悖論”才引起整個學術(shù)界與數(shù)學界的震驚，并引發(fā)了數(shù)學史上的第三次危機。其結(jié)果，一是引發(fā)了學術(shù)界的有關(guān)數(shù)學基礎(chǔ)的大辯論，形成了數(shù)學基礎(chǔ)的邏輯主義、直覺主義和形式主義的三大學派。二是在數(shù)學分析集合論悖論的成因和排除集合論悖論的途徑中，策梅洛（E.F.F.Zermelo，1871-1953）于1908年提出了第一個集合論的公理系統(tǒng)[后經(jīng)弗郎克爾（AA.Fraenkel，1891-1965）改進，再加上選擇公理，便是今日著名的ZFC系統(tǒng)]，并創(chuàng)立了“公理集合論”這一屬于“數(shù)理邏輯學”的新分支，從而消除了集合論悖論。

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