微積分基本方法

前言

　　本人曾在大學(xué)從事過(guò)微積分學(xué)（高等數(shù)學(xué)）的教學(xué)工作和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與數(shù)學(xué)方法論的研究工作。有鑒于當(dāng)今的微積分學(xué)教育活動(dòng)的實(shí)際情況，只僅僅注重于微積分學(xué)知識(shí)的傳授和技能的培訓(xùn)，難以使受教育者了解微積分學(xué)孕育、創(chuàng)立、演變與發(fā)展的歷史過(guò)程，以及以無(wú)窮小為核心概念的微積分基本方法在其中所起到的基礎(chǔ)作用，所以一直希望在數(shù)學(xué)史和方法論的結(jié)合上，能撰寫(xiě)一本輔助性的讀物，以彌補(bǔ)當(dāng)今微積分學(xué)教育現(xiàn)狀之不足。　　微積分學(xué)是研究變量與函數(shù)的微積分性質(zhì)（連續(xù)性、可微性、可積性、收斂性等）及其運(yùn)算法則的一個(gè)數(shù)學(xué)分支。它的基礎(chǔ)是無(wú)窮小，本質(zhì)上是以無(wú)窮小為中心概念的一種“算法”（稱為“無(wú)窮小方法”）。微積分學(xué)的發(fā)展史表明：在數(shù)學(xué)外部的科學(xué)數(shù)學(xué)化和數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾運(yùn)動(dòng)的相互作用下，微積分理論是隨著微積分基本方法（無(wú)窮小方法）的演變而進(jìn)化的，而微積分基本方法的演變，又取決于數(shù)學(xué)上認(rèn)識(shí)與處理無(wú)窮小這一概念的技巧。據(jù)此，《微積分基本方法》試圖以微積分的發(fā)展史為依據(jù)，以數(shù)學(xué)如何認(rèn)識(shí)與處理無(wú)窮小為主線，遵循數(shù)學(xué)史與方法論相結(jié)合的原則，系統(tǒng)地論述微積分基本方法（無(wú)窮小方法）的歷史軌跡。其目的是：為從事微積分學(xué)教育活動(dòng)的教師、學(xué)生和其他讀者提供一本課外的讀物。

內(nèi)容概要

本書(shū)分12章，論述了微積分基本方法的源與流，其中有關(guān)數(shù)學(xué)史史料的選取以及有關(guān)數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)，都是圍繞并服務(wù)于無(wú)窮小概念及其方法的這一主題需求的。     為適應(yīng)學(xué)習(xí)微積分學(xué)和其他讀者的需求，《微積分基本方法》采用文獻(xiàn)綜述的方式和通俗性的語(yǔ)言，不僅論述了當(dāng)今微積分學(xué)教育中的實(shí)數(shù)域上的極限法的誕生過(guò)程，而且介紹了非標(biāo)準(zhǔn)數(shù)域上的以“單子結(jié)構(gòu)”為中心概念的無(wú)窮小方法。

書(shū)籍目錄

第1章  微積分基本方法引論  1．1  創(chuàng)立微積分的主要?jiǎng)右? 1．2  微積分的創(chuàng)立  1．3  微積分的發(fā)展  1．4  微積分的基本方法第2章  初等幾何學(xué)中的“窮竭法”  2．1  第一次數(shù)學(xué)危機(jī)  2．2  曲邊形求積中的窮竭法  2．3  窮竭法是初等幾何學(xué)中具有普遍性的數(shù)學(xué)方法第3章  幾何形態(tài)的“不可分法”  3．1  窮竭法的拓展  3．2  卡瓦列利創(chuàng)立的“不可分法”  3．3  不可分法的改進(jìn)與完善第4章  笛卡兒創(chuàng)立的“坐標(biāo)幾何法”  4．1  笛卡兒是“解析幾何學(xué)”的主要?jiǎng)?chuàng)立者  4．2  笛卡兒創(chuàng)立“解析幾何學(xué)”的主要?jiǎng)右? 4．3  笛卡兒創(chuàng)立的“坐標(biāo)幾何法”  4．4  “坐標(biāo)幾何法”的意義第5章  代數(shù)形態(tài)的“微元法”  5．1  羅伯瓦爾和笛卡兒的求切線方法  5．2  費(fèi)爾馬創(chuàng)立的代數(shù)形態(tài)的“微元法”  5．3  巴羅的“微分(特征)三角形”及其求切線方法  5．4  瓦里斯的《無(wú)窮算術(shù)》第6章  牛頓創(chuàng)立的“流數(shù)術(shù)”  6．1  牛頓的“科學(xué)數(shù)學(xué)化”思想  6．2  牛頓創(chuàng)立的“流數(shù)術(shù)”  6．3  牛頓發(fā)現(xiàn)了求面積是求流數(shù)的逆過(guò)程  6．4  首創(chuàng)的逐項(xiàng)積分法  6．5  牛頓的“最初比和最后比”思想第7章  萊布尼茨創(chuàng)立的“無(wú)窮小算法”  7．1  從自然數(shù)列的“階差”思想到無(wú)窮小算法  7．2  應(yīng)用無(wú)窮小算法創(chuàng)立的微分學(xué)  7．3  應(yīng)用無(wú)窮小算法創(chuàng)立的積分學(xué)  7．4  萊布尼茨的無(wú)窮小概念第8章  神秘的無(wú)窮小方法  8．1  流數(shù)術(shù)和無(wú)窮小算法本質(zhì)上都是無(wú)窮小方法  8．2  無(wú)窮小悖論(第二次數(shù)學(xué)危機(jī))的引發(fā)  8．3  消除無(wú)窮小悖論的嘗試  8．4  無(wú)窮小悖論為極限方法的創(chuàng)立提供了動(dòng)力與契機(jī)第9章  實(shí)數(shù)域R上的極限方法  9．1  波爾察諾的“承前啟后”之貢獻(xiàn)  9．2  柯西創(chuàng)立了極限方法  9．3  魏爾斯特拉斯進(jìn)一步完善與發(fā)展了“極限論”第10章  極限方法的奠基(實(shí)數(shù)論的創(chuàng)立)  10．  戴德金用“分劃法”創(chuàng)立了“實(shí)數(shù)論”  10．2  皮亞諾把實(shí)數(shù)理論建立在公理系統(tǒng)上  10．3  “實(shí)數(shù)論”為極限方法奠定了邏輯基礎(chǔ)第11章  古典集合論的思想方法  11．1  康托爾的實(shí)無(wú)窮集合及其造集原則  11．2  應(yīng)用一一對(duì)應(yīng)原則引進(jìn)“勢(shì)”的概念  11．3  集合論觀點(diǎn)下的實(shí)數(shù)集  11．4  超限基數(shù)與超限序數(shù)  11．5  集合論悖論(第三次數(shù)學(xué)危機(jī))的引發(fā)第12章  非標(biāo)準(zhǔn)數(shù)域R上的“無(wú)窮小方法”  12．1  數(shù)理邏輯的興起  12．2  應(yīng)用“模型論”構(gòu)建非標(biāo)準(zhǔn)實(shí)數(shù)模型R    12．3  R上的“單子結(jié)構(gòu)”  12．4  R上的無(wú)窮小方法參考文獻(xiàn)后記

章節(jié)摘錄

　　1.3.3 在數(shù)理邏輯基礎(chǔ)上創(chuàng)立的“非標(biāo)準(zhǔn)分析”　　極限論與實(shí)數(shù)論的創(chuàng)立以及微積分和數(shù)學(xué)分析嚴(yán)密化，是19世紀(jì)數(shù)學(xué)的重大成果之一。但是，建立在實(shí)數(shù)論與極限論基礎(chǔ)上的微積分學(xué)：其一，將所研究的變量和函數(shù)定義局限在實(shí)數(shù)系的基礎(chǔ)上；其二，否定或遺棄了萊布尼茨的實(shí)無(wú)窮觀及其無(wú)窮小算法；其三，極限論（潛無(wú)窮觀）是建立微積分理論體系的一種途徑或技術(shù)，雖然它對(duì)建立微積分學(xué)的理論體系而言是正確而成功的，但是這并不意味著微積分發(fā)展的終結(jié)和對(duì)無(wú)窮小進(jìn)行直接認(rèn)識(shí)與研究的停止?！　∈紫?，1873年，康托爾在研究實(shí)數(shù)系的深層次結(jié)構(gòu)中，創(chuàng)立了“集合論”并明確宣稱他采取“實(shí)無(wú)窮觀”的立場(chǎng)。然后，在應(yīng)用古典集合論的思想方法引進(jìn)了非實(shí)數(shù)的超限基數(shù)與超限序數(shù)的新概念，在提出“康托爾定理”之中，發(fā)現(xiàn)了“超限數(shù)悖論”?！　∑浯?，在康托爾發(fā)現(xiàn)“超限數(shù)悖論”之后，其他人也從集合論中引出了一系列悖論，尤其是著名哲學(xué)家與數(shù)學(xué)家羅素（Rus-sell，1872-1970）提出了著名的“羅素悖論”才引起整個(gè)學(xué)術(shù)界與數(shù)學(xué)界的震驚，并引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第三次危機(jī)。其結(jié)果，一是引發(fā)了學(xué)術(shù)界的有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的大辯論，形成了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的邏輯主義、直覺(jué)主義和形式主義的三大學(xué)派。二是在數(shù)學(xué)分析集合論悖論的成因和排除集合論悖論的途徑中，策梅洛（E.F.F.Zermelo，1871-1953）于1908年提出了第一個(gè)集合論的公理系統(tǒng)[后經(jīng)弗郎克爾（AA.Fraenkel，1891-1965）改進(jìn)，再加上選擇公理，便是今日著名的ZFC系統(tǒng)]，并創(chuàng)立了“公理集合論”這一屬于“數(shù)理邏輯學(xué)”的新分支，從而消除了集合論悖論。

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