實(shí)變函數(shù)論講義

內(nèi)容概要

　　《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)系列教材：實(shí)變函數(shù)論講義》以集合論基本知識為出發(fā)點(diǎn)，重點(diǎn)講授勒貝格測度和勒貝格積分理論，核心是勒貝格積分，而特征函數(shù)是聯(lián)系可測集、可測函數(shù)和勒貝格積分的紐帶。對于p次可積函數(shù)類，從空間的角度刻畫了其整體性質(zhì)，核心是完備性和可分性。最后通過引入絕對連續(xù)函數(shù)概念，獲得了牛頓-萊布尼茨公式成立的充要條件?！　　稇?yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)系列教材：實(shí)變函數(shù)論講義》可作為統(tǒng)計(jì)學(xué)、數(shù)學(xué)等學(xué)科的教材或相關(guān)專業(yè)人員的參考書。

書籍目錄

第1章 集合與點(diǎn)集 1.1 集合及相關(guān)概念 1.1.1 集合的運(yùn)算 1.1.2 集合列的上極限和下極限 習(xí)題 1.2 映射、基數(shù)與可數(shù)集 1.2.1 映射 1.2.2 基數(shù) 1.2.3 可數(shù)集 1.2.4 不可數(shù)集與連續(xù)基數(shù) 習(xí)題 1.3 Rn中的點(diǎn)集 1.3.1 n維歐氏空間Rn 1.3.2 開集、閉集及其性質(zhì) 1.3.3 開集與閉集的構(gòu)造 習(xí)題 1.4 集類選講 1.4.1 集類 1.4.2 σ—環(huán)與σ—代數(shù) 1.4.3 單調(diào)類 習(xí)題 第2章 測度理論 2.1 勒貝格測度 2.1.1 勒貝格外測度 2.1.2 勒貝格測度的定義 2.1.3 勒貝格測度的另一定義 習(xí)題 2.2 勒貝格測度的性質(zhì) 習(xí)題 2.3 勒貝格可測集的結(jié)構(gòu)與測度空間 2.3.1 勒貝格可測集的結(jié)構(gòu) 2.3.2 測度空間 2.3.3 不可測集舉例 習(xí)題 第3章 可測函數(shù) 3.1 可測函數(shù)概念及其性質(zhì) 3.1.1 可測函數(shù)概念 3.1.2 可測函數(shù)的基本性質(zhì) 習(xí)題 3.2 可測函數(shù)列的收斂性 3.2.1 幾乎處處收斂與幾乎一致收斂 3.2.2 可測函數(shù)列的依測度收斂性 習(xí)題 3.3 可測函數(shù)的構(gòu)造 習(xí)題 第4章 勒貝格積分 4.1 黎曼積分存在的充要條件 4.1.1 引入勒貝格積分的常用方法 4.1.2 黎曼可積的充要條件 習(xí)題 4.2 有界函數(shù)的勒貝格積分 習(xí)題 4.3 一般可測函數(shù)的勒貝格積分 習(xí)題 4.4 積分的極限定理 習(xí)題 4.5 乘積測度和富比尼定理 4.5.1 乘積測度與勒貝格積分的幾何意義 4.5.2 富比尼定理 習(xí)題 第5章 Lp空間 5.1 Lp空間的范數(shù)與度量 習(xí)題 5.2 Lp空間的性質(zhì) 習(xí)題 5.3 L2空間 習(xí)題 第6章 微分與不定積分 6.1 有界變差函數(shù) 6.2 單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 6.3 絕對連續(xù)函數(shù)與勒貝格不定積分 6.3.1 絕對連續(xù)函數(shù) 6.3.2 牛頓—萊布尼茨公式 習(xí)題 索引 參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁：   插圖：   測度與積分是實(shí)變函數(shù)的核心內(nèi)容。眾所周知，定積分（下面稱之為黎曼（Riemann）積分）在積分與極限交換順序方面所要求的條件是很苛刻的，已不能適應(yīng)科學(xué)發(fā)展與實(shí)際應(yīng)用的要求，對于這個問題，19世紀(jì)下半葉以來分析學(xué)家們一直在努力尋求解決方案，直到1902年，法國數(shù)學(xué)家勒貝格（Lebesgue）在其論文“積分、長度與面積”中才比較好地給出解決上述問題的方法，從而建立了被稱為現(xiàn)代數(shù)學(xué)奠基之作的勒貝格測度與勒貝格積分理論，因此，測度概念是直線上區(qū)間長度或平面上有界區(qū)域面積的推廣。繼而，法國數(shù)學(xué)家弗雷歇（Frechet）又開創(chuàng)了建立在一般σ—代數(shù)上的抽象測度論，而現(xiàn)代形式的測度理論則始于希臘數(shù)學(xué)家卡拉泰奧多里（caratheodory）關(guān)于外測度的研究。本章重點(diǎn)講解勒貝格測度與勒貝格可測集的基本概念及性質(zhì)。 所謂測度問題，就是要將只適用于區(qū)間的“長度”概念，擴(kuò)充到更一般的點(diǎn)集上去，對于一般的Rn來說，就是要把只適用于“立方體”或其他一些初等圖形的“體積”概念擴(kuò)充到更一般的點(diǎn)集上去。 2.1 勒貝格測度 2.1.1 勒貝格外測度 在微積分學(xué)中求解曲邊梯形的面積時，分別用包含該曲邊梯形的小矩形之和（對應(yīng)大和）與包含在該曲邊梯形內(nèi)的小矩形之和（對應(yīng)小和）來近似其面積，然后通過一個極限過程即得，對于一般函數(shù)，若大和的極限與小和的極限不等，則不存在定積分，這正是勒貝格外測度與內(nèi)測度思想的來源，本節(jié)重點(diǎn)考慮直線R上的情況。 定義2.1.1 設(shè)G屬于R是非空開集，令G=∪（a，b），其中（a，b）為G的構(gòu)成區(qū)間，則G的所有構(gòu)成區(qū)間長度之和∑（bi—ai）稱為G的長度，記為|G|。 規(guī)定：空集φ的長度為零。 說明一點(diǎn)：若G的構(gòu)成區(qū)間為有限多個，則認(rèn)為從某個自然數(shù)后（ai，bi）均為空集，因此，可統(tǒng)一寫成上面的形式，以后不再聲明。 定義2.1.2給定非空有界閉集F，任取開區(qū)間（a，b）且F屬于（a，b），于是G=（a，b）＼F是開集，則稱b—a—|G|為有界閉集F的長度，記為|F|。

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