實(shí)變函數(shù)論講義

內(nèi)容概要

　　《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)系列教材：實(shí)變函數(shù)論講義》以集合論基本知識(shí)為出發(fā)點(diǎn)，重點(diǎn)講授勒貝格測(cè)度和勒貝格積分理論，核心是勒貝格積分，而特征函數(shù)是聯(lián)系可測(cè)集、可測(cè)函數(shù)和勒貝格積分的紐帶。對(duì)于p次可積函數(shù)類(lèi)，從空間的角度刻畫(huà)了其整體性質(zhì)，核心是完備性和可分性。最后通過(guò)引入絕對(duì)連續(xù)函數(shù)概念，獲得了牛頓-萊布尼茨公式成立的充要條件?！　　稇?yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)系列教材：實(shí)變函數(shù)論講義》可作為統(tǒng)計(jì)學(xué)、數(shù)學(xué)等學(xué)科的教材或相關(guān)專(zhuān)業(yè)人員的參考書(shū)。

書(shū)籍目錄

第1章 集合與點(diǎn)集 1.1 集合及相關(guān)概念 1.1.1 集合的運(yùn)算 1.1.2 集合列的上極限和下極限 習(xí)題 1.2 映射、基數(shù)與可數(shù)集 1.2.1 映射 1.2.2 基數(shù) 1.2.3 可數(shù)集 1.2.4 不可數(shù)集與連續(xù)基數(shù) 習(xí)題 1.3 Rn中的點(diǎn)集 1.3.1 n維歐氏空間Rn 1.3.2 開(kāi)集、閉集及其性質(zhì) 1.3.3 開(kāi)集與閉集的構(gòu)造 習(xí)題 1.4 集類(lèi)選講 1.4.1 集類(lèi) 1.4.2 σ—環(huán)與σ—代數(shù) 1.4.3 單調(diào)類(lèi) 習(xí)題 第2章 測(cè)度理論 2.1 勒貝格測(cè)度 2.1.1 勒貝格外測(cè)度 2.1.2 勒貝格測(cè)度的定義 2.1.3 勒貝格測(cè)度的另一定義 習(xí)題 2.2 勒貝格測(cè)度的性質(zhì) 習(xí)題 2.3 勒貝格可測(cè)集的結(jié)構(gòu)與測(cè)度空間 2.3.1 勒貝格可測(cè)集的結(jié)構(gòu) 2.3.2 測(cè)度空間 2.3.3 不可測(cè)集舉例 習(xí)題 第3章 可測(cè)函數(shù) 3.1 可測(cè)函數(shù)概念及其性質(zhì) 3.1.1 可測(cè)函數(shù)概念 3.1.2 可測(cè)函數(shù)的基本性質(zhì) 習(xí)題 3.2 可測(cè)函數(shù)列的收斂性 3.2.1 幾乎處處收斂與幾乎一致收斂 3.2.2 可測(cè)函數(shù)列的依測(cè)度收斂性 習(xí)題 3.3 可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造 習(xí)題 第4章 勒貝格積分 4.1 黎曼積分存在的充要條件 4.1.1 引入勒貝格積分的常用方法 4.1.2 黎曼可積的充要條件 習(xí)題 4.2 有界函數(shù)的勒貝格積分 習(xí)題 4.3 一般可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分 習(xí)題 4.4 積分的極限定理 習(xí)題 4.5 乘積測(cè)度和富比尼定理 4.5.1 乘積測(cè)度與勒貝格積分的幾何意義 4.5.2 富比尼定理 習(xí)題 第5章 Lp空間 5.1 Lp空間的范數(shù)與度量 習(xí)題 5.2 Lp空間的性質(zhì) 習(xí)題 5.3 L2空間 習(xí)題 第6章 微分與不定積分 6.1 有界變差函數(shù) 6.2 單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 6.3 絕對(duì)連續(xù)函數(shù)與勒貝格不定積分 6.3.1 絕對(duì)連續(xù)函數(shù) 6.3.2 牛頓—萊布尼茨公式 習(xí)題 索引 參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁(yè)：   插圖：   測(cè)度與積分是實(shí)變函數(shù)的核心內(nèi)容。眾所周知，定積分（下面稱(chēng)之為黎曼（Riemann）積分）在積分與極限交換順序方面所要求的條件是很苛刻的，已不能適應(yīng)科學(xué)發(fā)展與實(shí)際應(yīng)用的要求，對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，19世紀(jì)下半葉以來(lái)分析學(xué)家們一直在努力尋求解決方案，直到1902年，法國(guó)數(shù)學(xué)家勒貝格（Lebesgue）在其論文“積分、長(zhǎng)度與面積”中才比較好地給出解決上述問(wèn)題的方法，從而建立了被稱(chēng)為現(xiàn)代數(shù)學(xué)奠基之作的勒貝格測(cè)度與勒貝格積分理論，因此，測(cè)度概念是直線(xiàn)上區(qū)間長(zhǎng)度或平面上有界區(qū)域面積的推廣。繼而，法國(guó)數(shù)學(xué)家弗雷歇（Frechet）又開(kāi)創(chuàng)了建立在一般σ—代數(shù)上的抽象測(cè)度論，而現(xiàn)代形式的測(cè)度理論則始于希臘數(shù)學(xué)家卡拉泰奧多里（caratheodory）關(guān)于外測(cè)度的研究。本章重點(diǎn)講解勒貝格測(cè)度與勒貝格可測(cè)集的基本概念及性質(zhì)。 所謂測(cè)度問(wèn)題，就是要將只適用于區(qū)間的“長(zhǎng)度”概念，擴(kuò)充到更一般的點(diǎn)集上去，對(duì)于一般的Rn來(lái)說(shuō)，就是要把只適用于“立方體”或其他一些初等圖形的“體積”概念擴(kuò)充到更一般的點(diǎn)集上去。 2.1 勒貝格測(cè)度 2.1.1 勒貝格外測(cè)度 在微積分學(xué)中求解曲邊梯形的面積時(shí)，分別用包含該曲邊梯形的小矩形之和（對(duì)應(yīng)大和）與包含在該曲邊梯形內(nèi)的小矩形之和（對(duì)應(yīng)小和）來(lái)近似其面積，然后通過(guò)一個(gè)極限過(guò)程即得，對(duì)于一般函數(shù)，若大和的極限與小和的極限不等，則不存在定積分，這正是勒貝格外測(cè)度與內(nèi)測(cè)度思想的來(lái)源，本節(jié)重點(diǎn)考慮直線(xiàn)R上的情況。 定義2.1.1 設(shè)G屬于R是非空開(kāi)集，令G=∪（a，b），其中（a，b）為G的構(gòu)成區(qū)間，則G的所有構(gòu)成區(qū)間長(zhǎng)度之和∑（bi—ai）稱(chēng)為G的長(zhǎng)度，記為|G|。 規(guī)定：空集φ的長(zhǎng)度為零。 說(shuō)明一點(diǎn)：若G的構(gòu)成區(qū)間為有限多個(gè)，則認(rèn)為從某個(gè)自然數(shù)后（ai，bi）均為空集，因此，可統(tǒng)一寫(xiě)成上面的形式，以后不再聲明。 定義2.1.2給定非空有界閉集F，任取開(kāi)區(qū)間（a，b）且F屬于（a，b），于是G=（a，b）＼F是開(kāi)集，則稱(chēng)b—a—|G|為有界閉集F的長(zhǎng)度，記為|F|。

編輯推薦

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