組合數(shù)學(xué)

內(nèi)容概要

　　本書是作者周煒多年教學(xué)和研究成果的結(jié)晶，系統(tǒng)地研究了組合計(jì)數(shù)、組合設(shè)計(jì)以及相關(guān)數(shù)學(xué)理論。全書分為10章：集合與函數(shù)，排列組合與多項(xiàng)式定理，整除性理論，數(shù)論函數(shù)，不定方程，同余式，線性遞歸方程與母函數(shù)，鴿巢原理和Ramsey（拉姆齊）定理，Burnside（伯恩賽德）引理和Polya（波利亞）定理，相異代表組和區(qū)組設(shè)計(jì)。
　　本書可以作為計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、數(shù)學(xué)、密碼學(xué)和其他相關(guān)專業(yè)研究生和本科生的教材使用，也可作為廣大師生和工程技術(shù)人員的自學(xué)用書或參考書。

書籍目錄

第1章  集合與函數(shù)
  1.1  集合論基礎(chǔ)
    1.1.1  集合的基本概念
    1.1.2  集合的代數(shù)運(yùn)算及性質(zhì)
    1.1.3  集合的運(yùn)算性質(zhì)
  1.2  函數(shù)、置換的循環(huán)分解
    1.2.1  函數(shù)的基本概念和一般性質(zhì)
    1.2.2  置換的循環(huán)分解
  1.3  集合的基數(shù)、對(duì)合映射不動(dòng)點(diǎn)定理
  1.4  集合上的二元關(guān)系
    1.4.1  二元關(guān)系的基本概念
    1.4.2  幾種特殊的簡(jiǎn)單二元關(guān)系
    1.4.3  等價(jià)關(guān)系、商集
  1.5  容斥原理及應(yīng)用
    1.5.1  容斥原理
    1.5.2  錯(cuò)位排列問題
    1.5.3  容斥原理應(yīng)用舉例
  1.6  Abel恒等式
  1.7  習(xí)題
第2章  排列組合與多項(xiàng)式定理
  2.1  排列組合及其性質(zhì)
    2.1.1  無重復(fù)排列和無限可重復(fù)排列
    2.1.2  無重復(fù)組合及其性質(zhì)、多項(xiàng)式反演定理
    2.1.3  無重復(fù)有序分組、無重復(fù)無序分組
    2.1.4  無限可重復(fù)分組、無限可重復(fù)組合、多項(xiàng)式定理
    2.1.5  有限可重復(fù)組合與有限可重復(fù)排列
  2.2  排列組合應(yīng)用舉例
  2.3  Stirling公式
    2.3.1  Wallis公式
    2.3.2  Stirling公式
  2.4  習(xí)題
第3章  整除性理論
  3.1  整數(shù)的整除性
  3.2  最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)
  3.3  連分?jǐn)?shù)
    3.3.1  實(shí)數(shù)的連分?jǐn)?shù)表示
    3.3.2  實(shí)數(shù)的近似分?jǐn)?shù)
    3.3.3  近似分?jǐn)?shù)的既約性
    3.3.4  近似分?jǐn)?shù)的誤差估計(jì)
    3.3.5  整數(shù)線性組合ax—by=1的生成
  3.4  素?cái)?shù)、二平方定理、算術(shù)基本定理
  3.5  習(xí)題
第4章  數(shù)論函數(shù)
  4.1  [x]與{z}
  4.2  積性函數(shù)
  4.3  因子數(shù)r（n）與因子和S（n）
  4.4  Euler函數(shù)φ（n）
  4.5  Mobius函數(shù)和MObius反演定理
    4.5.1  Mobius函數(shù)及其性質(zhì)
    4.5.2  Mobius反演定理
    4.5.3  圓排列問題
  4.6  習(xí)題
第5章  不定方程
  5.1  二元一次不定方程
  5.2  三元一次不定方程
  5.3  勾股數(shù)定理
  5.4  習(xí)題
第6章  同余式
  6.1  同余式的定義與性質(zhì)
  6.2  完全剩余系和縮剩余系
  6.3  一元一次同余方程
  6.4  一元一次同余方程和方程組、中國(guó)剩余定理
  6.5  一元多項(xiàng)式同余方程
  6.6  習(xí)題
第7章  線性遞歸方程與母函數(shù)
  7.1  遞歸方程
    7.1.1  線性遞歸方程解的結(jié)構(gòu)、降階定理
    7.1.2  常系數(shù)齊次線性遞歸方程的通解
    7.1.3  常系數(shù)非齊次線性遞歸方程的求解
    7.1.4  線性遞歸方程求解舉例
  7.2  Fibonacci數(shù)列
    7.2.1  Fibonacci問題的求解
    7.2.2  Fibonacci數(shù)列的性質(zhì)
    7.2.3  Fibonacci數(shù)列在優(yōu)選法中的應(yīng)用
  7.3  母函數(shù)及其性質(zhì)
    7.3.1  母函數(shù)的定義
    7.3.2  母函數(shù)的一般性質(zhì)
  7.4  錯(cuò)位排列和禁位排列
    7.4.1  錯(cuò)位排列問題
    7.4.2  棋盤多項(xiàng)式與禁位排列
  7.5  正整數(shù)分拆和Ferrers圖
    7.5.1  正整數(shù)分拆
    7.5.2  Ferrers圖
  7.6  Stirling數(shù)
    7.6.1  第一類Stirling數(shù)
    7.6.2  第二類Stirling數(shù)
    7.6.3  Stirling反演定理
  7.7  Catalan數(shù)
  7.8  Bernoulli數(shù)
  7.9  習(xí)題
第8章  鴿巢原理和Ramsey定理
  8.1  鴿巢原理
  8.2  無向完全圖的著色問題
  8.3  Ramsey定理
  8.4  Ramsey數(shù)的性質(zhì)
  8.5  習(xí)題
第9章  Burnside引理和Polya定理
  9.1  群的基本知識(shí)
    9.1.1  半群、亞群、元素的階
    9.1.2  群、陪集、Lagrange定理
  9.2  Burnside引理和Polya定理
    9.2.1  Burnside引理
    9.2.2  簡(jiǎn)化的P61ya定理
    9.2.3  Polya基本定理
  9.3習(xí)題
第10章  相異代表組和區(qū)組設(shè)計(jì)
  10.1  相異代表組
  10.2  公共代表組
  10.3  完全區(qū)組設(shè)計(jì)與拉丁方
  10.4  有限域基礎(chǔ)
  10.5  正交拉丁方
  10.6  均衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)（BIBD）
    10.6.1  BIBD的概念
    10.6.2  三連組系
    10.6.3  對(duì)稱BIBD
    10.6.4  由對(duì)稱BIBD構(gòu)造其他BIBD
  10.7  Hadamard矩陣
  10.8  習(xí)題
參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁：   插圖：   9.3 習(xí)題 1.設(shè)n∈Z+。證明：全體實(shí)n階可逆方陣關(guān)于矩陣乘法形成一個(gè)群。 2.證明：Q+關(guān)于普通的乘法形成一個(gè)群。 3.設(shè)G={z|z∈C∧|z|=1}。證明：G關(guān)于普通的復(fù)數(shù)乘法形成一個(gè)群，特別地，證明G1={1，—1}及G2={1，—1，i，—i}都是G的子群。這里，i表示虛數(shù)單位。 4.設(shè)X=（0，1），G={Ix，r}，其中r（x）=1—x。證明：G≤Sym（X）。 5.某玩具公司用圓柱體細(xì)木棒制造玩具金箍棒時(shí)，須要把每一根木棒劃分成n個(gè)等長(zhǎng)的小段，然后用m種不同的顏色進(jìn)行著色，對(duì)每一小段只用一種顏色，不同的小段可以用相同的顏色。這樣著色的結(jié)果，可以制造出多少種不同花色的玩具金箍棒？ 6.在克里姆林宮的五座塔樓頂上各有一顆碩大的紅寶石五星?，F(xiàn)在假設(shè)用m種純色寶石鑲嵌一個(gè)正五角星的5個(gè)角，每個(gè)角只用一種顏色，共有多少種鑲嵌方案？ 7.用紅、黃、藍(lán)3種顏色對(duì)一個(gè)正方形的4條邊進(jìn)行著色，每條邊只用一種顏色，不同的邊可以用相同的顏色，共有多少種著色方案？ 8.用紅、黃、藍(lán)3種顏色對(duì)一個(gè)正方形的4個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行著色，每個(gè)頂點(diǎn)只用一種顏色，不同的頂點(diǎn)可以用相同的顏色，共有多少種著色方案？ 9.用通過中心的對(duì)角線將一個(gè)正六邊形分成6個(gè)全等的正三角形部分，并用紅、黃、藍(lán)3種顏色對(duì)各部分進(jìn)行著色，每個(gè)部分只用一種顏色，不同的部分可以用相同的顏色，共有多少種著色方案？ 10.把半徑相等的5個(gè)球形紅寶石、3個(gè)球形綠寶石鑲嵌在一個(gè)正方體的8個(gè)頂點(diǎn)上，共有多少種方案？ 11.用紅、黃、藍(lán)3種顏色對(duì)一個(gè)正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行著色，每個(gè)頂點(diǎn)只用一種顏色，不同的頂點(diǎn)可以用相同的顏色，但每一種顏色恰好用在2個(gè)頂點(diǎn)上，共有多少種著色方案？

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