高等代數(shù)（下冊(cè)）

前言

高等代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院（或數(shù)學(xué)系，應(yīng)用數(shù)學(xué)系）最主要的基礎(chǔ)課程之一。本套教材是作者在北京大學(xué)進(jìn)行高等代數(shù)課程建設(shè)和教學(xué)改革的成果，它具有下述鮮明特色。1.主線明確。以研究線性空間和多項(xiàng)式環(huán)的結(jié)構(gòu)及其態(tài)射（線性映射，多項(xiàng)式環(huán)的通用性質(zhì)）為主線。自從1832年伽羅瓦（Galois）利用一元高次方程的根的置換群給出了方程有求根公式的充分必要條件之后，代數(shù)學(xué)的研究對(duì)象發(fā)生了根本性的轉(zhuǎn)變。研究各種代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其態(tài)射（即保持運(yùn)算的映射）成為現(xiàn)代代數(shù)學(xué)研究的中心問題。20世紀(jì)，代數(shù)學(xué)研究結(jié)構(gòu)及其態(tài)射的觀點(diǎn)已經(jīng)滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中。因此，在高等代數(shù)課程的教學(xué)中貫穿研究線性空間和多項(xiàng)式環(huán)的結(jié)構(gòu)及其態(tài)射這條主線，就是把握住了代數(shù)學(xué)的精髓。本套教材上冊(cè)的第1，2，3章研究線性方程組的解法、解的情況的判別和解集的結(jié)構(gòu)時(shí)，貫穿了研究數(shù)域K上n維向量空間K及其子空間的結(jié)構(gòu)這條主線。線性方程組是數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)、最有用的知識(shí)，咒維向量空間K是m維線性空間的一個(gè)具體模型，n元齊次線性方程組的解空間的維數(shù)公式本質(zhì)上是線性映射的核與值域的維數(shù)公式。因此把線性方程組和n維向量空間K作為高等代數(shù)課程的開始部分的內(nèi)容，既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又是高等代數(shù)知識(shí)的內(nèi)在規(guī)律的體現(xiàn)。上冊(cè)的第4，5，6章研究矩陣的運(yùn)算，矩陣的相抵、相似、合同關(guān)系及與它們有關(guān)的矩陣的特征值和特征向量、二次型。研究矩陣的運(yùn)算為研究線性映射打下了基礎(chǔ)。矩陣的相抵關(guān)系在解決有關(guān)矩陣的秩的問題中起著重要作用，而矩陣的秩本質(zhì)上是相應(yīng)的線性映射的值域的維數(shù)。研究矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形本質(zhì)上是研究線性變換在一個(gè)合適的基下的矩陣具有最簡(jiǎn)單的形式。研究對(duì)稱矩陣的合同標(biāo)準(zhǔn)形與研究二次型的化簡(jiǎn)密切相關(guān)，而二次型與線性空間V上的雙線性函數(shù)有密切聯(lián)系。

內(nèi)容概要

本套書作為大學(xué)“高等代數(shù)”課程的創(chuàng)新教材，是國家級(jí)優(yōu)秀教學(xué)團(tuán)隊(duì)(北京大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)團(tuán)隊(duì))課程建設(shè)的組成部分，是國家級(jí)教學(xué)名師多年來進(jìn)行高等代數(shù)課程建設(shè)和教學(xué)改革的成果。    本套書以講述線性空間和多項(xiàng)式環(huán)的結(jié)構(gòu)及其態(tài)射為主線，遵循高等代數(shù)知識(shí)的內(nèi)在規(guī)律和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律安排內(nèi)容體系，按照數(shù)學(xué)思維方式編寫，著重培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力。上冊(cè)內(nèi)容包括：線性方程組，行列式，n維向空間Kn，矩陣的運(yùn)算，歐幾里得空間Rn，矩陣的相抵、相似，以及矩陣的合同與二次型。下冊(cè)內(nèi)容包括：多項(xiàng)式環(huán)，線性空間，線性映射，具有度量的線性空間(歐幾里得空間、酉空間、正交空間和辛空間)，環(huán)、域和群的概念及重要例子，多重線性代數(shù)。    書中每節(jié)均包括內(nèi)容精華、典型例題、習(xí)題，章末有補(bǔ)充題(除第11章外)，還特別設(shè)置了“應(yīng)用小天地”板塊。本書內(nèi)容豐富、全面、深刻，闡述清晰、詳盡、嚴(yán)謹(jǐn)，可以幫助讀者在高等代數(shù)理論上和科學(xué)思維能力上都達(dá)到相當(dāng)?shù)母叨?。本書適合用作綜合大學(xué)、高等師范院校和理工科大學(xué)的“高等代數(shù)”課程的教材，還可作為“高等代數(shù)”或“線性代數(shù)”課程的教學(xué)參考書，也是數(shù)學(xué)教師和科研工作者高質(zhì)量的參考書。

作者簡(jiǎn)介

丘維聲，北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，所授的“高等代數(shù)及習(xí)題”課程被評(píng)為北京大學(xué)優(yōu)秀主干基礎(chǔ)課。 
    所獲獎(jiǎng)勵(lì)： 
    榮獲全國首屆國家級(jí)教學(xué)名師獎(jiǎng)、寶鋼教育獎(jiǎng)全國優(yōu)秀教師特等獎(jiǎng)、北京市普通高等學(xué)校教學(xué)成果一等獎(jiǎng)，被評(píng)為北京市科學(xué)技術(shù)先進(jìn)工作者、

書籍目錄

第7章  多項(xiàng)式環(huán)  7．1  一元多項(xiàng)式環(huán)    7．1．1  內(nèi)容精華    7．1．2  典型例題    習(xí)題7．1   7．2  整除關(guān)系，帶余除法     7．2．1  內(nèi)容精華    7．2．2  典型例題    習(xí)題7．2   7．3  最大公因式     7．3．1  內(nèi)容精華    7．3．2  典型例題    習(xí)題7．3    7．4  不可約多項(xiàng)式，唯一因式分解定理     7．4．1  內(nèi)容精華    7．4．2  典型例題    習(xí)題7．4   7．5  重因式     7．5．1  內(nèi)容精華    7．5．2  典型例題    習(xí)題7．5   7．6  多項(xiàng)式的根，復(fù)數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式     7．6．1  內(nèi)容精華    7．6．2  典型例題    習(xí)題7．6   7．7  實(shí)數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式?實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的實(shí)根     7．7．1  內(nèi)容精華    7．7．2  典型例題    習(xí)題7．7   7．8  有理數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式     7．8．1  內(nèi)容精華    7．8．2  典型例題    習(xí)題7．8   7．9  多元多項(xiàng)式環(huán)     7．9．1  內(nèi)容精華    7．9．2  典型例題    習(xí)題7．9   7．10  對(duì)稱多項(xiàng)式    7．10．1  內(nèi)容精華     7．10．2  典型例題    習(xí)題7．10   7．11  結(jié)式     7．11．1  內(nèi)容精華    7．11．2  典型例題    習(xí)題7．11   7．12  域與域上的一元多項(xiàng)式環(huán)     7．12．1  內(nèi)容精華    7．12．2  典型例題    習(xí)題7．12   補(bǔ)充題七  應(yīng)用小天地：序列密碼?m序列第8章  線性空間  8．1  域F上線性空間的基與維數(shù)    8．1．1  內(nèi)容精華     8．1．2  典型例題     習(xí)題8．1  8．2  子空間及其交與和，子空間的直和    8．2．1  內(nèi)容精華     8．2．2  典型例題     習(xí)題8．2  8．3  域F上線性空間的同構(gòu)    8．3．1  內(nèi)容精華     8．3．2  典型例題     習(xí)題8．3  8．4  商空間    8．4．1  內(nèi)容精華     8．4．2  典型例題     習(xí)題8．4  補(bǔ)充題八  應(yīng)用小天地：線性碼第9章  線性映射  9．1  線性映射及其運(yùn)算    9．1．1  內(nèi)容精華     9．1．2  典型例題     習(xí)題9．1   9．2  線性映射的核與象    9．2．1  內(nèi)容精華     9．2．2  典型例題     習(xí)題9．2   9．3  線性映射和線性變換的矩陣表示    9．3．1  內(nèi)容精華     9．3．2  典型例題     習(xí)題9．3   9．4  線性變換的特征值和特征向量，線性變換可對(duì)角化的條件    9．4．1  內(nèi)容精華     9．4．2  典型例題     習(xí)題9．4   9．5  線性變換的不變子空間，Hamilton-Cayley定理    9．5．1  內(nèi)容精華     9．5．2  典型例題     習(xí)題9．5  9．6  線性變換和矩陣的最小多項(xiàng)式    9．6．1  內(nèi)容精華     9．6．2  典型例題     習(xí)題9．6  9．7  冪零變換的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形    9．7．1  內(nèi)容精華     9．7．2  典型例題     習(xí)題9．7   9．8  線性變換的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形    9．8．1  內(nèi)容精華    9．8．2  典型例題    習(xí)題9．8   9．9  線性變換的有理標(biāo)準(zhǔn)形    9．9．1  內(nèi)容精華    9．9．2  典型例題    習(xí)題9．9   9．10  線性函數(shù)與對(duì)偶空間    9．10．1  內(nèi)容精華     9．10．2  典型例題    習(xí)題9．10  補(bǔ)充題九  應(yīng)用小天地：可交換的線性變換第10章  具有度量的線性空間  10．1  雙線性函數(shù)    10．1．1  內(nèi)容精華    10．1．2  典型例題    習(xí)題10．1   10．2  歐幾里得空間     10．2．1  內(nèi)容精華    10．2．2  典型例題    習(xí)題10．2   10．3  正交補(bǔ)，正交投影     10．3．1  內(nèi)容精華    10．3．2  典型例題    習(xí)題10．3   10．4  正交變換與對(duì)稱變換     10．4．1  內(nèi)容精華    10．4．2  典型例題    習(xí)題10．4   10．5  酉空間，酉變換，Hermite變換，正規(guī)變換    10．5．1  內(nèi)容精華    10．5．2  典型例題    習(xí)題10．5   10．6  正交空間與辛空間    10．6．1  內(nèi)容精華    10．6．2  典型例題    習(xí)題10．6   10．7  正交群，酉群，辛群     10．7．1  內(nèi)容精華    10．7．2  典型例題    習(xí)題10．7   補(bǔ)充題十  應(yīng)用小天地：酉空間在量子力學(xué)中的應(yīng)用 第11章  多重線性代數(shù)   11．1  多重線性映射     11．1．1  內(nèi)容精華    11．1．2  典型例題  11．2  線性空間的張量積     11．2．1  內(nèi)容精華    11．2．2  典型例題  11．3  張量代數(shù)     11．3．1  內(nèi)容精華    11．3．2  典型例題  11．4  外代數(shù)     11．4．1  內(nèi)容精華    11．4．2  典型例題  應(yīng)用小天地：張量積在量子隱形傳態(tài)中的應(yīng)用 習(xí)題答案與提示    第7章  多項(xiàng)式環(huán)    第8章  線性空間    第9章  線性映射    第10章  具有度量的線性空間 參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

插圖：我們?cè)谥袑W(xué)時(shí)就知道列方程和解方程對(duì)于解決實(shí)際問題很有用，而解一元高次方程f（x）=O就是求一元多項(xiàng)式f（x）的根，于是求一元多項(xiàng)式的根便成為古典代數(shù)學(xué)研究的中心問題。求一元多項(xiàng)式的根的基本思路是把一元多項(xiàng)式因式分解，為此需要研究一元多項(xiàng)式組成的集合的結(jié)構(gòu)。本章就來研究這個(gè)問題。一元多項(xiàng)式誘導(dǎo)的多項(xiàng)式函數(shù)是初等函數(shù)中最簡(jiǎn)單的一種，因此在數(shù)學(xué)分析中，常用多項(xiàng)式函數(shù)逼近一般的n階可微函數(shù)。在具有加法和乘法運(yùn)算的數(shù)學(xué)對(duì)象中，除了整數(shù)以外，一元多項(xiàng)式的形式最簡(jiǎn)潔、運(yùn)算最簡(jiǎn)捷，因此成為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)對(duì)象。通過研究一元多項(xiàng)式的運(yùn)算性質(zhì)，可以得到其他具有加法和乘法運(yùn)算的數(shù)學(xué)對(duì)象的相應(yīng)性質(zhì)，即所謂的一元多項(xiàng)式的通用性質(zhì)。在當(dāng)今信息時(shí)代，多項(xiàng)式在計(jì)算機(jī)科學(xué)、現(xiàn)代通信、編碼和密碼等許多領(lǐng)域都有應(yīng)用。本章以研究數(shù)域K上一元多項(xiàng)式環(huán)的結(jié)構(gòu)和通用性質(zhì)為主線。此外，還將介紹n元多項(xiàng)式環(huán)的結(jié)構(gòu)。

編輯推薦

《高等代數(shù)(下冊(cè)):大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》作為大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材，是作者從事教學(xué)、科研工作40年的經(jīng)驗(yàn)和心得的結(jié)晶，也是作者在北京大學(xué)進(jìn)行高等代數(shù)課程建設(shè)和教學(xué)改革的成果。本套教材特色主線明確。以研究線性空間和多項(xiàng)式環(huán)的結(jié)構(gòu)及其態(tài)射（線性映射、多項(xiàng)式環(huán)的通用性質(zhì)）為主線，把握住了現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的精髓。內(nèi)容全面。包括線性代數(shù)，多項(xiàng)式環(huán)，環(huán)、域和群的概念及重要例子，多重線性代數(shù)，共四大部分。理論深刻。闡述和證明了許多重要結(jié)論，其中包括一些研究性課題成果。創(chuàng)新亮點(diǎn)。闡述了多項(xiàng)式環(huán)的通用性質(zhì)，運(yùn)用一元多項(xiàng)式環(huán)的通用性質(zhì)和線性變換的最小多項(xiàng)式徹底解決了線性變換的標(biāo)準(zhǔn)形問題，并研究了其他重要問題。強(qiáng)調(diào)思維。按照數(shù)學(xué)思維方式編寫，著重培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，讓同學(xué)們?cè)谡莆崭叩却鷶?shù)知識(shí)的同時(shí)受到數(shù)學(xué)思維方式的訓(xùn)練，得以終身受益。體例新穎。每節(jié)均設(shè)有“內(nèi)容精華”、“典型例題”專欄，許多例題是內(nèi)容精華中理論的延伸，通過例題解析，給同學(xué)們呈現(xiàn)如何解題的范例，幫助同學(xué)們提高分析問題和解決問題的能力；每章還特別設(shè)置“應(yīng)用小天地”板塊，闡述高等代數(shù)知識(shí)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，有利于同學(xué)們開闊眼界，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣?？勺x性強(qiáng)。闡述清晰、詳盡、嚴(yán)謹(jǐn)，對(duì)于后文要用到的結(jié)論，前面章節(jié)均作了鋪墊，環(huán)環(huán)相扣，層層深入，順理成章。全國首屆高等學(xué)校國家級(jí)教學(xué)名師傾力打造內(nèi)容精華：重基礎(chǔ)，講想法，理論深刻典型例題：例題多，題型廣，分析透徹應(yīng)用小天地：提升能力，開拓視野用心閱讀此書，有助于您在高等代數(shù)理論上和科學(xué)思維能力上都達(dá)到相當(dāng)?shù)母叨龋?/pre>





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