微積分1

前言

微積分是17世紀(jì)由英國的牛頓（Newton）和德國的萊布尼茨（Leibniz）在前人成果的基礎(chǔ)上創(chuàng)立起來的。在以后的兩個(gè)世紀(jì)里，它以驚人的速度飛快地發(fā)展，在許多領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，取得了空前輝煌的成就。作為顯示數(shù)學(xué)理論無比威力的例證之一是海王星的發(fā)現(xiàn)。1781年德國的威廉·赫歇爾通過觀察，發(fā)現(xiàn)了天王星。1830年天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)天王星的運(yùn)行軌道的觀測(cè)位置與理論計(jì)算位置不符，因而推測(cè)在天王星之外可能還有一顆未知的行星在影響它的運(yùn)動(dòng)。英國天文學(xué)家與幾何學(xué)家亞當(dāng)斯（J·C·Adams）和法國天文學(xué)家勒維利（Le Verrier）于1845年、1846年先后用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法算出了這顆未知行星的運(yùn)行軌道。1846年9月23日晚上在柏林天文臺(tái)工作的加勒（Galle），將望遠(yuǎn)鏡指向秋夜的星空，對(duì)準(zhǔn)了勒維利預(yù)報(bào)的方位，果然找到了這顆新的行星，這就是海王星。微積分之所以有如此神奇的力量，是因?yàn)橥ㄟ^這種方法，能找到“無限短”時(shí)間內(nèi)物理運(yùn)動(dòng)規(guī)律的所謂“微分形式”，然后進(jìn)行“積分”，從而合乎邏輯地得到適合于表示物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)關(guān)系。正如愛因斯坦所說：“微分定律的明晰概念是牛頓最偉大的理智成就之一”。從更一般的角度看：用微積分方法研究實(shí)際問題的過程大致是這樣的，在自變量的無限小變化過程中，考察函數(shù)的對(duì)應(yīng)變化，并通過確定變化趨勢(shì)的數(shù)學(xué)過程，即所謂“極限過程”，找出函數(shù)所滿足的“微分規(guī)律”，然后“積分”，從而找出函數(shù)關(guān)系。

內(nèi)容概要

本教材共分3冊(cè)：《微積分(Ⅰ)》、《微積分(Ⅱ)》和(《微積分(Ⅲ)》。此書為《微積分(Ⅰ)》，它在強(qiáng)調(diào)“變化趨勢(shì)”的極限直觀定義和初等函數(shù)極限的基礎(chǔ)上，展開對(duì)一元函數(shù)微分和積分的概念、計(jì)算、應(yīng)用及簡單微分方程等微積分最基礎(chǔ)內(nèi)容的研究。包括函數(shù)、函數(shù)的極限與連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)與微分、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不定積分、定積分、簡單微分方程與數(shù)學(xué)模型初步7章內(nèi)容。

書籍目錄

預(yù)備知識(shí)第1章  函數(shù)  1.1  函數(shù)概念    1.1.1  函數(shù)的定義    1.1.2  函數(shù)的例子    習(xí)題l  1.2  函數(shù)的初等性質(zhì)    1.2.1  函數(shù)的奇偶性    1.2.2  函數(shù)的增減性    1.2.3  函數(shù)的周期性    1.2.4  函數(shù)的有界性    1.2.5  函數(shù)的凸凹性    習(xí)題2  1.3  函數(shù)的運(yùn)算    1.3.1  函數(shù)的四則運(yùn)算    1.3.2  反函數(shù)    1.3.3  函數(shù)的復(fù)合    習(xí)題3  1.4  初等函數(shù)    習(xí)題4  1.5  函數(shù)的簡單作圖方法、極坐標(biāo)及參數(shù)方程的圖形    1.5.1  函數(shù)的簡單作圖方法    1.5.2  極坐標(biāo)系下函數(shù)的圖形    1.5.3  用參數(shù)方程表示的函數(shù)的圖形    習(xí)題5    綜合題第2章  函數(shù)的極限與連續(xù)性  2.1  函數(shù)極限的概念    2.1.1  極限問題引例    2.1.2  極限的直觀定義    2.1.3  極限的精確定義    習(xí)題1  2.2  函數(shù)極限的性質(zhì)及計(jì)算    2.2.1  函數(shù)極限的性質(zhì)    2.2.2  極限的運(yùn)算法則    2.2.3  極限計(jì)算舉例    習(xí)題2  2.3  無窮小量及其階的比較    2.3.1  無窮小量與無窮大量    2.3.2  無窮小和無窮大階的比較    習(xí)題3  2.4  連續(xù)函數(shù)及其性質(zhì)    2.4.1  函數(shù)的連續(xù)性    2.4.2  連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)    2.4.3  有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)    習(xí)題4    綜合題第3章  導(dǎo)數(shù)與微分  3.1  導(dǎo)數(shù)與微分的概念    3.1.1  導(dǎo)數(shù)的概念    3.1.2  導(dǎo)數(shù)的簡單性質(zhì)    3.1.3  求導(dǎo)函數(shù)舉例    3.1.4  微分的概念及其性質(zhì)    習(xí)題1  3.2  導(dǎo)數(shù)與微分的計(jì)算    3.2.1  導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算    3.2.2  反函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式    3.2.3  復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法    3.2.4  微分公式    習(xí)題2  3.3  隱函數(shù)和參數(shù)式函數(shù)求導(dǎo)法    3.3.1  隱函數(shù)求導(dǎo)法    3.3.2  參數(shù)式函數(shù)求導(dǎo)法    習(xí)題3    3.4  高階導(dǎo)數(shù)    習(xí)題4    綜合題第4章  導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用  4.1  微分中值定理    4.1.1  極值點(diǎn)與費(fèi)馬定理    4.1.2  微分中值定理    習(xí)題1  4.2  洛必達(dá)法則    習(xí)題2  4.3  函數(shù)的圖形與極值問題    4.3.1  用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的性態(tài)    4.3.2  一元函數(shù)的極值問題    習(xí)題3  4.4  泰勒公式及其應(yīng)用    4.4.1  多項(xiàng)式函數(shù)的展開問題    4.4.2  多項(xiàng)式逼近、泰勒公式    4.4.3  泰勒公式的應(yīng)用    習(xí)題4    綜合題第5章  不定積分  5.1  原函數(shù)與不定積分    5.1.1  背景引例    5.1.2  原函數(shù)及不定積分的概念    習(xí)題1  5.2  不定積分的計(jì)算方法    5.2.1  湊微分法    5.2.2  變量替換法    5.2.3  分部積分法    5.2.4  有理分式函數(shù)的積分    5.2.5  三角有理分式函數(shù)的積分    5.2.6  不定積分小結(jié)    習(xí)題2    綜合題第6章  定積分  6.1  定積分概念    6.1.1  背景與引例    6.1.2  定積分概念的引入    6.1.3  定積分的幾何意義與性質(zhì)    習(xí)題1  6.2  牛頓-萊布尼茨公式與定積分的計(jì)算    6.2.1  變限積分與牛頓-萊布尼茨公式    6.2.2  湊微分法與變量替換法    6.2.3  分部積分法    習(xí)題2  6.3  定積分應(yīng)用    6.3.1  平面區(qū)域的面積    6.3.2  旋轉(zhuǎn)體的體積    6.3.3  平面曲線弧長與旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積    6.3.4  定積分的物理應(yīng)用    習(xí)題3    綜合題第7章  簡單常微分方程與數(shù)學(xué)模型初步  7.1  背景、概念與引例    7.1.1  微分方程的基本概念與術(shù)語    7.1.2  幾個(gè)引例    習(xí)題1  7.2  一階常微分方程    7.2.1  可分離變量方程    7.2.2  一階線性微分方程    7.2.3  利用微分公式求解的一階微分方程    7.2.4  可化為一階可求積類型的微分方程    習(xí)題2  7.3  高階可降階類型的微分方程    7.3.1  不顯含夕的方程    7.3.2  不顯含工的方程   *7.3.3  m次齊次方程    習(xí)題3  7.4  微分方程的簡單應(yīng)用    綜合題習(xí)題答案與提示

章節(jié)摘錄

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編輯推薦

《微積分1(第2版)》：清華大學(xué)公共基礎(chǔ)平臺(tái)課教材

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