實(shí)變函數(shù)論

前言

　　在近三十多年中，作者曾多次講授“實(shí)變函數(shù)”課程，先采用復(fù)旦大學(xué)夏道行教授等編著的《實(shí)變函數(shù)論與泛函分析》，后又采用北京大學(xué)周民強(qiáng)教授編著的《實(shí)變函數(shù)》作為教材.這兩本書各有其特點(diǎn)和側(cè)重面.復(fù)旦的書側(cè)重于一般的測度理論和積分理論，這有利于概率統(tǒng)計(jì)專業(yè)學(xué)生對(duì)后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)和研究；北大的書側(cè)重于分析數(shù)學(xué)能力的訓(xùn)練，尤其是書中配有一定難度的習(xí)題，能引起愛好數(shù)學(xué)的學(xué)生的興趣并激起他們極大的學(xué)習(xí)熱情，且能增強(qiáng)他們做難題的能力，激勵(lì)他們對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行深入的學(xué)習(xí)和研究.本書博采兩家之長處，力求為數(shù)學(xué)和概率統(tǒng)計(jì)專業(yè)的學(xué)生提供豐富的精神食糧.　　全書共分4章.第1章主要介紹集合論的基本知識(shí)、幾個(gè)重要的集類.著重用勢研究實(shí)函數(shù).由于勢的引入，許多函數(shù)（例如凸（凹）函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、有界變差函數(shù)、絕對(duì)連續(xù)函數(shù)）的性質(zhì)（如連續(xù)性、可導(dǎo)性等）、連續(xù)函數(shù)的可導(dǎo)點(diǎn)集的結(jié)構(gòu)、連續(xù)函數(shù)列的極限函數(shù)的性質(zhì)以及導(dǎo)函數(shù)連續(xù)點(diǎn)集的稠密性等均可被深入研究清楚.在第1章中，還研究了Borel集類、Cantor疏朗三分集和Cantor函數(shù)，并證明了重要的Baire定理和閉集上連續(xù)函數(shù)的延拓定理.這些知識(shí)和定理有著廣泛的應(yīng)用，也是培養(yǎng)學(xué)生分析能力的基礎(chǔ).　　第2章和第3章比較完整地論述了一般測度理論和積分理論，并詳細(xì)描述了Lebesgue測度與Lebesgue積分理論，以及Lebesgue-Stieltjes測度與Lebesgue-Stieltjes積分理論，使讀者學(xué)過之后既能有抽象的理論水平，具備高觀點(diǎn)，又能掌握大量的具體的實(shí)例，不致飄在空中.這兩章內(nèi)容極為豐富.在引進(jìn)幾乎處處收斂、依測度收斂等概念后，證明了重要的Ⅱ.①.ErOpOB定理、H.H.J_Iy3ItH定理、Lebesgue控制收斂定理、Levi引理、Fatotl引理、VitaIi覆蓋定理和Fubini定理，還討論了Lebesgue積分和Riemann積分之間的聯(lián)系和區(qū)別.應(yīng)用絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的知識(shí)，還給出了Newton-Leibniz公式成立的充要條件.同時(shí)給出了條件弱于數(shù)學(xué)分析中的分部積分、積分第一（第二）中值公式、換元公式的論證.Hallsdorff測度和Ha、Jsdorff維數(shù)的知識(shí)在近代微分幾何、分形幾何中都有廣泛的應(yīng)用.這部分內(nèi)容不必在正課中講授，可作為學(xué)生的課外閱讀材料，是為了開闊他們的視野.　　第4章，在（p≥1）空間上引入模，使其成為Banach空間；在?？臻g上引入內(nèi)積，使其成為Hilbert空間.并研究該空間中函數(shù)列的收斂（即P冪平均收斂）性、完備性和可分性.特別地，還研究了中的規(guī)范正交系及其封閉性、完全性，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)泛函分析及其他高層次的數(shù)學(xué)知識(shí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

內(nèi)容概要

全書共分4章。第1章主要介紹集合論的基本知識(shí)、幾個(gè)重要的集類。著重用勢研究實(shí)函數(shù)。詳細(xì)論證了Baire定理，并給出了它的應(yīng)用。第2章和第3章比較完整地闡明一般測度理論和積分理論。突出描述了Lebesgue測度與Lebesgue積分理論，以及Lebesgue?Stieltjes測度與Lebesgue?Stieltjes積分理論。第4章引進(jìn)了Banach空間（Lp,‖·‖p）（p≥1）和Hilbert空間（L2,〈,〉）并證明了一些重要定理。書中配備了大量的例題、練習(xí)題和復(fù)習(xí)題，可以訓(xùn)練學(xué)生分析問題和解決問題的能力，幫助他們打下分析數(shù)學(xué)和測度論方面扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)?！　”緯勺鳛榫C合性大學(xué)、理工科大學(xué)和師范類院校的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、概率統(tǒng)計(jì)和計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)的教材或自學(xué)參考書。

書籍目錄

第1章　集合運(yùn)算、集合的勢、集類　1.1　集合運(yùn)算及其性質(zhì)　1.2　集合的勢（基數(shù)）、用勢研究實(shí)函數(shù)　1.3　集類.環(huán)、σ環(huán)、代數(shù)、σ代數(shù)、單調(diào)類　1.4　Rn中的拓?fù)洹_集、閉集、Gδ集、Fσ集、Borel集　1.5　Baire定理及其應(yīng)用　1.6　閉集上連續(xù)函數(shù)的延拓定理、Cantor疏朗三分集、Cantor函數(shù)第2章　測度理論　2.1　環(huán)上的測度、外測度、測度的延拓　2.2　σ有限測度、測度延拓的惟一性定理　2.3　Lebesgue測度、Lebesgue?Stieltjes測度　*2.4　Jordan測度、Hausdorff測度　2.5　測度的典型實(shí)例和應(yīng)用第3章　積分理論　3.1　可測空間、可測函數(shù)　3.2　測度空間、可測函數(shù)的收斂性、Lebesgue可測函數(shù)的結(jié)構(gòu)　3.3　積分理論　3.4　積分收斂定理（Lebesgue控制收斂定理、Levi引理、Fatou引理）　3.5　Lebesgue可積函數(shù)與連續(xù)函數(shù)、Lebesgue積分與Riemann積分　3.6　單調(diào)函數(shù)、有界變差函數(shù)、Vitali覆蓋定理　3.7　重積分與累次積分、Fubini定理　3.8　變上限積分的導(dǎo)數(shù)、絕對(duì)（全）連續(xù)函數(shù)與Newton?Leibniz公式　*3.9　Lebesgue?Stieltjes積分、Riemann?Stieltjes積分第4章　函數(shù)空間Lp（p≥1）　4.1　Lp空間　4.2　L2空間參考文獻(xiàn)

編輯推薦

　　本書可作為綜合性大學(xué)、理工科大學(xué)和師范類院校的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、概率統(tǒng)計(jì)和計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)的教材或自學(xué)參考書。

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