彈性波動方程的有限差分?jǐn)?shù)值方法

前言

　　波動是物質(zhì)運動的重要表現(xiàn)形式。由于物質(zhì)特征、結(jié)構(gòu)的不同，波在其內(nèi)部傳播具有不同的特征，包含的信息也不盡相同。波在連續(xù)介質(zhì)中的傳播問題一直受到極大的重視，波傳問題的研究也具有十分重要的工程應(yīng)用意義，其中一個重要的應(yīng)用領(lǐng)域是在地球物理方面。地震波勘探（簡稱為地震勘探）方法是石油工業(yè)界使用最為廣泛的勘探方法，這種方法利用人工震源激發(fā)地震波，利用地震儀把地震波傳播的情況記錄下來，然后進行處理和分析。地震勘探方法依據(jù)地球巖石的彈性假設(shè)以及波的傳播特性進行勘探和相應(yīng)的數(shù)據(jù)處理。彈性波在介質(zhì)中傳播時，其路徑、振幅、相位以及波形都會隨著介質(zhì)的物理性質(zhì)和幾何性質(zhì)的變化而發(fā)生變化，地震勘探正是利用波的這些變化規(guī)律，根據(jù)接收到的資料來推斷地下介質(zhì)的性質(zhì)，從而達到油氣勘探的目的?！　∮捎跉v史的原因，地下介質(zhì)的分布極為復(fù)雜，在幾何結(jié)構(gòu)上，有斷層、間斷點，在物性組成上有巖石、流體、裂隙。正是由于地質(zhì)條件的復(fù)雜性，要求建立更為復(fù)雜、盡可能真實的模型，在此模型基礎(chǔ)上建立波動問題的控制方程(波動方程)。隨著地震勘探進展的不斷深入，對勘探精度的要求也越來越高，勘探的目標(biāo)也逐步從構(gòu)造性油氣藏轉(zhuǎn)向裂縫性油氣藏。裂縫性油氣藏是指油氣的儲集空間和滲濾通道主要為裂縫及其連通的孔隙、溶洞的油氣儲集層，含油氣的地層實際上是具有固體狀態(tài)和流體狀態(tài)的雙相介質(zhì)。這種介質(zhì)中的彈性波速度、振幅衰減均受到孔隙介質(zhì)參數(shù)的影響。目前對裂縫性儲層中波傳播的動力學(xué)特征尚處于積極研究階段，而利用地震波勘探手段尋找裂縫性油氣藏是當(dāng)今勘探地球物理界世界性的熱點問題。從提取地層巖性信息的角度看，建立和發(fā)展更為符合實際的雙相介質(zhì)波動理論和求解方法，充分闡明并解釋各種物理現(xiàn)象以及波傳特征具有重要的理論和實際意義?！　椥圆▌臃匠逃卸喾N求解方法，20世紀(jì)50年代初Thomson (1950)和Haskell (1953)提出了傳播矩陣法；1968年Alterman和Karal (1968) 提出了數(shù)值求解彈性波動方程的有限差分方法；1970年Aki和Larner提出了譜分析的Aki-Larner方法；1975年Smith提出了有限元法；1977年Cerveny對傳統(tǒng)的射線方法進行了進一步的研究；1978年Hong和Helmberger提出了橫向非均勻介質(zhì)中的glorified optics方法；1983年Lee和Largstort 提出了處理三維問題的principal curvatures方法；1989年Michel Bouchon等人提出了“邊界積分方程-離散波數(shù)法”，用來研究波在具有非均勻界面的多層介質(zhì)中的傳播；1990年P(guān)。Berg等人提出了譜方法，用來模擬波在彈性介質(zhì)中的傳播。傳播矩陣方法和譜方法具有計算速度快、占用內(nèi)存少、計算精度高等優(yōu)點，但只適用于簡單地層模型（如水平層狀）；基于變分和積分原理的有限單元法和邊界元法，優(yōu)點在于其穩(wěn)定性、收斂性以及邊界適應(yīng)性，但是有限單元法在進行大規(guī)模的線性方程組求解，特別是用于波動響應(yīng)計算的情況下，計算量和內(nèi)存占用量都非常大，使用不是很廣泛；基于惠更斯原理的射線追蹤方法計算速度很快，但是這種旅行時（travel time）正演方法缺少振幅信息。有限差分方法是求解雙曲型偏微分方程的最常用數(shù)值方法之一，通過網(wǎng)格差分近似波動方程微分算子，能夠得到完整的彈性波場信息，而且具有編程簡單、運算速度快等優(yōu)點，可以用來分析處理各種復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造中的波動問題。但是，這種方法也面臨計算精度低、復(fù)雜界面處理難度大等問題，局部物理和幾何參數(shù)的變化要求加密整個模型網(wǎng)格，導(dǎo)致計算量的大大增加。算法耗時大是目前幾乎所有波動方程模擬方法的特點，這一缺點對一次模擬是可以忍受的，但是大規(guī)模反演問題則無法實現(xiàn)。這也是目前采用波動方程作為模型的反演算法仍未走向?qū)嶋H的根本原因。發(fā)展一種網(wǎng)格劃分靈活、對復(fù)雜模型適應(yīng)性強而且計算精度高的快速不規(guī)則網(wǎng)格有限差分方法，已經(jīng)成為力學(xué)、地球物理學(xué)等領(lǐng)域國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點?！　《　∪祟惱玫闹饕V物與能源資源大多數(shù)都埋藏在具有復(fù)雜幾何構(gòu)造和復(fù)雜物理屬性的地球巖石圈中。在工程應(yīng)用中，人們往往把含油氣地層中復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造和裂縫系統(tǒng)簡化為幾種簡單的模型（如水平層狀、垂直裂縫系統(tǒng)等），把多孔介質(zhì)當(dāng)作無孔隙固體處理或進行經(jīng)驗修正，這就使得實際資料得不到充分、合理的解釋。因此，建立和發(fā)展更符合地質(zhì)實際的非均勻雙相各向異性介質(zhì)波動理論和快速求解方法已是當(dāng)今地震勘探領(lǐng)域面臨的課題。　　1951年Gassmann提出了一種流體對彈性波在孔隙介質(zhì)中傳播影響的等效介質(zhì)理論，把流體飽和雙相介質(zhì)作為某種等效單相介質(zhì)處理，等效介質(zhì)的彈性特征由骨架彈性特征和流體彈性特征求取。1956年Biot發(fā)表了《流體飽和多孔隙固體的彈性波傳播理論》等兩篇著名文章，從而奠定了雙相介質(zhì)中彈性波傳播規(guī)律的基礎(chǔ)。Biot理論假定：由彈性各向同性固體構(gòu)成骨架，連接骨架孔隙體積的空間內(nèi)充滿可壓縮性流體，流體相對于固體流動遵循Darcy定律，屬于Poiseuill型流動，流體與固體相對運動時存在質(zhì)量耦合效應(yīng)，彈性波波場必須明顯大于構(gòu)成孔隙結(jié)構(gòu)的顆粒的最大尺度。Biot理論指出，在流體飽和孔隙介質(zhì)中傳播的彈性波將產(chǎn)生快、慢兩種縱波，快縱波類似于無孔隙介質(zhì)中的普通縱波，對應(yīng)于固體和同相運動的流體；慢縱波對應(yīng)于固體和異相運動的流體。1980年P(guān)lona用實驗證明了慢縱波的存在，為Biot理論提供了有力證據(jù)。Amos Nur總結(jié)了孔隙巖石中波動傳播的特點，較詳細(xì)地闡述了流體飽和度、裂縫密度、孔隙度、孔隙流體壓力和圍壓、裂隙與孔隙空間的幾何形態(tài)等因素的影響。這些影響因素對地震勘探信息處理和解釋具有重要的意義?！　≡卺槍α芽p性儲層勘探中，早期油氣勘探中起到了非常重要作用的各向同性地層假設(shè)已遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足需要。1981年Stuart Crampin詳細(xì)論述了各向異性介質(zhì)中彈性波傳播問題，指出在各向異性介質(zhì)中存在橫波分裂現(xiàn)象，據(jù)此可以推斷裂縫發(fā)育程度和展布方向。近年來的理論研究與實際觀測均表明：具有水平對稱軸的橫向各向同性（即橫觀各向同性HTI介質(zhì)）是描述垂直分布、幣狀、定向裂縫性地層的最為簡單有效的模型，因而在裂縫性油氣藏勘探過程中廣泛使用。HTI介質(zhì)可以由5個獨立彈性常數(shù)來描述，1986年Thomson將5個參數(shù)用縱、橫波速度和3個無量綱參數(shù)? (ε，γ和δ) ?描述。在任意垂直面內(nèi)，這5個彈性常數(shù)還可以近似用拉梅常數(shù)和兩個無量綱參數(shù)描述，利用多相介質(zhì)本構(gòu)關(guān)系，這兩個無量綱參數(shù)可以指示勘探最關(guān)心的參數(shù)：裂縫密度和裂縫內(nèi)含物類型。因此，各向異性介質(zhì)中彈性波傳播特征研究變得更為復(fù)雜，而且更具有實際應(yīng)用價值?！　∮邢薏罘址椒ㄊ浅Ｓ玫囊环N數(shù)值解法，它是在微分方程中用差商代替偏導(dǎo)數(shù)，得到相應(yīng)的差分方程，通過解差分方程得到微分方程解的近似值。該方法廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、力學(xué)、地球物理、電磁學(xué)等領(lǐng)域，是求解波動方程問題的一種重要方法。根據(jù)求解波動方程的不同形式，有限差分方法可以分為二階差分法和一階差分法，根據(jù)網(wǎng)格特征，可以分為規(guī)則網(wǎng)格差分法和不規(guī)則網(wǎng)格有限差分法?！　〉卣鸩ㄕ菽M中有限差分方法的較早研究見于1968年Alterman和Karal的研究，他們給出了均勻各向同性介質(zhì)二維二階彈性波動方程有限差分方法，之后Boore(1972)和Alford (1974)等人先后在有限差分方面做了許多工作。Kelly 于1976年提出了非均勻各向同性介質(zhì)二維二階彈性波動方程有限差分方法。這些學(xué)者采用的都是以位移作為未知變量的波動方程，包含位移對時間和空間的二階偏導(dǎo)數(shù)。直接對位移表示的二階波動方程進行時間和空間的離散，要涉及三個時間步和空間步的物理量，公式煩瑣且計算量大，而且對泊松比變化比較大的模型穩(wěn)定性差?！　?980年Aki和Rechard提出了一維速度應(yīng)力有限差分法，并對不同的差分格式進行了穩(wěn)定性分析。1984年Virieux 提出了模擬SH波在非均勻介質(zhì)中傳播的速度-應(yīng)力有限差分法，1986年Virieux又進一步提出了P-SV波在二維非均勻介質(zhì)中傳播的速度-應(yīng)力有限差分法。該方法將彈性波動方程用速度和應(yīng)力來表示，對波動方程作降階處理，波動方程中位移對時間和空間的二階導(dǎo)數(shù)降為速度和應(yīng)力對于時間和空間的一階導(dǎo)數(shù)，并采用交錯網(wǎng)格進行計算，取得了良好效果。這種方法的重要優(yōu)點是，對任意泊松比變化的模型正演都很穩(wěn)定，適合于模擬固體、流體交界面附近的彈性波傳播問題；數(shù)值頻散和數(shù)值各向異性都很小，而且對泊松比的變化不敏感；采用具有高精度的差分算子，大大降低了單位波長內(nèi)的網(wǎng)格點數(shù)，提高了計算速度。1995年，Dai給出了非均勻各向同性孔隙介質(zhì)二維一階彈性波動方程的有限差分方法，對復(fù)雜介質(zhì)彈性波傳播進行了進一步的研究?！　∫陨瞎ぷ魅炕诘芽▋鹤鴺?biāo)系中的規(guī)則網(wǎng)格，在模擬實際地層中的斷層、低速層、孔洞、井眼等復(fù)雜構(gòu)造時，用普通網(wǎng)格模擬曲線界面時出現(xiàn)“階梯狀”邊界，在地形構(gòu)造模型中產(chǎn)生虛假繞射波。另外，局部幾何、物理參數(shù)的變化也會要求加密整個模型網(wǎng)格，導(dǎo)致計算量的大大增加，限制了有限差分方法在大規(guī)模數(shù)值模擬中的應(yīng)用。需要解決的關(guān)鍵問題是，在提高模擬復(fù)雜介質(zhì)模型計算精度的同時，保持算法較高的計算速度。因此，出現(xiàn)了不規(guī)則網(wǎng)格有限差分方法?！　。H。 Shortley首先于1938年研究了Laplace 方程的不規(guī)則網(wǎng)格有限差分法，Mozoc在1989年提出了均勻各向同性介質(zhì)中具有垂直變步長不規(guī)則網(wǎng)格的二維二階彈性波動方程有限差分法，Jastram和Tessmer， Falk等給出了交錯網(wǎng)格上的不規(guī)則網(wǎng)格差分方法，Tessmer， Hestholm和Ruud用變形的矩形網(wǎng)格模擬曲線邊界，1999年Ivo Oprsal研究了非均勻各向同性介質(zhì)中矩形不規(guī)則網(wǎng)格的二維二階彈性波動方程有限差分法。Pitarka提出了各向同性介質(zhì)中矩形不規(guī)則網(wǎng)格的有限差分方法，Nordstr?m導(dǎo)出了曲線坐標(biāo)下變形網(wǎng)格的高階差分方法。不規(guī)則網(wǎng)格有限差分方法網(wǎng)格劃分靈活，能夠較好地模擬各種復(fù)雜幾何界面情況，與相同規(guī)模的規(guī)則網(wǎng)格有限差分方法相比，計算精度大大提高；在相同精度要求下，這種方法計算速度快，可節(jié)省大量內(nèi)存，成為有限差分方法極具潛力的發(fā)展方向。目前不規(guī)則網(wǎng)格有限差分方法還面臨一些問題，仍限制在矩形不規(guī)則網(wǎng)格范圍內(nèi)，無法突破結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的限制；以二階彈性波動方程不規(guī)則網(wǎng)格有限差分方法為主，公式煩瑣，對于復(fù)雜模型正演的穩(wěn)定性和精度還未達到理想的水平。建立一種具有高精度差分算子、高適應(yīng)網(wǎng)格剖分能力和高計算速度的不規(guī)則網(wǎng)格有限差分方法是未來的發(fā)展方向?！　∪　”緯哪康木褪轻槍哂袕?fù)雜幾何構(gòu)造和復(fù)雜物質(zhì)屬性模型的彈性波傳播問題，研究具有高精度、低運算成本、適應(yīng)性強的有限差分方法。本書首先從均勻各向同性介質(zhì)中彈性波動方程的基本理論出發(fā)，給出波動方程的一般形式及其求解方法。然后，分別討論了波動方程的交錯網(wǎng)格有限差分方法、不規(guī)則網(wǎng)格有限差分方法，通過嚴(yán)格公式推導(dǎo)建立不同格式的有限差分方程，給出了震源和邊界條件的處理方法；針對各向異性介質(zhì)、雙相孔隙介質(zhì)等復(fù)雜情況逐步展開探討，對各種差分格式作了穩(wěn)定性和數(shù)值頻散分析，導(dǎo)出了穩(wěn)定性條件。在理論分析基礎(chǔ)上，本書還給出各種不同復(fù)雜介質(zhì)模型的數(shù)值算例，并在書中提供相關(guān)源程序代碼，便于讀者迅速理解并掌握波動方程有限差分?jǐn)?shù)值方法。在各章結(jié)尾還給出了建議進一步閱讀的文獻，并在全書結(jié)尾給出相關(guān)術(shù)語的索引，方便讀者在全書中迅速查找關(guān)心的內(nèi)容。由于作者水平和經(jīng)驗有限，書中難免出現(xiàn)不妥或者謬誤之處，敬請讀者和專家批評指正，提出寶貴意見?！　”緯闹饕ぷ鞯玫搅藝易匀豢茖W(xué)基金（項目批準(zhǔn)號： 10402015）和中國石油天然氣集團公司中青年創(chuàng)新基金（項目號： 05E7010）的支持，同時也得到了清華大學(xué)校內(nèi)基礎(chǔ)研究基金的大力支持，在此表示感謝！

內(nèi)容概要

本書首先從均勻各向同性介質(zhì)中彈性波動方程基本理論出發(fā)，給出波動方程的一般形式及其求解方法，為讀者提供一個對所研究問題的基本描述。然后，基于一階和二階彈性波動方程，分別討論了波動方程的交錯網(wǎng)格有限差分方法、不規(guī)則網(wǎng)格有限差分方法，通過嚴(yán)格的公式推導(dǎo)建立不同格式的有限差分方程，給出了震源和邊界條件的處理方法；針對均勻各向異性介質(zhì)、非均勻各向異性介質(zhì)、雙相孔隙介質(zhì)等復(fù)雜情況逐步展開探討，給出并對各種差分格式作了穩(wěn)定性和數(shù)值頻散分析，導(dǎo)出了穩(wěn)定性條件。在波動方程有限差分?jǐn)?shù)值方法的理論分析基礎(chǔ)上，本書還給出各種不同復(fù)雜介質(zhì)模型的數(shù)值算例，并在書中提供相關(guān)源程序代碼，便于讀者迅速理解并掌握波動方程有限差分?jǐn)?shù)值方法。    本書的讀者對象包括大專院校本科生、研究生，也可作為講授彈性波動力學(xué)的教師、科研人員參考用書，同時對石油工業(yè)中從事地震波勘探方法研究的人員也有幫助。

書籍目錄

第一部分 基本原理    第1章 彈性波動方程定解問題    1.1 彈性理論基礎(chǔ)    1.2 彈性波動方程及其基本解    建議進一步閱讀的文獻  第2章 均勻各向同性介質(zhì)彈性波動方程的有限差分方法    2.1 彈性波動方程的有限差分近似    2.2 網(wǎng)格剖分    2.3 有限差分格式相容性、收斂性和穩(wěn)定性    2.4 二維均勻各向同性介質(zhì)彈性波動方程的差分離散    2.5 差分格式穩(wěn)定性分析    建議進一步閱讀的文獻第二部分 高等差分算法    第3章 均勻各向同性介質(zhì)彈性波動方程的交錯網(wǎng)格有限差分方法    3.1 一階彈性波動方程    3.2 交錯網(wǎng)格有限差分方程    3.3 數(shù)值頻散和穩(wěn)定性分析    3.4 震源處理    3.5 吸收邊界處理    建議進一步閱讀的文獻  第4章 各向同性一階彈性波動方程的不規(guī)則網(wǎng)格有限差分方法    4.1 差分格式及方程離散    4.2 數(shù)值頻散和穩(wěn)定性分析    4.3 震源和吸收邊界處理    建議進一步閱讀的文獻第三部分 復(fù)雜介質(zhì)模型    第5章 各向異性介質(zhì)二階彈性波動方程不規(guī)則網(wǎng)格有限差分方法    5.1 基本方程    5.2 數(shù)值頻散和穩(wěn)定性分析    5.3 數(shù)值算例    建議進一步閱讀的文獻  第6章 各向異性一階彈性波動方程的非矩形不規(guī)則網(wǎng)格有限差分方法    6.1 基本方程    6.2 數(shù)值頻散和穩(wěn)定性分析    6.3 吸收邊界條件    6.4 數(shù)值算例    建議進一步閱讀的文獻  第7章 各向異性孔隙介質(zhì)彈性波動方程的有限差分算法    7.1 雙相各向異性介質(zhì)彈性波動方程    7.2 交錯規(guī)則網(wǎng)格有限差分方程    7.3 震源處理    7.4 吸收邊界條件    7.5 數(shù)值頻散和穩(wěn)定性分析    7.6 數(shù)值算例    建議進一步閱讀的文獻  第8章 各向異性孔隙介質(zhì)一階彈性波動方程不規(guī)則網(wǎng)格有限差分方法    8.1 基本方程    8.2 數(shù)值頻散和穩(wěn)定性分析    8.3 吸收邊界條件    8.4 數(shù)值算例    建議進一步閱讀的文獻附錄A 一階彈性波動方程的交錯網(wǎng)格顯式差分離散公式附錄B 非均勻各向異性介質(zhì)有限差分應(yīng)力-速度計算代碼  B.1 應(yīng)力分量更新過程的程序代碼  B.2 速度分量更新過程的程序代碼  B.3 子函數(shù)定義附錄C 震源處理程序?qū)崿F(xiàn)  C.1 震源結(jié)構(gòu)定義  C.2 震源網(wǎng)格點應(yīng)力分量更新過程程序代碼附錄D 二階Higdon吸收邊界條件的實現(xiàn)附錄E 吸收邊界條件程序代碼  E.1 應(yīng)力分量吸收邊界條件程序代碼  E.2 速度分量吸收邊界條件程序代碼  E.3 子函數(shù)定義  E.4 吸收邊界條件中相關(guān)系數(shù)索引參考文獻154

章節(jié)摘錄

　　第1章　彈性波動方程定解問題　　1．1　彈性理論基礎(chǔ)　　物體因受力而產(chǎn)生位移、應(yīng)力、應(yīng)變的擾動，這種擾動以一定的速度向物體其他部分傳播，形成能量的基本傳遞形式之一：波動．本書中論及的彈性波是指位移、應(yīng)力、應(yīng)變等物理量在線彈性介質(zhì)模型中的傳播。下面章節(jié)將簡要回顧經(jīng)典線彈性理論的相關(guān)基本概念和公式?！　?-1．1　彈性　　物體在外力作用下發(fā)生形狀改變，在一定限度內(nèi)，引起形變的作用力消失后，物體的形變也將完全消失，這種物體稱為完全彈性物體．物體完全恢復(fù)原來形狀的能力稱為彈性?！　椥晕矬w是實際材料的一種理想模型，建立在如下基本假設(shè)之上?！　。?）物質(zhì)連續(xù)性假設(shè)：實際物體的微觀結(jié)構(gòu)是由分子、原子、電子等粒子組成的，具有不連續(xù)性。但是，這些微觀在宏觀整體上表現(xiàn)出某種固有的物理特征（如密度、彈性常數(shù)等）。因此，經(jīng)典彈性理論能夠把實際材料抽象成連續(xù)而密實的連續(xù)介質(zhì)，并將位移、應(yīng)力、應(yīng)變等物理量定義為理想彈性模型空間點的連續(xù)函數(shù)，進而使用微積分等數(shù)學(xué)方法來處理?！　。?）彈性假設(shè)：物體的形變與受到的作用力之間存在單值函數(shù)關(guān)系，如果這種函數(shù)關(guān)系是線性的，則該物體稱為線彈性體．對應(yīng)的彈性理論稱為線彈性理論。

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