微分拓?fù)?/h1>

出版時(shí)間：2008 年11月  出版社：清華大學(xué)出版社  作者：徐森林;胡自勝;薛春華  頁(yè)數(shù)：314  
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前言

微分拓?fù)鋵W(xué)是研究微分流形在微分同胚下保持不變的各種性質(zhì)的學(xué)科。它的最初思想歸于H。Poincaré，當(dāng)時(shí)他所謂的拓?fù)鋵W(xué)就是現(xiàn)在的微分拓?fù)鋵W(xué)這一分支。由于H。Whitney，S。S。Cairns，J。H。C。Whitehead等的工作，微分拓?fù)鋵W(xué)理論在20世紀(jì)30年代取得了迅速的發(fā)展。接著，在J。Milnor,R。Thom，S。Smale和M。Kervaire等著名數(shù)學(xué)家的努力下，又有了新的進(jìn)展。一方面，有新理論的創(chuàng)立，如Milnor的微觀(guān)叢理論、Thom的配邊理論等；另一方面，一些看來(lái)高不可攀的著名古典問(wèn)題得到了解決。例如，球面可以具有許多不同的微分構(gòu)造，而且在許多場(chǎng)合，我們能夠計(jì)算它們的種數(shù)（MilnorSmale）。Milnor于1956年發(fā)表了一篇論文，給出了一個(gè)與7維標(biāo)準(zhǔn)球面同胚但不微分同胚的微分流形（Milnor怪球，參閱文獻(xiàn)［10］）時(shí)，引起了人們巨大的驚訝。更進(jìn)一步，Kervaire和Milnor于1962年證明了S7上共有28種不微分同胚的微分構(gòu)造（參閱文獻(xiàn)［8］）；M。Kervaire于1960年證明了有這樣的拓?fù)淞餍?，它根本沒(méi)有微分構(gòu)造（參閱文獻(xiàn)［7］）；HauptVermutung的主要猜測(cè)已被否定（MazurMilnor），等等。本書(shū)第1章1。1節(jié)和1。2節(jié)是預(yù)備知識(shí)。介紹了Cr微分流形、Cr映射、Cr單位分解、向量叢、切叢、張量叢、外形式叢、外微分形式的積分以及著名的Stokes定理。為了刻畫(huà)映射的逼近，描述映射和流形的光滑化，1。3節(jié)和1。4節(jié)引進(jìn)了弱與強(qiáng)Cr拓?fù)洌–rW(M,N)和CrS(M,N)）。1。5節(jié)和1。6節(jié)關(guān)于映射和流形的光滑化定理以及擾動(dòng)定理，使這一章的許多結(jié)果，若對(duì)C∞流形和C∞映射成立，實(shí)際上它在Cr流形和Cr映射（r≥1）時(shí)也成立。第2章證明了著名的MorseSard定理，并應(yīng)用Sard定理證明了Whitney嵌入定理、Thom橫截性定理。3。1節(jié)應(yīng)用Grassmann流形證明了管狀鄰域定理。3。2節(jié)在Cr定向（不可定向）流形上引進(jìn)了Cr映射的Brouwer度（模2度），并證明了Brouwer度（模2度）的同倫不變性。給出了Brouwer度（模2度）的許多應(yīng)用的實(shí)例。此外，還證明了Hopf分類(lèi)定理。4。1節(jié)證明了Morse引理和PoincaréHopf指數(shù)定理。4。2節(jié)反復(fù)應(yīng)用Morse引理，用臨界值刻畫(huà)了Ma={p∈M|f(p)≤a}的同倫型。從而論證了C∞流形具有CW復(fù)形的同倫型。最后，還討論了Morse不等式。5。1節(jié)引進(jìn)了de Rham上同調(diào)群，給出了大量C∞流形的de Rham上同調(diào)群的具體例子。論述了de Rham上同調(diào)群的MayerVietoris序列。并應(yīng)用它計(jì)算了Sm的de Rham上同調(diào)群。5。2節(jié)給出了整奇異同調(diào)群和實(shí)奇異上同調(diào)群；還給出了整小奇異同調(diào)群和實(shí)小奇異上同調(diào)群。5。3節(jié)借助系數(shù)在預(yù)層中的上同調(diào)理論，建立了著名的de Rham同構(gòu)定理。微分拓?fù)涫?0世紀(jì)發(fā)展起來(lái)的近代數(shù)學(xué)的重要一支。許多著名數(shù)學(xué)家在這個(gè)方向上作出了杰出的貢獻(xiàn)。以上諸定理的結(jié)果和論證方法不僅有很重要的理論價(jià)值，而且也有很重要的應(yīng)用價(jià)值。它對(duì)微分幾何、微分方程和其他數(shù)學(xué)分支以及理論物理等產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。此外，對(duì)于想從事與近代數(shù)學(xué)有關(guān)的研究的人員就必須精通微分拓?fù)涞闹R(shí)和方法。沒(méi)有這些，就難以進(jìn)入20世紀(jì)后的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域。此書(shū)能順利完成，完全應(yīng)該歸功于20世紀(jì)60年代教導(dǎo)我們的老師吳文俊教授和李培信教授，沒(méi)有他們的精心培育就沒(méi)有今天這本《微分拓?fù)洹返某霭?。全?shū)內(nèi)容在中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系研究生和高年級(jí)優(yōu)秀大學(xué)生中共講授8屆。每屆訓(xùn)練兩學(xué)期，使學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)和獨(dú)立研究能力都有很大提高。其中有6位研究生在全國(guó)研究生暑期訓(xùn)練班中獲獎(jiǎng)。特別是1998年在南京大學(xué)舉辦的研究生暑期訓(xùn)練班中，幾何拓?fù)浞较颢@第一名、第二名的是徐森林教授的學(xué)生梅加強(qiáng)、倪軼龍。2003年在山東威海舉辦的研究生訓(xùn)練班中，微分拓?fù)?、近代微分幾何兩門(mén)課第一名的還是徐森林教授的一位學(xué)生。經(jīng)一系列近代數(shù)學(xué)課程的講授、訓(xùn)練使中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出了一批有能力、有成就的年輕數(shù)學(xué)家。感謝中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系領(lǐng)導(dǎo)與老師的支持。感謝清華大學(xué)出版社劉穎編輯真誠(chéng)的幫助和熱心的鼓勵(lì)。

內(nèi)容概要

　　本書(shū)主要介紹微分拓?fù)渲械囊恍┲匾ɡ恚河成涞谋平ɡ?、映射和流形的光滑化定理；Morse—sard定理、Whitney嵌入定理、Thorn橫截性定理；管狀鄰域定理、Brouwer度的同倫不變性定理、Hopf分類(lèi)定理；Morse理論、用臨界值刻畫(huà)流形的同倫型和Morse不等式以及Poincare-Hopf指數(shù)定理；de Rham同構(gòu)定理，這些定理和方法在微分拓?fù)?、微分幾何、微分方程和理論物理等學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用。無(wú)疑，閱讀本書(shū)可使讀者具有良好的近代數(shù)學(xué)修養(yǎng)并能增強(qiáng)獨(dú)立研究的能力?！　”緯?shū)可作為理科大學(xué)數(shù)學(xué)系和本科生、研究生幾何、拓?fù)涞慕炭茣?shū)或物理系研究生相關(guān)課程的教科書(shū)和自學(xué)參考書(shū)。

作者簡(jiǎn)介

徐森林，華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院教授，1941年12月12日出生于江蘇省吳縣，1960年畢業(yè)于江省蘇州中學(xué)。同年進(jìn)入中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)，1965年畢業(yè)于中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何拓專(zhuān)業(yè)，導(dǎo)師是著名數(shù)學(xué)家吳文俊教授，并留校工作。1985年為副教授，1990年晉升教授，1993年受聘為博士生導(dǎo)師，1982年-1984年到美國(guó)Princeton大學(xué)作訪(fǎng)問(wèn)學(xué)者。1988年6月到12月到意大利ICTP作訪(fǎng)問(wèn)教授。1995年1月-3月到美國(guó)Purdue大學(xué)合作研究。2002年經(jīng)幾位院士推薦，被華中師范大學(xué)特聘為該校教授、博士生導(dǎo)師，目前在教學(xué)科研方面發(fā)揮著積極的作用。1989年聘為美國(guó)《數(shù)學(xué)評(píng)論》（Math.Rev.）評(píng)論員。1990年-1995年和1995年-2000年分別聘為首屆和第二屆《國(guó)家教委數(shù)學(xué)與力學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)》委員，享受?chē)?guó)務(wù)院特殊津貼，名字列入《世界數(shù)學(xué)家名錄》。研究方向?yàn)閹缀瓮負(fù)?、分析和?jì)算復(fù)雜性理論。多次主持國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目、中科院基金項(xiàng)目、意大利第三世界科學(xué)基金項(xiàng)目的研究工作。已在國(guó)內(nèi)外重要雜志上發(fā)表了有關(guān)子流形幾何、極小子流形、譜理論及拓?fù)洳蛔兞康恼撐慕?0篇，出版著作9本，其中與他人合寫(xiě)的《數(shù)學(xué)分析》于1986年獲國(guó)家教委優(yōu)秀教材二等獎(jiǎng)。因教學(xué)突出，79年獲中國(guó)科技大學(xué)教學(xué)特等獎(jiǎng)，2000年獲寶鋼教學(xué)獎(jiǎng)，研究工作已達(dá)到國(guó)內(nèi)先進(jìn)，部分國(guó)際先進(jìn)水平，并進(jìn)入國(guó)內(nèi)同行研究的前沿，曾得到著名數(shù)學(xué)家吳文俊、Smale、Kuhn、Verjevsky等人的贊賞。教學(xué)方面，主講過(guò)本科生和研究生的主要學(xué)位課程16門(mén)，有一整套培養(yǎng)訓(xùn)練學(xué)生的方法。因材施教，效果突出，成績(jī)顯著。培養(yǎng)了如李巖巖、舒其望、沙際平、左康、王偉強(qiáng)、周堅(jiān)等著名年輕數(shù)學(xué)家。在不拘一格選拔人才方面，曾將只有初中畢業(yè)，自學(xué)成材的肖剛推薦到中科大讀研究生。之后肖剛赴法國(guó)深造，對(duì)數(shù)學(xué)有突出貢獻(xiàn)，獲陳省身獎(jiǎng)。與薛春華合編的《數(shù)學(xué)分析》，書(shū)中配備大量典型實(shí)例，習(xí)題分練習(xí)題、思考題與復(fù)習(xí)題三個(gè)層次，在深入挖掘傳播精髓內(nèi)容的同時(shí)，做到與后續(xù)課程內(nèi)容的密切結(jié)合，使內(nèi)容具有近代數(shù)學(xué)的氣息。另外，從講述和訓(xùn)練兩個(gè)層面來(lái)體現(xiàn)因材施教的教學(xué)理念，受到廣泛的好評(píng)。

書(shū)籍目錄

第1章　映射空間Cr(M,N)的強(qiáng)Cr拓?fù)湎掠成涞谋平c光滑化、流形的光滑化1.1 微分流形、微分映射、單位分解1.2 切叢、張量叢、外形式叢、外微分形式的積分、Stokes定理1.3 映射空間Cr（M,N）上的弱與強(qiáng)Cr拓?fù)?.4 映射空間C∞（M,N）上的弱與強(qiáng)C∞拓?fù)?.5 映射的逼近1.6 映射的光滑化與流形的光滑化第2章　Morse Sard定理、Whitney嵌入定理和Thom橫截性定理2.1 Morse Sard定理2.2 Whitney嵌入定理2.3 Thom橫截性定理第3章　管狀鄰域定理、Brouwer度與Hopf分類(lèi)定理3.1 Grassmann流形與管狀鄰域定理3.2 連續(xù)映射的Brouwer度3.3 Hopf分類(lèi)定理第4章　Morse理論、Poincaré Hopf指數(shù)定理4.1 Morse引理與Poincaré Hopf指數(shù)定理4.2 用臨界值刻畫(huà)流形的同倫型4.3 Morse不等式第5章　deRham同構(gòu)定理5.1 deRham上同調(diào)群5.2 整奇異同調(diào)群和實(shí)奇異上同調(diào)群5.3 deRham同構(gòu)定理參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

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編輯推薦

《微分拓?fù)洹房勺鳛槔砜拼髮W(xué)數(shù)學(xué)系和本科生、研究生幾何、拓?fù)涞慕炭茣?shū)或物理系研究生相關(guān)課程的教科書(shū)和自學(xué)參考書(shū)。

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