微分拓撲

前言

微分拓撲學是研究微分流形在微分同胚下保持不變的各種性質(zhì)的學科。它的最初思想歸于H。Poincaré，當時他所謂的拓撲學就是現(xiàn)在的微分拓撲學這一分支。由于H。Whitney，S。S。Cairns，J。H。C。Whitehead等的工作，微分拓撲學理論在20世紀30年代取得了迅速的發(fā)展。接著，在J。Milnor,R。Thom，S。Smale和M。Kervaire等著名數(shù)學家的努力下，又有了新的進展。一方面，有新理論的創(chuàng)立，如Milnor的微觀叢理論、Thom的配邊理論等；另一方面，一些看來高不可攀的著名古典問題得到了解決。例如，球面可以具有許多不同的微分構(gòu)造，而且在許多場合，我們能夠計算它們的種數(shù)（MilnorSmale）。Milnor于1956年發(fā)表了一篇論文，給出了一個與7維標準球面同胚但不微分同胚的微分流形（Milnor怪球，參閱文獻［10］）時，引起了人們巨大的驚訝。更進一步，Kervaire和Milnor于1962年證明了S7上共有28種不微分同胚的微分構(gòu)造（參閱文獻［8］）；M。Kervaire于1960年證明了有這樣的拓撲流形，它根本沒有微分構(gòu)造（參閱文獻［7］）；HauptVermutung的主要猜測已被否定（MazurMilnor），等等。本書第1章1。1節(jié)和1。2節(jié)是預備知識。介紹了Cr微分流形、Cr映射、Cr單位分解、向量叢、切叢、張量叢、外形式叢、外微分形式的積分以及著名的Stokes定理。為了刻畫映射的逼近，描述映射和流形的光滑化，1。3節(jié)和1。4節(jié)引進了弱與強Cr拓撲（CrW(M,N)和CrS(M,N)）。1。5節(jié)和1。6節(jié)關(guān)于映射和流形的光滑化定理以及擾動定理，使這一章的許多結(jié)果，若對C∞流形和C∞映射成立，實際上它在Cr流形和Cr映射（r≥1）時也成立。第2章證明了著名的MorseSard定理，并應用Sard定理證明了Whitney嵌入定理、Thom橫截性定理。3。1節(jié)應用Grassmann流形證明了管狀鄰域定理。3。2節(jié)在Cr定向（不可定向）流形上引進了Cr映射的Brouwer度（模2度），并證明了Brouwer度（模2度）的同倫不變性。給出了Brouwer度（模2度）的許多應用的實例。此外，還證明了Hopf分類定理。4。1節(jié)證明了Morse引理和PoincaréHopf指數(shù)定理。4。2節(jié)反復應用Morse引理，用臨界值刻畫了Ma={p∈M|f(p)≤a}的同倫型。從而論證了C∞流形具有CW復形的同倫型。最后，還討論了Morse不等式。5。1節(jié)引進了de Rham上同調(diào)群，給出了大量C∞流形的de Rham上同調(diào)群的具體例子。論述了de Rham上同調(diào)群的MayerVietoris序列。并應用它計算了Sm的de Rham上同調(diào)群。5。2節(jié)給出了整奇異同調(diào)群和實奇異上同調(diào)群；還給出了整小奇異同調(diào)群和實小奇異上同調(diào)群。5。3節(jié)借助系數(shù)在預層中的上同調(diào)理論，建立了著名的de Rham同構(gòu)定理。微分拓撲是20世紀發(fā)展起來的近代數(shù)學的重要一支。許多著名數(shù)學家在這個方向上作出了杰出的貢獻。以上諸定理的結(jié)果和論證方法不僅有很重要的理論價值，而且也有很重要的應用價值。它對微分幾何、微分方程和其他數(shù)學分支以及理論物理等產(chǎn)生了深遠的影響。此外，對于想從事與近代數(shù)學有關(guān)的研究的人員就必須精通微分拓撲的知識和方法。沒有這些，就難以進入20世紀后的數(shù)學研究領(lǐng)域。此書能順利完成，完全應該歸功于20世紀60年代教導我們的老師吳文俊教授和李培信教授，沒有他們的精心培育就沒有今天這本《微分拓撲》的出版。全書內(nèi)容在中國科學技術(shù)大學數(shù)學系研究生和高年級優(yōu)秀大學生中共講授8屆。每屆訓練兩學期，使學生的數(shù)學修養(yǎng)和獨立研究能力都有很大提高。其中有6位研究生在全國研究生暑期訓練班中獲獎。特別是1998年在南京大學舉辦的研究生暑期訓練班中，幾何拓撲方向獲第一名、第二名的是徐森林教授的學生梅加強、倪軼龍。2003年在山東威海舉辦的研究生訓練班中，微分拓撲、近代微分幾何兩門課第一名的還是徐森林教授的一位學生。經(jīng)一系列近代數(shù)學課程的講授、訓練使中國科學技術(shù)大學出了一批有能力、有成就的年輕數(shù)學家。感謝中國科學技術(shù)大學數(shù)學系領(lǐng)導與老師的支持。感謝清華大學出版社劉穎編輯真誠的幫助和熱心的鼓勵。

內(nèi)容概要

　　本書主要介紹微分拓撲中的一些重要定理：映射的逼近定理、映射和流形的光滑化定理；Morse—sard定理、Whitney嵌入定理、Thorn橫截性定理；管狀鄰域定理、Brouwer度的同倫不變性定理、Hopf分類定理；Morse理論、用臨界值刻畫流形的同倫型和Morse不等式以及Poincare-Hopf指數(shù)定理；de Rham同構(gòu)定理，這些定理和方法在微分拓撲、微分幾何、微分方程和理論物理等學科中都有廣泛的應用。無疑，閱讀本書可使讀者具有良好的近代數(shù)學修養(yǎng)并能增強獨立研究的能力?！　”緯勺鳛槔砜拼髮W數(shù)學系和本科生、研究生幾何、拓撲的教科書或物理系研究生相關(guān)課程的教科書和自學參考書。

作者簡介

徐森林，華中師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院教授，1941年12月12日出生于江蘇省吳縣，1960年畢業(yè)于江省蘇州中學。同年進入中國科學技術(shù)大學數(shù)學系學習，1965年畢業(yè)于中國科學技術(shù)大學數(shù)學系幾何拓專業(yè)，導師是著名數(shù)學家吳文俊教授，并留校工作。1985年為副教授，1990年晉升教授，1993年受聘為博士生導師，1982年-1984年到美國Princeton大學作訪問學者。1988年6月到12月到意大利ICTP作訪問教授。1995年1月-3月到美國Purdue大學合作研究。2002年經(jīng)幾位院士推薦，被華中師范大學特聘為該校教授、博士生導師，目前在教學科研方面發(fā)揮著積極的作用。1989年聘為美國《數(shù)學評論》（Math.Rev.）評論員。1990年-1995年和1995年-2000年分別聘為首屆和第二屆《國家教委數(shù)學與力學教學指導委員會》委員，享受國務(wù)院特殊津貼，名字列入《世界數(shù)學家名錄》。研究方向為幾何拓撲、分析和計算復雜性理論。多次主持國家自然科學基金項目、中科院基金項目、意大利第三世界科學基金項目的研究工作。已在國內(nèi)外重要雜志上發(fā)表了有關(guān)子流形幾何、極小子流形、譜理論及拓撲不變量的論文近90篇，出版著作9本，其中與他人合寫的《數(shù)學分析》于1986年獲國家教委優(yōu)秀教材二等獎。因教學突出，79年獲中國科技大學教學特等獎，2000年獲寶鋼教學獎，研究工作已達到國內(nèi)先進，部分國際先進水平，并進入國內(nèi)同行研究的前沿，曾得到著名數(shù)學家吳文俊、Smale、Kuhn、Verjevsky等人的贊賞。教學方面，主講過本科生和研究生的主要學位課程16門，有一整套培養(yǎng)訓練學生的方法。因材施教，效果突出，成績顯著。培養(yǎng)了如李巖巖、舒其望、沙際平、左康、王偉強、周堅等著名年輕數(shù)學家。在不拘一格選拔人才方面，曾將只有初中畢業(yè)，自學成材的肖剛推薦到中科大讀研究生。之后肖剛赴法國深造，對數(shù)學有突出貢獻，獲陳省身獎。與薛春華合編的《數(shù)學分析》，書中配備大量典型實例，習題分練習題、思考題與復習題三個層次，在深入挖掘傳播精髓內(nèi)容的同時，做到與后續(xù)課程內(nèi)容的密切結(jié)合，使內(nèi)容具有近代數(shù)學的氣息。另外，從講述和訓練兩個層面來體現(xiàn)因材施教的教學理念，受到廣泛的好評。

書籍目錄

第1章　映射空間Cr(M,N)的強Cr拓撲下映射的逼近與光滑化、流形的光滑化1.1 微分流形、微分映射、單位分解1.2 切叢、張量叢、外形式叢、外微分形式的積分、Stokes定理1.3 映射空間Cr（M,N）上的弱與強Cr拓撲1.4 映射空間C∞（M,N）上的弱與強C∞拓撲1.5 映射的逼近1.6 映射的光滑化與流形的光滑化第2章　Morse Sard定理、Whitney嵌入定理和Thom橫截性定理2.1 Morse Sard定理2.2 Whitney嵌入定理2.3 Thom橫截性定理第3章　管狀鄰域定理、Brouwer度與Hopf分類定理3.1 Grassmann流形與管狀鄰域定理3.2 連續(xù)映射的Brouwer度3.3 Hopf分類定理第4章　Morse理論、Poincaré Hopf指數(shù)定理4.1 Morse引理與Poincaré Hopf指數(shù)定理4.2 用臨界值刻畫流形的同倫型4.3 Morse不等式第5章　deRham同構(gòu)定理5.1 deRham上同調(diào)群5.2 整奇異同調(diào)群和實奇異上同調(diào)群5.3 deRham同構(gòu)定理參考文獻

章節(jié)摘錄

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編輯推薦

《微分拓撲》可作為理科大學數(shù)學系和本科生、研究生幾何、拓撲的教科書或物理系研究生相關(guān)課程的教科書和自學參考書。

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