高等數(shù)學

前言

數(shù)學是研究客觀世界數(shù)量關系和空間形式的一門科學。隨著現(xiàn)代科學技術和數(shù)學科學的發(fā)展，“數(shù)量關系”和“空間形式”有了越來越豐富的內(nèi)涵和更加廣泛的外延。數(shù)學不僅是一種工具，而且是一種思維模式； 不僅是一種知識，而且是一種素養(yǎng)； 不僅是一門科學，而且是一種文化。數(shù)學教育在培養(yǎng)高素質(zhì)科技人才中具有其獨特的、不可替代的作用。對于高等學校工科類專業(yè)的本科生而言，高等數(shù)學課程是一門非常重要的基礎課，它內(nèi)容豐富，理論嚴謹，應用廣泛，影響深遠。不僅為學習后繼課程和進一步擴大數(shù)學知識面奠定必要的基礎，而且在培養(yǎng)學生抽象思維、邏輯推理能力，綜合利用所學知識分析問題解決問題的能力，較強的自主學習的能力，創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力上都具有非常重要的作用。本教材面對高等教育大眾化的現(xiàn)實，以教育部非數(shù)學專業(yè)數(shù)學基礎課教學指導分委員會制定的新的“工科類本科數(shù)學基礎課程教學基本要求”為依據(jù)，以“必須夠用”為原則確定內(nèi)容和深度。知識點的覆蓋面與“基本要求”相一致，要求度上略高于“基本要求”。本教材對基本概念的敘述清晰準確； 對定理的證明簡明易懂，但對難度較大的理論問題則不過分強調(diào)論證的嚴密性，有的僅給出結論而不加證明； 對例題的選配力求典型多樣，難度上層次分明，注意解題方法的總結； 強調(diào)基本運算能力的培養(yǎng)和理論的實際應用； 注重對學生的思維能力、自學能力和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。為便于學生自學和自我檢查，本書每章之后附有小結。小結包括內(nèi)容綱要、教學基本要求、本章重點難點、部分重點難點內(nèi)容淺析等幾個部分。基本要求的高低用不同詞匯加以區(qū)分，對概念理論從高到低用“理解”、“了解”（或“知道”）二級區(qū)分； 對運算、方法從高到低用“掌握”、“能”（或“會”）二級區(qū)分。本書配有較豐富的習題，每節(jié)后的習題多為基本題，用于加深對基本概念、基本理論的理解和基本運算、方法的訓練。每章后的復習題用于對該章所學知識的鞏固和提高，難度有所增加，少量難度較大的題在答案中給出必要的提示，以啟發(fā)學生思維，提高解題能力?？紤]到不同學校、不同專業(yè)對高等數(shù)學課程內(nèi)容廣度和深度的不同要求，本書作了適當?shù)奶幚?，以適應不同層次、不同專業(yè)的需要； 在內(nèi)容的選取上，對加*號的內(nèi)容可依不同需要加以取舍，并不會影響后繼內(nèi)容的學習； 在教學的深度上由于配有較豐富的例題和習題，從而使教師和學生都有較大的選擇余地，以滿足不同層次的教學對象的要求。本書內(nèi)容包括： 函數(shù)與極限、一元函數(shù)微積分學、空間解析幾何、多元微積分學、級數(shù)、微分方程。書末附有幾種常用的曲線及其方程、積分表、場論初步三個附錄及習題參考答案。本書一元微積分部分由薛志純、袁潔英編寫，多元微積分及場論初步由薛志純編寫，空間解析幾何、級數(shù)、微分方程由余慎之編寫，薛志純負責全書的統(tǒng)稿及多次的修改定稿。參加審稿的有東南大學王文蔚教授、南京理工大學許品芳副教授、南京郵電大學楊應弼教授及王健明、黃俊良副教授等。酈志新、周華、戴建新、張穎等參加了最近一次的修改工作。在此對所有關心支持本書的編寫、修改工作的教師表示衷心的感謝。本書中存在的問題，歡迎專家、同行及讀者批評指正。

內(nèi)容概要

　　本書是根據(jù)國家教育部非數(shù)學專業(yè)數(shù)學基礎課教學指導分委員會制定的工科類本科數(shù)學基礎課程教學基本要求編寫的。內(nèi)容包括： 函數(shù)與極限，一元函數(shù)微積分，向量代數(shù)與空間解析幾何，多元函數(shù)微積分，級數(shù)，常微分方程等，書末附有幾種常用平面曲線及其方程、積分表、場論初步等三個附錄以及習題參考答案.本書對基本概念的敘述清晰準確，對基本理論的論述簡明易懂，例題習題的選配典型多樣，強調(diào)基本運算能力的培養(yǎng)及理論的實際應用。本書可用作高等學校工科類本科生和電大、職大的高等數(shù)學課程的教材，也可供教師作為教學參考書及自學高等數(shù)學課程者使用。

作者簡介

余慎之，1935年5月生，南京市人。1959年畢業(yè)于北京大學數(shù)學力學系數(shù)學專業(yè)。后分配到北京輕工業(yè)學（現(xiàn)北京工商大學）院任教。1966年調(diào)至西北輕工業(yè)學院任教，1979年底調(diào)至南京郵電學院任教至今。他一心撲在教育事業(yè)上，嚴謹治學，精益求精，受到學生歡迎。獲得了江蘇省教學優(yōu)秀質(zhì)量獎。擔任過數(shù)學教研室主任、人民代表和江蘇省高校數(shù)學教研會常務理事副秘書長。編有《概率論》教材一套，與人合作編有《高等數(shù)學》教材一套，均獲得優(yōu)秀教材獎。

書籍目錄

第1章 函數(shù)的極限與連續(xù)1.1 函數(shù)1.1.1 集合與區(qū)間1.1.2 函數(shù)1.1.3 初等函數(shù)1.2 數(shù)列的極限1.2.1 數(shù)列1.2.2 數(shù)列極限的定義1.2.3 關于數(shù)列極限的幾個結論1.3 函數(shù)的極限1.3.1 自變量趨向于無窮大時函數(shù)的極限1.3.2 自變量趨向有限值時函數(shù)的極限1.3.3 函數(shù)極限的性質(zhì)1.4 無窮小量與無窮大量1.4.1 無窮小量1.4.2 無窮大量1.4.3 無窮小量的運算性質(zhì)1.5 極限的運算法則1.6 兩個重要極限1.6.1 夾逼定理1.6.2 重要極限：limx→0sinxx=11.6.3 數(shù)列收斂準則1.6.4 重要極限：limx→∞1+1xx=e1.7 無窮小量的比較1.8 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點1.8.1 函數(shù)的連續(xù)性1.8.2 函數(shù)的間斷點1.8.3 連續(xù)函數(shù)的運算1.8.4 初等函數(shù)的連續(xù)性1.9 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)本章小結復習題1第2章 導數(shù)與微分2.1 導數(shù)的概念2.1.1 兩個實例2.1.2 導數(shù)的定義2.1.3 求導數(shù)舉例2.1.4 導數(shù)的幾何意義2.1.5 函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系2.2 函數(shù)的求導法則2.2.1 函數(shù)的和、差、積、商的求導法則2.2.2 反函數(shù)的導數(shù)2.2.3 復合函數(shù)的導數(shù)2.2.4 初等函數(shù)的導數(shù)2.3 高階導數(shù)2.4 隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)2.4.1 隱函數(shù)的導數(shù)2.4.2 參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)2.4.3 相關變化率2.5 函數(shù)的微分及其應用2.5.1 微分的概念2.5.2 微分的幾何意義2.5.3 微分的運算2.5.4 微分在近似計算中的應用本章小結復習題2第3章 中值定理與導數(shù)的應用3.1 中值定理3.1.1 羅爾定理3.1.2 拉格朗日中值定理3.1.3 柯西中值定理3.2 洛必達法則3.3 函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的極值3.3.1 函數(shù)的單調(diào)性3.3.2 函數(shù)的極值3.3.3 最大值和最小值問題3.4 曲線的凹凸、拐點及函數(shù)作圖3.4.1 曲線的凹凸及其判定方法3.4.2 函數(shù)作圖3.5 泰勒公式3.5.1 泰勒公式3.5.2 幾個常見函數(shù)的麥克勞林公式3.6 弧微分及曲率3.6.1 弧微分3.6.2 曲率及其計算公式3.6.3 曲率圓3.7 方程的近似解3.7.1 二分法3.7.2 切線法本章小結復習題3第4章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質(zhì)4.1.1 不定積分的概念4.1.2 不定積分的性質(zhì)4.1.3 基本積分表4.2 換元積分法4.2.1 第一類換元法4.2.2 第二類換元法4.3 分部積分法4.4 兩類函數(shù)的積分4.4.1 有理函數(shù)的積分4.4.2 三角函數(shù)有理式的積分4.5 積分表的使用本章小結復習題4第5章 定積分及其應用5.1 定積分的概念5.1.1 兩個實際問題5.1.2 定積分的概念5.2 定積分的性質(zhì)5.3 微積分基本公式5.3.1 變上限的定積分5.3.2 微積分基本公式5.4 定積分的換元積分法和分部積分法5.4.1 定積分的換元積分法5.4.2 定積分的分部積分法5.5 定積分的近似計算5.5.1 矩形法5.5.2 梯形法5.5.3 拋物線法5.6 廣義積分5.6.1 無窮限的廣義積分5.6.2 無界函數(shù)的廣義積分5.7 定積分的應用5.7.1 定積分的元素法5.7.2 幾何應用5.7.3 定積分的物理應用本章小結復習題5第6章 向量代數(shù)與空間解析幾何6.1 空間直角坐標系6.1.1 空間直角坐標系6.1.2 兩點間的距離公式6.2 向量的概念6.2.1 向量的概念6.2.2 向量的加減法6.3 向量的坐標表達式6.3.1 向量的坐標6.3.2 向量的模與方向余弦6.4 數(shù)量積與向量積6.4.1 兩向量的數(shù)量積6.4.2 兩向量的向量積6.5 空間曲面與曲線的方程6.5.1 曲面方程6.5.2 空間曲線方程6.6 空間平面的方程6.6.1 平面的點法式方程6.6.2 平面的一般方程6.7 空間直線的方程6.7.1 空間直線的一般式方程6.7.2 空間直線的標準式方程6.7.3 直線的參數(shù)方程6.8 常見的二次曲面的圖形6.8.1 橢球面6.8.2 雙曲面6.8.3 拋物面6.8.4 二次錐面本章小結復習題6第7章 多元函數(shù)微分法及其應用7.1 多元函數(shù)的基本概念7.1.1 區(qū)域7.1.2 多元函數(shù)的概念7.1.3 二元函數(shù)的極限7.1.4 二元函數(shù)的連續(xù)性7.2 偏導數(shù)7.2.1 偏導數(shù)的定義及計算方法7.2.2 高階偏導數(shù)7.3 全微分及其應用7.3.1 全微分的概念7.3.2 全微分在近似計算中的應用7.4 多元函數(shù)的微分法7.4.1 多元復合函數(shù)的求導法則7.4.2 隱函數(shù)的求導公式7.5 偏導數(shù)的幾何應用7.5.1 空間曲線的切線及法平面7.5.2 曲面的切平面與法線7.6 方向?qū)?shù)與梯度7.6.1 方向?qū)?shù)7.6.2 梯度7.7 多元函數(shù)的極值7.7.1 多元函數(shù)的極值及最大值、最小值7.7.2 條件極值本章小結復習題7第8章 重積分8.1 二重積分的概念與性質(zhì)8.1.1 二重積分的概念8.1.2 二重積分的性質(zhì)8.2 二重積分的計算方法8.2.1 二重積分在直角坐標系中的計算方法8.2.2 二重積分在極坐標系中的計算方法8.3 二重積分應用舉例8.3.1 幾何應用舉例8.3.2 物理應用舉例8.4 三重積分的概念及計算方法8.4.1 三重積分的概念8.4.2 在直角坐標系中計算三重積分8.4.3 在柱面坐標系中計算三重積分8.4.4 在球面坐標系中計算三重積分本章小結復習題8第9章 曲線積分與曲面積分9.1 對弧長的曲線積分9.1.1 對弧長曲線積分的概念與性質(zhì)9.1.2 對弧長的曲線積分的計算法9.2 對坐標的曲線積分9.2.1 對坐標的曲線積分的概念與性質(zhì)9.2.2 對坐標的曲線積分的計算法9.2.3 兩類曲線積分之間的聯(lián)系9.3 格林公式9.3.1 格林公式9.3.2 曲線積分與路徑無關的條件9.4 曲面積分9.4.1 對面積的曲面積分9.4.2 對坐標的曲面積分9.4.3 兩類曲面積分之間的聯(lián)系9.4.4 高斯公式本章小結復習題9第10章 級數(shù)10.1 數(shù)項級數(shù)10.1.1 無窮級數(shù)的斂散性10.1.2 無窮級數(shù)的性質(zhì)10.1.3 級數(shù)收斂的必要條件10.2 常數(shù)項級數(shù)審斂法10.2.1 正項級數(shù)的審斂法10.2.2 交錯級數(shù)的審斂法10.2.3 絕對收斂與條件收斂10.3 冪級數(shù)10.3.1 冪級數(shù)的概念10.3.2 冪級數(shù)的收斂性10.3.3 冪級數(shù)的運算10.4 函數(shù)展開成泰勒級數(shù)10.4.1 泰勒級數(shù)10.4.2 把函數(shù)展成冪級數(shù)10.4.3 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用舉例10.4.4 歐拉公式10.5 傅里葉級數(shù)10.5.1 以2π為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)10.5.2 定義在［-π，π］或［0，π］上的函數(shù)的傅里葉級數(shù)10.5.3 以2l為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)本章小結復習題10第11章 微分方程11.1 微分方程的基本概念11.1.1 微分方程11.1.2 微分方程的階11.1.3 微分方程的解11.2 可分離變量的微分方程11.3 一階線性微分方程11.3.1 一階齊次線性方程通解的求法11.3.2 一階非齊次線性方程通解的求法11.4 可降階的二階微分方程11.4.1 y″=f（x）型的微分方程11.4.2 y″=f（x,y′）型的微分方程11.4.3 y″=f（y,y′）型的微分方程11.5 二階常系數(shù)齊次線性微分方程11.5.1 二階常系數(shù)齊次線性微分方程解的性質(zhì)11.5.2 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法11.6 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程11.6.1 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解的性質(zhì)11.6.2 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法本章小結復習題11附錄A幾種常用平面曲線及其方程附錄B積分表附錄C場論初步習題參考答案

章節(jié)摘錄

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《高等數(shù)學》可用作高等學校工科類本科生和電大、職大的高等數(shù)學課程的教材，也可供教師作為教學參考書及自學高等數(shù)學課程者使用。

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