高等數(shù)學(xué)

前言

數(shù)學(xué)是研究客觀世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)。隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，“數(shù)量關(guān)系”和“空間形式”有了越來越豐富的內(nèi)涵和更加廣泛的外延。數(shù)學(xué)不僅是一種工具，而且是一種思維模式； 不僅是一種知識(shí)，而且是一種素養(yǎng)； 不僅是一門科學(xué)，而且是一種文化。數(shù)學(xué)教育在培養(yǎng)高素質(zhì)科技人才中具有其獨(dú)特的、不可替代的作用。對(duì)于高等學(xué)校工科類專業(yè)的本科生而言，高等數(shù)學(xué)課程是一門非常重要的基礎(chǔ)課，它內(nèi)容豐富，理論嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)用廣泛，影響深遠(yuǎn)。不僅為學(xué)習(xí)后繼課程和進(jìn)一步擴(kuò)大數(shù)學(xué)知識(shí)面奠定必要的基礎(chǔ)，而且在培養(yǎng)學(xué)生抽象思維、邏輯推理能力，綜合利用所學(xué)知識(shí)分析問題解決問題的能力，較強(qiáng)的自主學(xué)習(xí)的能力，創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力上都具有非常重要的作用。本教材面對(duì)高等教育大眾化的現(xiàn)實(shí)，以教育部非數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教學(xué)指導(dǎo)分委員會(huì)制定的新的“工科類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求”為依據(jù)，以“必須夠用”為原則確定內(nèi)容和深度。知識(shí)點(diǎn)的覆蓋面與“基本要求”相一致，要求度上略高于“基本要求”。本教材對(duì)基本概念的敘述清晰準(zhǔn)確； 對(duì)定理的證明簡(jiǎn)明易懂，但對(duì)難度較大的理論問題則不過分強(qiáng)調(diào)論證的嚴(yán)密性，有的僅給出結(jié)論而不加證明； 對(duì)例題的選配力求典型多樣，難度上層次分明，注意解題方法的總結(jié)； 強(qiáng)調(diào)基本運(yùn)算能力的培養(yǎng)和理論的實(shí)際應(yīng)用； 注重對(duì)學(xué)生的思維能力、自學(xué)能力和創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)。為便于學(xué)生自學(xué)和自我檢查，本書每章之后附有小結(jié)。小結(jié)包括內(nèi)容綱要、教學(xué)基本要求、本章重點(diǎn)難點(diǎn)、部分重點(diǎn)難點(diǎn)內(nèi)容淺析等幾個(gè)部分。基本要求的高低用不同詞匯加以區(qū)分，對(duì)概念理論從高到低用“理解”、“了解”（或“知道”）二級(jí)區(qū)分； 對(duì)運(yùn)算、方法從高到低用“掌握”、“能”（或“會(huì)”）二級(jí)區(qū)分。本書配有較豐富的習(xí)題，每節(jié)后的習(xí)題多為基本題，用于加深對(duì)基本概念、基本理論的理解和基本運(yùn)算、方法的訓(xùn)練。每章后的復(fù)習(xí)題用于對(duì)該章所學(xué)知識(shí)的鞏固和提高，難度有所增加，少量難度較大的題在答案中給出必要的提示，以啟發(fā)學(xué)生思維，提高解題能力?？紤]到不同學(xué)校、不同專業(yè)對(duì)高等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容廣度和深度的不同要求，本書作了適當(dāng)?shù)奶幚?，以適應(yīng)不同層次、不同專業(yè)的需要； 在內(nèi)容的選取上，對(duì)加*號(hào)的內(nèi)容可依不同需要加以取舍，并不會(huì)影響后繼內(nèi)容的學(xué)習(xí)； 在教學(xué)的深度上由于配有較豐富的例題和習(xí)題，從而使教師和學(xué)生都有較大的選擇余地，以滿足不同層次的教學(xué)對(duì)象的要求。本書內(nèi)容包括： 函數(shù)與極限、一元函數(shù)微積分學(xué)、空間解析幾何、多元微積分學(xué)、級(jí)數(shù)、微分方程。書末附有幾種常用的曲線及其方程、積分表、場(chǎng)論初步三個(gè)附錄及習(xí)題參考答案。本書一元微積分部分由薛志純、袁潔英編寫，多元微積分及場(chǎng)論初步由薛志純編寫，空間解析幾何、級(jí)數(shù)、微分方程由余慎之編寫，薛志純負(fù)責(zé)全書的統(tǒng)稿及多次的修改定稿。參加審稿的有東南大學(xué)王文蔚教授、南京理工大學(xué)許品芳副教授、南京郵電大學(xué)楊應(yīng)弼教授及王健明、黃俊良副教授等。酈志新、周華、戴建新、張穎等參加了最近一次的修改工作。在此對(duì)所有關(guān)心支持本書的編寫、修改工作的教師表示衷心的感謝。本書中存在的問題，歡迎專家、同行及讀者批評(píng)指正。

內(nèi)容概要

　　本書是根據(jù)國(guó)家教育部非數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教學(xué)指導(dǎo)分委員會(huì)制定的工科類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求編寫的。內(nèi)容包括： 函數(shù)與極限，一元函數(shù)微積分，向量代數(shù)與空間解析幾何，多元函數(shù)微積分，級(jí)數(shù)，常微分方程等，書末附有幾種常用平面曲線及其方程、積分表、場(chǎng)論初步等三個(gè)附錄以及習(xí)題參考答案.本書對(duì)基本概念的敘述清晰準(zhǔn)確，對(duì)基本理論的論述簡(jiǎn)明易懂，例題習(xí)題的選配典型多樣，強(qiáng)調(diào)基本運(yùn)算能力的培養(yǎng)及理論的實(shí)際應(yīng)用。本書可用作高等學(xué)校工科類本科生和電大、職大的高等數(shù)學(xué)課程的教材，也可供教師作為教學(xué)參考書及自學(xué)高等數(shù)學(xué)課程者使用。

作者簡(jiǎn)介

余慎之，1935年5月生，南京市人。1959年畢業(yè)于北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系數(shù)學(xué)專業(yè)。后分配到北京輕工業(yè)學(xué)（現(xiàn)北京工商大學(xué)）院任教。1966年調(diào)至西北輕工業(yè)學(xué)院任教，1979年底調(diào)至南京郵電學(xué)院任教至今。他一心撲在教育事業(yè)上，嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)，精益求精，受到學(xué)生歡迎。獲得了江蘇省教學(xué)優(yōu)秀質(zhì)量獎(jiǎng)。擔(dān)任過數(shù)學(xué)教研室主任、人民代表和江蘇省高校數(shù)學(xué)教研會(huì)常務(wù)理事副秘書長(zhǎng)。編有《概率論》教材一套，與人合作編有《高等數(shù)學(xué)》教材一套，均獲得優(yōu)秀教材獎(jiǎng)。

書籍目錄

第1章 函數(shù)的極限與連續(xù)1.1 函數(shù)1.1.1 集合與區(qū)間1.1.2 函數(shù)1.1.3 初等函數(shù)1.2 數(shù)列的極限1.2.1 數(shù)列1.2.2 數(shù)列極限的定義1.2.3 關(guān)于數(shù)列極限的幾個(gè)結(jié)論1.3 函數(shù)的極限1.3.1 自變量趨向于無窮大時(shí)函數(shù)的極限1.3.2 自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限1.3.3 函數(shù)極限的性質(zhì)1.4 無窮小量與無窮大量1.4.1 無窮小量1.4.2 無窮大量1.4.3 無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)1.5 極限的運(yùn)算法則1.6 兩個(gè)重要極限1.6.1 夾逼定理1.6.2 重要極限：limx→0sinxx=11.6.3 數(shù)列收斂準(zhǔn)則1.6.4 重要極限：limx→∞1+1xx=e1.7 無窮小量的比較1.8 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)1.8.1 函數(shù)的連續(xù)性1.8.2 函數(shù)的間斷點(diǎn)1.8.3 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算1.8.4 初等函數(shù)的連續(xù)性1.9 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)本章小結(jié)復(fù)習(xí)題1第2章 導(dǎo)數(shù)與微分2.1 導(dǎo)數(shù)的概念2.1.1 兩個(gè)實(shí)例2.1.2 導(dǎo)數(shù)的定義2.1.3 求導(dǎo)數(shù)舉例2.1.4 導(dǎo)數(shù)的幾何意義2.1.5 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則2.2.1 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則2.2.2 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.2.3 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.2.4 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.3 高階導(dǎo)數(shù)2.4 隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.4.1 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.4.2 參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.4.3 相關(guān)變化率2.5 函數(shù)的微分及其應(yīng)用2.5.1 微分的概念2.5.2 微分的幾何意義2.5.3 微分的運(yùn)算2.5.4 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用本章小結(jié)復(fù)習(xí)題2第3章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1 中值定理3.1.1 羅爾定理3.1.2 拉格朗日中值定理3.1.3 柯西中值定理3.2 洛必達(dá)法則3.3 函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的極值3.3.1 函數(shù)的單調(diào)性3.3.2 函數(shù)的極值3.3.3 最大值和最小值問題3.4 曲線的凹凸、拐點(diǎn)及函數(shù)作圖3.4.1 曲線的凹凸及其判定方法3.4.2 函數(shù)作圖3.5 泰勒公式3.5.1 泰勒公式3.5.2 幾個(gè)常見函數(shù)的麥克勞林公式3.6 弧微分及曲率3.6.1 弧微分3.6.2 曲率及其計(jì)算公式3.6.3 曲率圓3.7 方程的近似解3.7.1 二分法3.7.2 切線法本章小結(jié)復(fù)習(xí)題3第4章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質(zhì)4.1.1 不定積分的概念4.1.2 不定積分的性質(zhì)4.1.3 基本積分表4.2 換元積分法4.2.1 第一類換元法4.2.2 第二類換元法4.3 分部積分法4.4 兩類函數(shù)的積分4.4.1 有理函數(shù)的積分4.4.2 三角函數(shù)有理式的積分4.5 積分表的使用本章小結(jié)復(fù)習(xí)題4第5章 定積分及其應(yīng)用5.1 定積分的概念5.1.1 兩個(gè)實(shí)際問題5.1.2 定積分的概念5.2 定積分的性質(zhì)5.3 微積分基本公式5.3.1 變上限的定積分5.3.2 微積分基本公式5.4 定積分的換元積分法和分部積分法5.4.1 定積分的換元積分法5.4.2 定積分的分部積分法5.5 定積分的近似計(jì)算5.5.1 矩形法5.5.2 梯形法5.5.3 拋物線法5.6 廣義積分5.6.1 無窮限的廣義積分5.6.2 無界函數(shù)的廣義積分5.7 定積分的應(yīng)用5.7.1 定積分的元素法5.7.2 幾何應(yīng)用5.7.3 定積分的物理應(yīng)用本章小結(jié)復(fù)習(xí)題5第6章 向量代數(shù)與空間解析幾何6.1 空間直角坐標(biāo)系6.1.1 空間直角坐標(biāo)系6.1.2 兩點(diǎn)間的距離公式6.2 向量的概念6.2.1 向量的概念6.2.2 向量的加減法6.3 向量的坐標(biāo)表達(dá)式6.3.1 向量的坐標(biāo)6.3.2 向量的模與方向余弦6.4 數(shù)量積與向量積6.4.1 兩向量的數(shù)量積6.4.2 兩向量的向量積6.5 空間曲面與曲線的方程6.5.1 曲面方程6.5.2 空間曲線方程6.6 空間平面的方程6.6.1 平面的點(diǎn)法式方程6.6.2 平面的一般方程6.7 空間直線的方程6.7.1 空間直線的一般式方程6.7.2 空間直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程6.7.3 直線的參數(shù)方程6.8 常見的二次曲面的圖形6.8.1 橢球面6.8.2 雙曲面6.8.3 拋物面6.8.4 二次錐面本章小結(jié)復(fù)習(xí)題6第7章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用7.1 多元函數(shù)的基本概念7.1.1 區(qū)域7.1.2 多元函數(shù)的概念7.1.3 二元函數(shù)的極限7.1.4 二元函數(shù)的連續(xù)性7.2 偏導(dǎo)數(shù)7.2.1 偏導(dǎo)數(shù)的定義及計(jì)算方法7.2.2 高階偏導(dǎo)數(shù)7.3 全微分及其應(yīng)用7.3.1 全微分的概念7.3.2 全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用7.4 多元函數(shù)的微分法7.4.1 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則7.4.2 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式7.5 偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用7.5.1 空間曲線的切線及法平面7.5.2 曲面的切平面與法線7.6 方向?qū)?shù)與梯度7.6.1 方向?qū)?shù)7.6.2 梯度7.7 多元函數(shù)的極值7.7.1 多元函數(shù)的極值及最大值、最小值7.7.2 條件極值本章小結(jié)復(fù)習(xí)題7第8章 重積分8.1 二重積分的概念與性質(zhì)8.1.1 二重積分的概念8.1.2 二重積分的性質(zhì)8.2 二重積分的計(jì)算方法8.2.1 二重積分在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算方法8.2.2 二重積分在極坐標(biāo)系中的計(jì)算方法8.3 二重積分應(yīng)用舉例8.3.1 幾何應(yīng)用舉例8.3.2 物理應(yīng)用舉例8.4 三重積分的概念及計(jì)算方法8.4.1 三重積分的概念8.4.2 在直角坐標(biāo)系中計(jì)算三重積分8.4.3 在柱面坐標(biāo)系中計(jì)算三重積分8.4.4 在球面坐標(biāo)系中計(jì)算三重積分本章小結(jié)復(fù)習(xí)題8第9章 曲線積分與曲面積分9.1 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分9.1.1 對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的概念與性質(zhì)9.1.2 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法9.2 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分9.2.1 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)9.2.2 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法9.2.3 兩類曲線積分之間的聯(lián)系9.3 格林公式9.3.1 格林公式9.3.2 曲線積分與路徑無關(guān)的條件9.4 曲面積分9.4.1 對(duì)面積的曲面積分9.4.2 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分9.4.3 兩類曲面積分之間的聯(lián)系9.4.4 高斯公式本章小結(jié)復(fù)習(xí)題9第10章 級(jí)數(shù)10.1 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)10.1.1 無窮級(jí)數(shù)的斂散性10.1.2 無窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)10.1.3 級(jí)數(shù)收斂的必要條件10.2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法10.2.1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法10.2.2 交錯(cuò)級(jí)數(shù)的審斂法10.2.3 絕對(duì)收斂與條件收斂10.3 冪級(jí)數(shù)10.3.1 冪級(jí)數(shù)的概念10.3.2 冪級(jí)數(shù)的收斂性10.3.3 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算10.4 函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)10.4.1 泰勒級(jí)數(shù)10.4.2 把函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)10.4.3 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用舉例10.4.4 歐拉公式10.5 傅里葉級(jí)數(shù)10.5.1 以2π為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)10.5.2 定義在［-π，π］或［0，π］上的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)10.5.3 以2l為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)本章小結(jié)復(fù)習(xí)題10第11章 微分方程11.1 微分方程的基本概念11.1.1 微分方程11.1.2 微分方程的階11.1.3 微分方程的解11.2 可分離變量的微分方程11.3 一階線性微分方程11.3.1 一階齊次線性方程通解的求法11.3.2 一階非齊次線性方程通解的求法11.4 可降階的二階微分方程11.4.1 y″=f（x）型的微分方程11.4.2 y″=f（x,y′）型的微分方程11.4.3 y″=f（y,y′）型的微分方程11.5 二階常系數(shù)齊次線性微分方程11.5.1 二階常系數(shù)齊次線性微分方程解的性質(zhì)11.5.2 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法11.6 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程11.6.1 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解的性質(zhì)11.6.2 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法本章小結(jié)復(fù)習(xí)題11附錄A幾種常用平面曲線及其方程附錄B積分表附錄C場(chǎng)論初步習(xí)題參考答案

章節(jié)摘錄

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編輯推薦

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