線性代數(shù)

前言

什么是代數(shù)？代數(shù)（algebra）最早就是求解方程或方程組，在清代傳人我國，當(dāng)時將Algebra翻譯成"阿爾熱巴拉"，直到1859年才翻譯成"代數(shù)"。根據(jù)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，代數(shù)就是在所考慮的對象之間規(guī)定一些運(yùn)算后得到的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。什么是線性代數(shù)？線性代數(shù)（1inear algebra）涉及的運(yùn)算主要是稱為加減和數(shù)乘的線性運(yùn)算，這些線性運(yùn)算須滿足一定的性質(zhì)進(jìn)而構(gòu)成線性空間。線性代數(shù)需要解決的第一個問題就是求解來源于實際應(yīng)用問題的線性方程組。線性代數(shù)的研究對象是什么？線性代數(shù)的研究對象是線性空間，包括其上的線性變換。它與高等代數(shù)、近世代數(shù)的研究對象略有所不同。從廣義的角度看，線性代數(shù)研究線性科學(xué)中的"線性問題"。直觀地講，對所考慮的變量來講，和式中各項次數(shù)最高為一次的問題就是線性問題。即使是大量出現(xiàn)的非線性問題有時也可以轉(zhuǎn)換成線性問題進(jìn)行處理，如在一定條件下，曲線可用直線近似，曲面可用平面近似，函數(shù)增量可用函數(shù)的微分近似。矩陣和向量是重要的代數(shù)工具。線性問題的討論往往涉及矩陣和向量，它們是重要的代數(shù)T具。在一定的意義上，它們以及其上的一些運(yùn)算本身就構(gòu)成線性空間。因此，線性代數(shù)的主要內(nèi)容分別是線性方程組、向量空間、矩陣代數(shù)，以及與線性變換密切相關(guān)的方陣的特征值和二次型這種線性空間之間特殊的雙線性函數(shù)等。線性代數(shù)的特點(diǎn)是什么？內(nèi)容較抽象、概念和定理較多，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透。為何要學(xué)習(xí)線性代數(shù)？線性代數(shù)是一種數(shù)學(xué)建模方法，科研工作者必須掌握，雖然其有關(guān)內(nèi)容具有一定的抽象性。前面已經(jīng)提到，線性化是重要的數(shù)學(xué)方法，在高等數(shù)學(xué)特別是優(yōu)化問題的討論中會用到。在計算機(jī)程序設(shè)計語言特別是MATLAB中，矩陣是最基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。在微積分（高等數(shù)學(xué)）、微分方程、離散數(shù)學(xué)、算法分析與設(shè)計、計算機(jī)圖形圖像處理及數(shù)字信號處理等課程中，矩陣、向量、線性變換是經(jīng)常要用的知識。隨著計算機(jī)的普及，線性代數(shù)在理論和實際應(yīng)用中的重要性更加突出，這使得諸如計算機(jī)專業(yè)、電子信息專業(yè)、自動控制專業(yè)以及經(jīng)濟(jì)管理專業(yè)等對線性代數(shù)的內(nèi)容從深度和廣度方面都提出了更高的要求。學(xué)習(xí)線性代數(shù)要達(dá)到的目的。通過線性代數(shù)的學(xué)習(xí)，一方面可以進(jìn)一步培養(yǎng)抽象思維能力和嚴(yán)密的邏輯推理能力，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究打下堅實的理論基礎(chǔ)，另一方面為立志報考研究生的同學(xué)提供必要的線性代數(shù)理論知識、解題技巧和方法。

內(nèi)容概要

　　本書以線性方程組為主線、以矩陣和向量為工具，闡述線性代數(shù)的基本概念、基本理論和方法，使全書內(nèi)容聯(lián)系緊密，具有較強(qiáng)的邏輯性。全書共分5章，分別介紹線性方程組、矩陣代數(shù)、向量代數(shù)、特征值和特征向量以及二次型。對每章的學(xué)習(xí)內(nèi)容簡述其起源和作用。　　由于線性代數(shù)概念多、結(jié)論多，內(nèi)容較抽象，本書盡量從簡單實例人手，力求通俗易懂、由淺人深，對重點(diǎn)內(nèi)容提供較多的典型例題，以幫助學(xué)生更好地理解、掌握和運(yùn)用線性代數(shù)的知識。每章有精選習(xí)題，有些選自歷年的研究生入學(xué)考試題目，書后有習(xí)題答案。專業(yè)術(shù)語均有對應(yīng)的英文。本書簡單介紹了使用MATLAB求解線性代數(shù)問題的一些常見命令，希望能引起大家的學(xué)習(xí)興趣，較早進(jìn)入MATLAB世界?！　”緯m合于普通高等院校非數(shù)學(xué)專業(yè)各類理工科本科生特別是計算機(jī)各專業(yè)、電子信息及有關(guān)各專業(yè)、自動化專業(yè)、經(jīng)濟(jì)和管理學(xué)科等專業(yè)學(xué)生作為教學(xué)用書?！　”緯信涮椎摹毒€性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解答》輔助用書，同時由清華大學(xué)出版社出版，本書電子教案可在清華大學(xué)出版社網(wǎng)站下載。

書籍目錄

第1章　線性方程組1.1　線性方程組與矩陣的有關(guān)概念1.1.1　線性方程組的有關(guān)概念1.1.2　矩陣的有關(guān)概念1.2　線性方程組解的存在性1.2.1　線性方程組的解1.2.2　線性方程組的同解變換與矩陣的初等行變換1.2.3　高斯消元法、行階梯形矩陣與矩陣的秩1.3　線性方程組的高斯求解方法1.3.1　將增廣矩陣化為行階梯形矩陣1.3.2　將行階梯形矩陣化為行最簡形矩陣習(xí)題1第2章　矩陣代數(shù)2.1　矩陣的線性運(yùn)算2.1.1　矩陣的加法運(yùn)算2.1.2　矩陣的數(shù)乘運(yùn)算2.2　矩陣的乘法運(yùn)算2.2.1　矩陣的乘法運(yùn)算的定義和性質(zhì)2.2.2　方陣的冪運(yùn)算2.3　方陣的行列式2.3.1　n階行列式的定義2.3.2　行列式的性質(zhì)2.3.3　行列式的計算2.4　求解線性方程組的Cramer法則2.5　矩陣的分塊技巧2.5.1　分塊矩陣的定義2.5.2　分塊矩陣的運(yùn)算2.6　逆矩陣2.6.1　逆矩陣的定義及性質(zhì)2.6.2　求逆矩陣的伴隨矩陣法2.6.3　求逆矩陣的高斯消元法習(xí)題2第3章　向量空間3.1　向量及其線性運(yùn)算3.1.1　向量的概念3.1.2　向量的線性運(yùn)算3.2　向量組的線性相關(guān)性3.2.1　向量組的概念3.2.2　向量組的線性組合3.2.3　向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)3.3　向量組的極大無關(guān)組3.3.1　兩個向量組等價3.3.2　向量組的極大無關(guān)組3.4　向量空間3.4.1　向量空間的定義3.4.2　向量空間的基與坐標(biāo)3.4.3　過渡矩陣及坐標(biāo)變換公式3.5　線性方程組的結(jié)構(gòu)解3.5.1　齊次線性方程組的結(jié)構(gòu)解3.5.2　非齊次線性方程組的結(jié)構(gòu)解3.6　線性空間與線性變換3.6.1　線性空間3.6.2　線性變換習(xí)題3第4章　特征值與特征向量4.1　特征值與特征向量的概念與計算4.1.1　特征值與特征向量的概念4.1.2　特征值與特征向量的計算4.2　特征值與特征向量的性質(zhì)4.3　相似矩陣與方陣的對角化4.3.1　相似矩陣4.3.2　方陣的對角化習(xí)題4第5章　二次型5.1　二次型的有關(guān)概念5.1.1　二次型的定義和矩陣5.1.2　合同矩陣5.1.3　二次型的標(biāo)準(zhǔn)形5.2　用配方法求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形5.3　歐氏空間5.3.1　向量的內(nèi)積5.3.2　歐氏空間的定義5.3.3　正交矩陣5.4　實對稱矩陣的對角化與二次型的標(biāo)準(zhǔn)形5.4.1　實對稱矩陣的對角化5.4.2　正交變換與二次型的標(biāo)準(zhǔn)形5.5　正定二次型與正定矩陣5.5.1　正定二次型5.5.2　正定矩陣習(xí)題5附錄A 中英文名詞索引附錄B　習(xí)題答案參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

插圖：第1章　線性方程組眾所周知，代數(shù)（algebra）最早就是求解（線性、非線性）方程或方程組。歷史上，線性代數(shù)（linear algebra）遇到的第一個問題是求解線性方程組，在西方它是在17世紀(jì)后期由G.W.Leibniz（1646-1716）開創(chuàng)的。線性方程組是線性代數(shù)的基本內(nèi)容，是貫穿線性代數(shù)的一條主線。線性代數(shù)各部分內(nèi)容或多或少與線性方程組有關(guān)，如矩陣方程、向量組的線性相關(guān)性、特征值及特征向量的二次型的標(biāo)準(zhǔn)化等。

編輯推薦

《線性代數(shù)》適合于普通高等院校非數(shù)學(xué)專業(yè)各類理工科本科生特別是計算機(jī)各專業(yè)、電子信息及有關(guān)各專業(yè)、自動化專業(yè)、經(jīng)濟(jì)和管理學(xué)科等專業(yè)學(xué)生作為教學(xué)用書?！毒€性代數(shù)》有配套的《線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解答》輔助用書，同時由清華大學(xué)出版社出版，《線性代數(shù)》電子教案可在清華大學(xué)出版社網(wǎng)站下載。

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