概率初步

前言

　　概率論在現(xiàn)代科學(xué)、工程、醫(yī)學(xué)、管理以及經(jīng)濟(jì)金融等許多領(lǐng)域中已經(jīng)成為最重要的數(shù)學(xué)工具之一。因此，在現(xiàn)代的大學(xué)教育中，概率論應(yīng)該并已經(jīng)成為許多學(xué)科數(shù)學(xué)教學(xué)體系中的一門基本課程?！陡怕食醪健肥枪P者根據(jù)多年對于概率論與統(tǒng)計學(xué)有關(guān)課程的教學(xué)經(jīng)驗所撰寫的一本初等概率論教科書。作為一本概率論的入門教材，《概率初步》適用于數(shù)學(xué)、物理、信息科學(xué)與技術(shù)等理科專業(yè)、各種工程專業(yè)、生物醫(yī)學(xué)專業(yè)、管理專業(yè)以及經(jīng)濟(jì)金融專業(yè)等學(xué)科本科生的初次概率論課程（區(qū)別于后續(xù)的、基于測度論的“高等概率論”課程）教學(xué)。學(xué)習(xí)《概率初步》，要求有高中的排列組合以及大學(xué)微積分的預(yù)備知識?！　闹庇^和結(jié)合應(yīng)用的角度出發(fā)，《概率初步》在各種可能的場合引入了一些具有實際背景的概率論問題，并且在前4章的每章最后都附有補(bǔ)充材料，介紹更多的應(yīng)用概率知識，供學(xué)生課外閱讀，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。　　初等概率論的一個特點是：聽懂課不難，但題目難做。掌握必要的工具和解題技巧是學(xué)好初等概率論的一個重要環(huán)節(jié)?！陡怕食醪健穼χT如條件概率、條件期望以及矩生成函數(shù)等工具的應(yīng)用進(jìn)行了強(qiáng)調(diào)?！陡怕食醪健返牧?xí)題都經(jīng)過反復(fù)斟酌精選。如果學(xué)生能夠獨(dú)立正確解答80%的習(xí)題，則證明其已具備了相當(dāng)?shù)某醯雀怕驶A(chǔ)?！　「怕收撆c統(tǒng)計學(xué)具有互為表里、不可分割的關(guān)系?！陡怕食醪健返囊粋€特色是在各種可能的場合盡量把概率論的數(shù)學(xué)概念與統(tǒng)計思想有機(jī)結(jié)合起來，務(wù)求使學(xué)生一方面能從具體的統(tǒng)計背景來理解抽象的概念；另一方面為未來學(xué)習(xí)統(tǒng)計學(xué)打下一定的基礎(chǔ)?！　〉?章介紹概率論的一些基本概念。本章特別強(qiáng)調(diào)了“試驗”的概念，因為在學(xué)習(xí)的開始階段，只有看清楚試驗是如何進(jìn)行的，才能準(zhǔn)確描述樣本空間及所感興趣的事件，建立起正確的概率模型。獨(dú)立試驗是事件獨(dú)立性的主要來源，在本章中用了相當(dāng)?shù)墓P墨來介紹。等概率模型不僅是最基本的概率模型，而且通過“抽樣”的概念可以由之導(dǎo)出各種各樣的不等概率模型。對于“概率”的背景，本章給出了“客觀”和“主觀”兩種解釋，以拓寬學(xué)生的思路。概率的主觀解釋是現(xiàn)代統(tǒng)計學(xué)的一個重要分支——貝葉斯統(tǒng)計的基石。本章的補(bǔ)充材料包含兩部分內(nèi)容： 第一部分是一些有趣的概率問題，其中展現(xiàn)了一些有用的計算技巧；第二部分是幾何概率，展現(xiàn)將有限離散的等概率模型推廣到無限連續(xù)的等概率模型的思想。通過兩個著名的幾何概率模型（普豐試驗和貝特朗悖論），進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了只有正確理解試驗的物理機(jī)制才能建立正確模型的思想。　　第2章介紹概率論的核心概念——隨機(jī)變量。先從較易理解的離散型隨機(jī)變量入手，再引入一般隨機(jī)變量的概念，最后介紹連續(xù)型隨機(jī)變量。期望和方差是刻畫隨機(jī)變量統(tǒng)計特征的兩個重要的量。本章對這兩個概念從各種角度進(jìn)行了詳盡的解釋，對一些常用的離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量進(jìn)行了較詳細(xì)的介紹。在隨機(jī)變量的函數(shù)一節(jié)，介紹了“矩”的概念及其在統(tǒng)計中的應(yīng)用，并首次引進(jìn)了矩生成函數(shù)的概念，說明其在求隨機(jī)變量的矩，特別是期望和方差中的用途。本章的補(bǔ)充材料包含兩部分內(nèi)容： 第一部分介紹了在生存分析和可靠性理論中重要的“危險率”概念，并引進(jìn)了一個常用分布——威布爾分布；第二部分介紹一些常用的特殊分布，以拓寬學(xué)生的視野?！　〉?章介紹多個隨機(jī)變量之間的關(guān)系，重點是兩個隨機(jī)變量的關(guān)系，其中涉及一些重要的概念：聯(lián)合分布、邊緣分布、條件分布、獨(dú)立性、條件期望、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)等。其中條件期望不僅本身是一個重要的概念，而且還是一個有力的工具。關(guān)于離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量之間的關(guān)系，在實際問題中常會遇到，本章進(jìn)行了介紹。計算隨機(jī)變量函數(shù)的分布與期望是技巧性很強(qiáng)的工作。本章對常用的方法進(jìn)行了介紹，其中特別強(qiáng)調(diào)了在求獨(dú)立隨機(jī)變量和的期望和分布時，矩生成函數(shù)的強(qiáng)大功能。最后對多元正態(tài)分布進(jìn)行了簡略的介紹。本章的補(bǔ)充材料包含兩部分內(nèi)容： 第一部分介紹隨機(jī)模擬的一種方法——拒絕法；第二部分對多元正態(tài)分布進(jìn)行了較詳盡的介紹。這兩部分內(nèi)容不僅本身很有用，而且其中用到了本章中介紹的大量推導(dǎo)技巧。　　第4章介紹大數(shù)定律與中心極限定理，并引進(jìn)了相關(guān)的依概率收斂和依分布收斂的概念。對大數(shù)定律與中心極限定理在實際應(yīng)用中的重要性通過實例進(jìn)行了強(qiáng)調(diào)。本章的補(bǔ)充材料包含兩部分內(nèi)容：以概率1收斂和強(qiáng)大數(shù)定律。這兩部分內(nèi)容是概率論中理論性較強(qiáng)、學(xué)習(xí)難度較大的內(nèi)容。筆者希望通過這兩部分內(nèi)容的閱讀可以幫助學(xué)生為進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等概率論作好適度的準(zhǔn)備?！　〉?章簡要介紹兩個隨機(jī)過程——泊松過程與馬爾科夫鏈。這兩個過程本身有廣泛應(yīng)用，其中又綜合運(yùn)用了前幾章所學(xué)的知識。通過本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以得到對《概率初步》所學(xué)知識的一個綜合訓(xùn)練。本章補(bǔ)充材料介紹馬爾科夫鏈的狀態(tài)分類和極限分布。　　為便于查閱，《概率初步》最后給出了簡要的參考書目錄和兩個附錄。附錄A是常用分布的列表。附錄B是三個常用分布的數(shù)表：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)表、泊松分布數(shù)表和卡方分布數(shù)表。　　根據(jù)筆者的經(jīng)驗，如果有精心準(zhǔn)備的電子教案，并輔之以適當(dāng)?shù)牧?xí)題課，《概率初步》的內(nèi)容（不包含補(bǔ)充材料）可以在30個教學(xué)課時內(nèi)講完，并取得不錯的效果?！　　陡怕食醪健返牟莞褰?jīng)筆者的研究生馮漢杰作了仔細(xì)的審核，在此向他表示衷心的感謝。限于筆者的水平，書中難免存在錯誤或不妥之處，衷心希望廣大讀者批評指正。

內(nèi)容概要

本書為初等概率論教材，共包括5章和兩個附錄。分別介紹了概率論的一些基本概念、概率論的核心概念——隨機(jī)變量、多個隨機(jī)變量間的關(guān)系、大數(shù)定律與中心極限定理以及隨機(jī)過程，并在書末的附錄中列出了常用分布列表和常用分布數(shù)表。學(xué)習(xí)本書，要求有高中的排列組合以及大學(xué)微積分的預(yù)備知識。    本書適用于數(shù)學(xué)、物理、信息科學(xué)與技術(shù)等理科專業(yè)、各種工程專業(yè)、生物醫(yī)學(xué)專業(yè)、管理專業(yè)以及經(jīng)濟(jì)金融專業(yè)等學(xué)科的本科生。

書籍目錄

1 試驗、事件與概率　1.1 等概率模型　　1.1.1 定義　　1.1.2 等概率模型中的計數(shù)方法　　1.1.3 等概率模型的應(yīng)用　1.2 試驗、 樣本空間與事件　　1.2.1 概念　　1.2.2 事件的運(yùn)算與關(guān)系　1.3 事件的概率　　1.3.1 概率的公理與性質(zhì)　　1.3.2 概率的背景　1.4 條件概率　　1.4.1 條件概率與乘法公式　　1.4.2 全概率公式與貝葉斯公式　1.5 事件和試驗的獨(dú)立性　　1.5.1 事件的獨(dú)立性　　1.5.2 試驗的獨(dú)立性　　1.5.3 伯努利試驗序列　　1.5.4 有放回抽樣與無放回抽樣　習(xí)題　1.S 第1章補(bǔ)充材料　　1.S.1 幾個有趣的概率問題　　練習(xí)　　1.S.2 幾何概率2 隨機(jī)變量　2.1 離散型隨機(jī)變量　　2.1.1 離散型隨機(jī)變量的定義　　2.1.2 離散型隨機(jī)變量的期望　　2.1.3 離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差　2.2 幾個常用的離散型隨機(jī)變量　　2.2.1 離散均勻分布　　2.2.2 二項分布、幾何分布與負(fù)二項分布　　2.2.3 泊松分布　　2.2.4 超幾何分布　2.3 隨機(jī)變量與分布函數(shù)　　2.3.1 隨機(jī)變量的一般概念　　2.3.2 分布函數(shù)　2.4 連續(xù)型隨機(jī)變量　　2.4.1 連續(xù)型隨機(jī)變量的定義　　2.4.2 連續(xù)型隨機(jī)變量的期望、方差與標(biāo)準(zhǔn)差　　2.4.3 分位數(shù)　2.5 幾個常用的連續(xù)型隨機(jī)變量　　2.5.1 連續(xù)均勻分布　　2.5.2 正態(tài)（高斯）分布　　2.5.3 指數(shù)分布　　2.5.4 伽馬分布　　2.5.5 貝塔分布　2.6 隨機(jī)變量的函數(shù)　　2.6.1 隨機(jī)變量函數(shù)的分布　　2.6.2 隨機(jī)變量函數(shù)的期望　　2.6.3 矩與矩生成函數(shù)　習(xí)題　2.S 第2章補(bǔ)充材料　　2.S.1 危險率、威布爾分布　　2.S.2 一些特殊類型的分布3 多個隨機(jī)變量間的關(guān)系　3.1 兩個隨機(jī)變量的聯(lián)合分布與邊緣分布　　3.1.1 聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)　　……4 大數(shù)定律與中心極限定理5 隨機(jī)過程簡介附錄A 常用分布列表　A.1 常用離散型分布　A.2 常用連續(xù)型分布附錄B 常用分布數(shù)表　B.1 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)表　B.2 泊松分布數(shù)表　B.3 卡方分布數(shù)表參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

　　1 試驗、事件與概率　　1.2 試驗、 樣本空間與事件　　1.2.1 概念　　等概率模型是一類簡單的概率模型，起源于公平博取機(jī)會的問題。在自然和社會中有大量不確定現(xiàn)象，可以用一般的概率模型來刻畫。在科學(xué)或工程試驗中常遇到試驗結(jié)果的不確定性。

編輯推薦

　　《概率初步》適用于數(shù)學(xué)、物理、信息科學(xué)與技術(shù)等理科專業(yè)、各種工程專業(yè)、生物醫(yī)學(xué)專業(yè)、管理專業(yè)以及經(jīng)濟(jì)金融專業(yè)等學(xué)科的本科生。

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