數(shù)值計算

內(nèi)容概要

　　本書介紹計算機上常用的各類數(shù)值計算方法，闡述了計算方法的基本理論，分析了方法的收斂性與穩(wěn)定性，并描述了方法的具體實現(xiàn)過程。本書內(nèi)容包括計算方法的基本概念、誤差理論、非線性方程求根、線性方程組求解、矩陣的特征值與特征向量計算、插值方法、曲線擬合、數(shù)值微分與數(shù)值積分、微分方程求解、現(xiàn)代數(shù)值計算方法等。本書圖文并茂，既介紹了計算方法的基本理論，又以生動的圖示說明計算方法的實際應(yīng)用過程，敘述力求通俗易懂，具有很強的實用性?！　”緯勺鳛楦叩仍盒Ｓ嬎銠C及相關(guān)專業(yè)本科生和研究生的教材及參考書，也可以作為廣大科學(xué)工作者、工程技術(shù)人員的參考書與工具書。本書封面貼有清華大學(xué)出版社防偽標簽， 無標簽者不得銷售。

書籍目錄

第1章　緒論1.1　計算方法的研究內(nèi)容與意義1.2　誤差1.2 1　誤差來源1.2 2　誤差、誤差限與有效數(shù)字1.2 3　誤差的積累與傳播1.3　設(shè)十計算方法的基本原則本章小結(jié)復(fù)習(xí)題第2章　非線生方程的數(shù)值解法2.1　二分算法2.1.1　二分法2.1.2　線性插值二分法2.2　迭代法2.2.1　一般迭代法2.2.2　迭代算法理論2.2.3　加速收斂迭代法2.3　牛頓法2.4　弦截法2.5　拋物線法2.6　解作線性方程組的迭代法本章小結(jié)復(fù)習(xí)題上機實驗題第3章　線性方程組的數(shù)值解法3.1　高斯算法3.1.1　高斯消去法3.1.2　列主元高斯消去法3.1.3　高斯一若當(dāng)消去法3.2　矩陣分解法3.2.1　LU分解法3.2.2　LDLT分解法和LLT分解法3.2.3　追趕法3.3　矩陣求逆及行列式的運算3.4　向量與矩陣的范數(shù)3.5　線性方程組的病態(tài)性及誤差分析3.6　線性方程組的迭代解法3.6.1　迭代法的基本概念3.6.2　雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法3.6.3　松弛迭代法本章小結(jié)復(fù)習(xí)題上機實驗題第4章　矩陣的特征值和特征向量4.1　矩陣的特征值和特征向量4.1.1　背景知識4.1.2　特征值與特征向量4.1.3　特征值的范圍4.2　冪方法與反冪法4.2.1　冪方法求按模最大的特征值和對應(yīng)的特征向量4.2.2　反冪法4.2.3　冪方法的收斂性分析與加速技術(shù)4.3　雅可比方法4.3.1　雅可比方法的理論基礎(chǔ)4.3.2　旋轉(zhuǎn)矩陣和旋轉(zhuǎn)變換4.3.3　雅可比方法4.3.4　雅可比方法的收斂性4.4　QR方法4.4.1　QR分解4.4.2　基本QR方法本章小結(jié)復(fù)習(xí)題上機實驗題第5章　插值5.1　插值的基本概念5.2　拉格朗日插值多項式5.2.1　線性插值5.2.2　二次插值5.2.3　n次拉格朗日插值多項式5.3　牛頓插值多項式5.3.1　差商5.3.2　牛頓插值多項式5.3.3　差分與等距節(jié)點的牛頓插值公式5.4　埃爾米特插值5.4.1　三次埃爾米特插值5.4.2　2n+1次埃爾米特插值一5.5　分段插值5.5.1　分段線性插值5.5.2　分段三次埃爾米特插值5.6　樣條插值5.6.1　樣條函數(shù)5.6.2　三次樣條函數(shù)本章小結(jié)復(fù)習(xí)題上機實驗題第6章　擬合6.1　擬合的基本概念與最小二乘原理6.2　解線性超定方程組6.3　離散最小二乘擬合問題的一般解法6.3.1　線性組合模型下最小二乘擬合的一般解法6.3.2　常用線性組合模型的最小二乘解6.3.3　非線性組合模型的最小二乘擬合6.4　離散正交多項式的擬合6.5　廣義最小二乘擬合問題6.5.1　廣義的多項式擬合6.5.2　正交多項式擬合本章小結(jié)復(fù)習(xí)題上機實驗題第7章　數(shù)值積分7.1　數(shù)值積分的基本概念7.2　梯形公式7.2.1　梯形公式積分方法7.2.2　梯形公式的誤差分析7.3　辛普森公式7.3.1　辛普森公式積分方法7.3.2　辛普森公式的誤差分析7.4　牛頓-柯特斯公式7.4.1　牛頓-柯特斯公式積分方法7.4.2　牛頓-柯特斯公式的誤差分析7.5　復(fù)合積分公式7.5.1　復(fù)合梯形積分公式7.5.2　復(fù)合辛普森積分公式7.5.3　自適應(yīng)變步長的復(fù)合求積方法7.6　龍貝格公式7.7　高斯型積分公式7.7.1　高斯型積分公式的一般形式7.7.2　高斯-勒讓德積分公式本章小結(jié)復(fù)習(xí)題上機實驗題第8章　數(shù)值微分8.1　差商法求導(dǎo)數(shù)8.2　拉格朗日插值法求導(dǎo)數(shù)8.2.1　基本概念8.2.2　兩點微分公式8.2.3　三點微分公式8.2.4　n+1個插值點的微分公式8.3　樣條插值法求導(dǎo)數(shù)本章小結(jié)復(fù)習(xí)題上機實驗題第9章　常微分方程的數(shù)值解法9.1　常微分方程的基本概念9.2　歐拉方法求解初值問題9.2.1　向前歐拉法9.2.2　改進的歐拉法9.2.3　向后歐拉法9.2.4　歐拉法與改進的歐拉法的誤差分析9.2.5　向前/向后歐拉法的收斂性與穩(wěn)定性分析9.3　龍格-庫塔方法9.3.1　二階龍格-庫塔方法9.3.2　四階龍格-庫塔方法9.3.3　龍格-庫塔方法的誤差與最優(yōu)步長分析9.4　其他求解常微分方程初值問題的數(shù)值方法9.4.1　泰勒級數(shù)法9.4.2　預(yù)測-校正法9.5　微分方程組和高階微分方程9.5.1　微分方程組9.5.2　高階常微分方程9.6　常微分方程的邊值問題9.6.1　邊值問題的基本概念9.6.2　線性打靶法9.6.3　有限差分法本章小結(jié)復(fù)習(xí)題上機實驗題第10章　現(xiàn)代計算方法簡介10.1　現(xiàn)代計算方法概述10.2　禁忌搜索10.2.1　算法概念與原理10.2.2　算法流程與應(yīng)用舉例10.2.3　算法發(fā)展與應(yīng)用10.3　模擬退火10.3.1　算法概念與原理10.3.2　算法流程與應(yīng)用舉例10.3.3　算法發(fā)展與應(yīng)用10.4　神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)10.4.1　神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的原理與興起10.4.2　后向傳播前饋型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)10.4.3　神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展與應(yīng)用10.5　遺傳算法10.5.1　算法來源10.5.2　算法流程與應(yīng)用舉例10.5.3　遺傳算法的發(fā)展與應(yīng)用10.6　蟻群優(yōu)化10.6.1　算法來源10.6.2　算法流程與應(yīng)用舉例10.6.3　算法發(fā)展與應(yīng)用10.7　粒子群優(yōu)化10.7.1　算法來源10.7.2　算法流程與應(yīng)用舉例10.7.3　算法發(fā)展與應(yīng)用本章小結(jié)復(fù)習(xí)題上機實驗題名詞索引參考文獻

章節(jié)摘錄

　　第1章　緒論　　1.1　計算方法的研究內(nèi)容與意義　　隨著計算機科學(xué)技術(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展，計算機已經(jīng)成為解決眾多實際問題的必不可少的科學(xué)計算工具。在使用計算機解決實際問題時，首先需要把實際問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)模型，然后選擇合適的數(shù)值計算方法，再編寫程序，最后在計算機上運算得到結(jié)果（見圖1.1）。其中，建立數(shù)學(xué)模型與選擇數(shù)值計算方法是最為關(guān)鍵的兩個步驟。前者考慮的是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，需要依賴具體領(lǐng)域的相關(guān)知識，后者考慮的是把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為計算機能解的問題，這就是計算方法的研究對象。　　計算方法是隨著計算機的發(fā)展而建立起來的一個重要的數(shù)學(xué)分支，其性質(zhì)是研究使用計算機來解決各種數(shù)學(xué)問題的近似計算方法與理論，其任務(wù)是提供在計算機上可解的、理論可靠的、計算復(fù)雜性低的各種常用算法，其主要內(nèi)容包括誤差理論、非線性方程求根、線性方程組求解、矩陣的特征值與特征向量計算、插值方法、曲線擬合、數(shù)值積分與數(shù)值微分、微分方程求解、現(xiàn)代數(shù)值計算方法等?！　∥覀円呀?jīng)學(xué)習(xí)過高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)等純數(shù)學(xué)的精確方法，為什么還需要研究數(shù)值計算方法呢?這是因為計算機只能解決以四則運算為基礎(chǔ)的，能在有窮步內(nèi)結(jié)束的計算問題，高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)的許多理論與方法不能在計算機上直接應(yīng)用。首先，眾多生產(chǎn)實踐與科學(xué)研究問題本身并不具備解析形式，或者運用純數(shù)學(xué)方法難以找到問題的解析解。例如，對于超越方程x=sinx+e-x，只能采用近似的計算方法來得到問題的答案。其次，一些問題雖然具有解析形式，但過于復(fù)雜，計算機無法在可接受的時間內(nèi)求解。例如，利用線性代數(shù)中的克萊姆（Cramer）法則來求解一個n階線性方程組，需要計算n+1個72階行列式，也就是要作（n-1）（n+1）n!次乘法運算，當(dāng)n較大時，例如取n=1000，那么即使是當(dāng)前速度最快的計算機也需要運算多年才能得到結(jié)果。一些問題的解析解還可能含有無窮多項，這樣就只能使用近似的計算方法去逼近問題的解。再者，在分析實驗、觀察數(shù)據(jù)時，也需要使用插值、擬合等多種數(shù)值計算方法把一系列離散的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)起來?！　【C上所述，計算方法在本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)方法，在實際上又與計算機的實現(xiàn)過程緊密相連，因而具有嚴謹性、實踐性、近似性、結(jié)構(gòu)性等特點（見圖12）。

編輯推薦

　　本書分10個章節(jié)，詳細闡述了計算方法的基本知識，討論了數(shù)值計算的實際應(yīng)用方法。具體內(nèi)容包括計算方法的基本概念、誤差理論、非線性方程求根、線性方程組求解、矩陣的特征值與特征向量計算、插值方法等。該書可供各大專院校作為教材使用，也可供從事相關(guān)工作的人員作為參考用書使用。

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