微積分通用輔導(dǎo)講義

前言

全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試作為一種選拔性考試，并不同于等級考試.命題工作人員的任務(wù)是結(jié)合對基本知識點(diǎn)的理解與不同知識點(diǎn)的交叉運(yùn)用能力，在試題中設(shè)置不同深度的“陷阱”，以求從能力、水平上將龐大的考生隊伍拉開檔次，進(jìn)而實現(xiàn)國家選拔人才的目的.考生的任務(wù)是在全面準(zhǔn)確地理解知識系統(tǒng)的前提下，掌握識破命題“陷阱”的能力，力爭在考場上以居高臨下的知識洞察力與良好的應(yīng)試狀態(tài)，一舉成功.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要培養(yǎng)悟性，應(yīng)試考研數(shù)學(xué)需要一定的數(shù)學(xué)知識洞察力.所謂悟性或洞察力，是指對數(shù)學(xué)基本概念的深入理解與準(zhǔn)確把握.而這種理解與把握，首先要求對基本概念與基本知識點(diǎn)的理解要準(zhǔn)確、完整，進(jìn)一步才是掌握知識的系統(tǒng)性、交叉性與靈活性.沒有對基本概念與基本知識點(diǎn)理解的準(zhǔn)確性與完整性，就談不上掌握知識的系統(tǒng)性及靈活運(yùn)用的能力，當(dāng)然更談不上解題的思路與技巧.本套《考研數(shù)學(xué)應(yīng)試導(dǎo)引與進(jìn)階》作為考研數(shù)學(xué)的通用輔導(dǎo)講義，其宗旨是：“為考生面對考試造就一種居高臨下的知識洞察力和感覺良好的臨場狀態(tài).”這也是水木艾迪考研輔導(dǎo)班的教學(xué)宗旨.我們一貫強(qiáng)調(diào)，首先注重知識的基礎(chǔ)性、系統(tǒng)性與完整性.從分析歷屆的試題組成來看，完全基礎(chǔ)性題目一般占60分以上（滿分150分），并且基本知識點(diǎn)在綜合題目中也占有相當(dāng)?shù)姆至浚A(chǔ)性知識點(diǎn)的失誤往往導(dǎo)致選錯綜合題目的切入點(diǎn)，最后造成的是全局性錯誤.相反，如果對基本知識點(diǎn)理解準(zhǔn)確、全面、系統(tǒng)，則對題目的切入點(diǎn)就會準(zhǔn)確無誤，即使解答過程中有個別錯誤，也往往是局部錯誤，損失不大.以一種加權(quán)的估計來分析，基本知識點(diǎn)在全部試卷中所占的比重可高達(dá)120分.從閱卷過程中所反映出的問題來看，考生出現(xiàn)的大量錯誤是由于對基本概念與知識點(diǎn)理解的不準(zhǔn)確或不完整，甚至是對基本知識點(diǎn)理解的扭曲所造成的.對于基本知識點(diǎn)的理解與學(xué)習(xí)，應(yīng)首先做到理解上的準(zhǔn)確性、全面性，其次是系統(tǒng)性與交叉性.還應(yīng)注意基本概念的背景和各個知識點(diǎn)間的相互關(guān)系，適量做題，少做難題，不做偏題是可取之策.對與基本知識點(diǎn)相關(guān)的基本題目涉及的方法與技巧，要多總結(jié)與分析，力爭做到舉一反三，以一當(dāng)十，這樣的訓(xùn)練會促使考生的能力與技巧成熟起來，即使遇到難題，也會容易地找到切入點(diǎn)與思路.《考研數(shù)學(xué)應(yīng)試導(dǎo)引與進(jìn)階》以最簡捷的篇幅梳理數(shù)學(xué)三門課程中的若干基本知識點(diǎn)，以及不同知識點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，配合適量典型的基本題型與知識交叉運(yùn)用題型，引導(dǎo)讀者高效率地做到對基本概念與基礎(chǔ)知識點(diǎn)理解的準(zhǔn)確性與完整性，并逐漸過渡到對掌握知識的系統(tǒng)性與交叉運(yùn)用能力的訓(xùn)練.通過對基本題目涉及的方法與技巧的總結(jié)與分析，對綜合題目中知識點(diǎn)交叉模式的了解與熟悉，以達(dá)到對這些內(nèi)容具有敏感性.全套講義每個章節(jié)具有統(tǒng)一的編排格式：[知識綜述與應(yīng)試導(dǎo)引]依據(jù)全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試大綱中要求的重點(diǎn)，對知識模塊給予簡短的綜述，突出重點(diǎn)，詳解難點(diǎn)，指出讀者容易忽略的薄弱環(huán)節(jié)及存在的弱點(diǎn)，必要時給出識破命題“陷阱”的特別提示.[問題集粹]以學(xué)生提問的方式，由編者設(shè)計覆蓋基本知識點(diǎn)與概念交叉運(yùn)用能力的若干問題，配以解答與導(dǎo)引，同時針對此類問題，配合若干典型例題，力圖使讀者牢固掌握相應(yīng)知識點(diǎn)及具有處理相關(guān)題型的能力.[自測與模擬題]每一講后配置典型練習(xí)題，給讀者自我檢測及訓(xùn)練發(fā)揮的空間，充分體現(xiàn)教學(xué)雙向互動的過程.在書后給出練習(xí)題的解答、答案與提示（做題時請不要先看解答或答案）供讀者核實自己的解答.書中所有例題與練習(xí)題，都是經(jīng)過編者精心研究與討論，進(jìn)而設(shè)計與編排所成.這一工作是基于作者在清華大學(xué)與清華大學(xué)考研輔導(dǎo)班的多年教學(xué)經(jīng)驗積累，以及對全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試要求與試題類型深入研究的結(jié)果，具有重要的典型性與代表性.對于這些例題與練習(xí)題，讀者可視自身情況選讀或選做，但應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是立足于獨(dú)立思考與親自動手練習(xí)，二是應(yīng)將每一個題目作為一類問題，以達(dá)到觸類旁通的目的.參與本書編寫的老師為清華大學(xué)在職教師，他們是一個教學(xué)與研究成績卓著的教授群體，長期擔(dān)任水木艾迪考研輔導(dǎo)班主講，突出了雙向了解的優(yōu)勢：了解全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試大綱與命題走向，了解考生的知識狀況與實際需求.他們有許多教材與專著出版,廣大考生給予了很高的評價,他們也愿做廣大考生和學(xué)生的良師益友.基于長期豐富的教學(xué)研究與授課經(jīng)驗積累,經(jīng)過對全國碩士研究生入學(xué)考試大綱與輔導(dǎo)教學(xué)進(jìn)行長期專門的深入研究，傾心編寫出這套講義，真誠希望為在讀大學(xué)生的學(xué)習(xí)，以及參加研究生入學(xué)統(tǒng)一考試的考生送去一份智慧，提供一份幫助.本教材的讀者范圍包括參加全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試的考生，包括數(shù)學(xué)試卷一、二、三、四的全體應(yīng)試者，大學(xué)本科在讀學(xué)生.特別指出的是，不少人認(rèn)為經(jīng)濟(jì)類考生只學(xué)過經(jīng)濟(jì)類高等數(shù)學(xué)就夠了，其實這是一種誤導(dǎo).試卷三、四的歷年題目表明，題目的題型與難度都與試卷一、二相當(dāng)，并且與試卷一、二共用題目的比例逐年提高.那些少量含有經(jīng)濟(jì)術(shù)語的題目（2005-2006年完全沒有此類題目）不會成為答卷障礙，如最大利潤問題與最小成本問題等不過是一般理工科數(shù)學(xué)教學(xué)中的普通例題而已.如果考生有較好的理工科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，應(yīng)答試卷三、四將不會遇到任何困難，2004-2006年的數(shù)學(xué)試卷更是進(jìn)一步說明了這一特點(diǎn).清華大學(xué)出版社與北京水木艾迪教育培訓(xùn)學(xué)校為本教材的出版做了大量有效的工作，清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系李津教授，以及許多老師對本教材的編寫工作給予真誠的鼓勵與支持，編者在此向他們真誠致謝.限于作者水平和時間倉促，對書內(nèi)的疏漏與不當(dāng)之處，敬請讀者批評指正，以便重印和再版時予以改正。

內(nèi)容概要

　　《微積分通用輔導(dǎo)講義》是作者根據(jù)新的研究生入學(xué)統(tǒng)一考試大綱，結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗和考研輔導(dǎo)經(jīng)驗精心編寫而成的.主要內(nèi)容包括函數(shù)、極限與連續(xù)、導(dǎo)數(shù)與微分、原函數(shù)與不定積分、定積分、常微分方程、向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)的概念及微分、重積分、曲線積分、曲面積分、數(shù)項級數(shù)、函數(shù)項級數(shù)等.每部分內(nèi)容均按照“知識綜述與應(yīng)試導(dǎo)引”、“問題集粹”、“自測與模擬題”等進(jìn)行編排.　　《微積分通用輔導(dǎo)講義》主要針對參加研究生入學(xué)考試的理工類與經(jīng)濟(jì)類考生，同時也可作為大學(xué)本科和專科學(xué)生的教學(xué)輔導(dǎo)用書.

作者簡介

劉坤林教授 清華大學(xué)責(zé)任教授，從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的教學(xué)與研究工作，獲國家精品課程獎二等獎與國家教學(xué)成果獎二等獎，兩次獲清華大學(xué)教學(xué)優(yōu)秀獎.研究方向：控制理論，系統(tǒng)辨識與隨機(jī)系統(tǒng)建模及預(yù)測，并行汁算.1994－1995年在美國Tcxas A＆M unive㈣ty與Duke Uni-vcrsiIy任訪問研究教授并講學(xué).發(fā)表學(xué)術(shù)論文30多篇，著有教材《工程數(shù)學(xué)》，《系統(tǒng)與系統(tǒng)辨識》.《微積分》，主編《大學(xué)數(shù)學(xué)——概念方法與技巧》，《大學(xué)數(shù)學(xué)清華考研經(jīng)典備考教程》，《高等數(shù)學(xué)典型題題典——考研數(shù)學(xué)應(yīng)試能力進(jìn)階》等書籍，先后7次獲國家及省市部級科學(xué)技術(shù)進(jìn)步獎.長期擔(dān)任水木艾迪考研輔導(dǎo)班主講，清華大學(xué)MPA考前培訓(xùn)班主講.對全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試大綱與教學(xué)要求有深入的研究.講課特點(diǎn)：深入淺出，富有啟發(fā)性，教學(xué)中的選題對考研具有極強(qiáng)的跟蹤性，對概念的闡述精辟準(zhǔn)確，形象生動，了解學(xué)生，針對性強(qiáng)，普遍受到同學(xué)歡迎。歷任中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會常務(wù)理事，副秘書長，系統(tǒng)與控制專業(yè)委員會委員，《控制理論及其應(yīng)用》特邀審稿專家，國家人事部編《中同々家大辭典》（卷一）收錄專家。譚澤光教授 清華大學(xué)責(zé)任教授。清華大學(xué)分析系列課程負(fù)責(zé)人，長期在清華大學(xué)從事數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)及運(yùn)籌學(xué)方面的科研工作，曾在奧地利Graz University任訪問教授，獲國家精品課程獎二等獎與國家教學(xué)成果獎二等獎，長期擔(dān)任水木艾迪考研輔導(dǎo)班數(shù)學(xué)主講，對全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試大綱與教學(xué)要求有深入的研究，講課風(fēng)格熱情幽默，重點(diǎn)突出，技巧性強(qiáng)，深入淺出，富自房發(fā)性，生動精辟，深受同學(xué)歡迎，學(xué)員評價聽譚老師的課“是一種享受，收獲很大”。曾任北京地區(qū)考研數(shù)學(xué)閱卷組組長，曾負(fù)責(zé)多項科研項目，發(fā)表學(xué)術(shù)論文20多篇，并編著《微積分》、《大學(xué)數(shù)學(xué)——概念方法與技巧》、《大學(xué)數(shù)學(xué)清華考研經(jīng)典備考教程》、《數(shù)學(xué)規(guī)劃》等圖書，先后獲省部級以上獎勵4次，1992年獲國家科技進(jìn)步二等獎。任《高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報》編委，1997年開始擔(dān)任國家工科基礎(chǔ)課程教學(xué)（清華數(shù)學(xué)）基地負(fù)責(zé)人，投人較多精力從事數(shù)學(xué)教改研究工作，2001年獲國家教學(xué)改革成果二等獎。俞正光教授 清華大學(xué)責(zé)任教授，清華大學(xué)代數(shù)系列課程負(fù)責(zé)人，從事組合圖論的研究，發(fā)表學(xué)術(shù)論文10多篇，曾在加拿大Calgary University任訪問教授，任《清華大學(xué)學(xué)報》編委，主編《線性代數(shù)與解析幾何》、《理工科代數(shù)肇礎(chǔ)》、《大學(xué)數(shù)學(xué)——概念方法與技巧》等圖書，長期擔(dān)任水木艾迪考研輔導(dǎo)班數(shù)學(xué)主講和MBA入學(xué)輔導(dǎo)數(shù)學(xué)主講，對全國碩士研究生入學(xué)考試大綱與教學(xué)要求有深入的研究，講課風(fēng)格深入淺出，條理規(guī)范，重點(diǎn)突出準(zhǔn)確，受到同學(xué)一致歡迎1997年開始擔(dān)任同家工科基礎(chǔ)課程教學(xué)（清華數(shù)學(xué)）基地負(fù)責(zé)人，從事數(shù)學(xué)教改研究工作。曾參加編寫由全國工商管理碩士研究生入學(xué)考試研究中心組織的《MBA聯(lián)考考前輔導(dǎo)教材》，主編《全國工程碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)考試大綱及考前輔導(dǎo)教材》等各類考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)教材。葛余博教授 清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系教授，在隨機(jī)過程及其應(yīng)用方面的科研工作多次獲獎，長期擔(dān)任概率統(tǒng)計、隨機(jī)過程等課程的主講教學(xué)工作，存教學(xué)研究和實踐中積累了大量寶貴經(jīng)驗，水木艾迪考研輔導(dǎo)班概率統(tǒng)計主講，對全國碩士研究生入學(xué)考試大綱與教學(xué)要求有深入的研究，講課風(fēng)格：擅長抓住概念實質(zhì)、融會貫通，啟發(fā)式教學(xué)，利于熟練掌握并靈活運(yùn)用知識，條理規(guī)范，重點(diǎn)突出，編寫《隨機(jī)數(shù)學(xué)方法》等教材，近幾年的輔導(dǎo)教學(xué)多次命中考研真題，受到同學(xué)一致歡迎。

書籍目錄

第1講 預(yù)備知識與序列極限1知識綜述與應(yīng)試導(dǎo)引11.1 預(yù)備知識11.2 序列極限4問題集粹6自測與模擬題15第2講 函數(shù)的極限與連續(xù)性18知識綜述與應(yīng)試導(dǎo)引182.1 函數(shù)極限定義及等價性描述182.2 極限的性質(zhì)復(fù)合極限定理192.3 重要極限及等價無窮小量202.4 函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的概念——微觀性態(tài)222.5 函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)的概念——全局性態(tài)23問題集粹24自測與模擬題35第3講 導(dǎo)數(shù)的概念與計算39知識綜述與應(yīng)試導(dǎo)引393.1 導(dǎo)數(shù)概念393.2 導(dǎo)數(shù)計算413.3 微分概念與微分法則44問題集粹45自測與模擬題64第4講 微分學(xué)基本定理——用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)67知識綜述與應(yīng)試導(dǎo)引674.1 引言674.2 費(fèi)馬定理——可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件674.3 導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)定理684.4 羅爾定理684.5 拉格朗日微分中值定理684.6 柯西中值定理694.7 微分學(xué)基本定理的幾何意義694.8 泰勒公式704.9 洛必達(dá)法則724.1 0極值與拐點(diǎn)問題函數(shù)性態(tài)的綜合研究724.1 1閉區(qū)間與開區(qū)間上的最大最小值問題744.1 2漸近線問題74問題集粹75自測與模擬題108第5講 原函數(shù)與不定積分112知識綜述與應(yīng)試導(dǎo)引1125.1 原函數(shù)概念與不定積分1125.2 計算方法113問題集粹114自測與模擬題127第6講 定積分和廣義積分的概念與計算130知識綜述與應(yīng)試導(dǎo)引1306.1 各類積分的背景1306.2 定積分概念1306.3 定積分的基本性質(zhì)及應(yīng)用1316.4 定積分的解析性質(zhì)1326.5 變限定積分Φ（x）=∫xaf（t）dt的性質(zhì)1326.6 定積分的計算方法1336.7 定積分與相關(guān)知識的綜合運(yùn)用1346.8 廣義積分134問題集粹135自測與模擬題170第7講 定積分的應(yīng)用176知識綜述與應(yīng)試導(dǎo)引1767.1 面積問題1767.2 旋轉(zhuǎn)體體積1777.3 曲線的弧長微分與弧長1787.4 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積1787.5 質(zhì)心或形心問題1787.6 壓力問題1807.7 引力問題1807.8 做功問題1817.9 能量與動量問題181問題集粹181自測與模擬題193第8講 常微分方程195知識綜述與應(yīng)試導(dǎo)引1958.1 常微分方程的有關(guān)概念1958.2 可求解的微分方程1958.3 線性微分方程解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)1978.4 二階線性常系數(shù)微分方程的解法199問題集粹201自測與模擬題218第9講 向量代數(shù)與空間解析幾何221知識綜述與應(yīng)試導(dǎo)引2219.1 空間向量的表示2219.2 向量的運(yùn)算2229.3 向量間幾何關(guān)系的判斷2249.4 平面方程與直線方程2249.5 二次曲面及幾種特殊曲面227問題集粹229自測與模擬題250第10講 多元函數(shù)的基本概念及可微性252知識綜述與應(yīng)試導(dǎo)引25210.1 多元函數(shù)的符號表示及定義域表示25210.2 多元函數(shù)的極限25310.3 多元函數(shù)的連續(xù)性25510.4 偏導(dǎo)數(shù)的定義與計算25610.5 全微分的定義與性質(zhì)25810.6 多元函數(shù)的微分法258問題集粹264自測與模擬題283第11講 多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用287知識綜述與應(yīng)試導(dǎo)引28711.1 多元正數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用28711.2 二元函數(shù)的泰勒公式28811.3 二元函數(shù)的極值28911.4 條件極值290問題集粹291自測與模擬題302第12講 重積分的計算與應(yīng)用305知識綜述與應(yīng)試導(dǎo)引30512.1 二重積分的概念與計算30512.2 三重積分的概念與計算30712.3 重積分的應(yīng)用308問題集粹310自測與模擬題332第13講 曲線積分及其應(yīng)用337知識綜述與應(yīng)試導(dǎo)引33713.1 第一型曲線積分33713.2 第二型曲線積分33813.3 格林公式34013.4 平面曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件34013.5 全微分式341問題集粹341自測與模擬題361第14講 曲面積分與應(yīng)用場論初步364知識綜述與應(yīng)試導(dǎo)引36414.1 第一型曲面積分36414.2 第二型曲面積分36514.3 高斯公式36714.4 斯托克斯公式36714.5 向量場的散度與旋度367問題集粹368自測與模擬題385第15講 數(shù)項級數(shù)389知識綜述與應(yīng)試導(dǎo)引38915.1 基本問題38915.2 收斂定義與收斂的必要條件、尺度問題38915.3 收斂級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)39015.4 正項級數(shù)∑∞n=1an(an≥0)39015.5 任意項級數(shù)與交錯級數(shù)391問題集粹392自測與模擬題400第16講 函數(shù)項級數(shù)402知識綜述與應(yīng)試導(dǎo)引40216.1 收斂性基本概念40216.2 冪級數(shù)的概念40216.3 冪級數(shù)的展開與求和40416.4 傅里葉級數(shù)406問題集粹407自測與模擬題418自測與模擬題答案與提示420

章節(jié)摘錄

1.1 預(yù)備知識數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)問題的處理，要求我們必須具備一定的預(yù)備知識，包括數(shù)學(xué)符號的規(guī)范化使用+常用基本不等式的類型，函數(shù)的初等性質(zhì)與初等函數(shù)的基本性態(tài)（定義域與值域，曲線的走向與關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)值，以及x→±∞時的極限狀態(tài)等），命題表述及其邏輯屬性等，概括地說，就是要培養(yǎng)與訓(xùn)練自己具備一定的數(shù)學(xué)素質(zhì)，這種素質(zhì)，無論對掌握數(shù)學(xué)的知識系統(tǒng)，還是對處理一個具體題目，或是對應(yīng)試能力的全面提高，都具有潛移默化的影響。比如，數(shù)學(xué)符號的規(guī)范化使用與命題（或數(shù)學(xué)定義）的等價描述，將有助于思維的敏捷清晰及卷面表達(dá)的規(guī)范整齊（這將給閱卷人良好的第一印象），再比如，基本不等式的靈活運(yùn)用可誘發(fā)解題的重要思路，而對函數(shù)初等性質(zhì)與初等函數(shù)基本性態(tài)的熟悉會使讀者對大多數(shù)題目找到一個正確的切入點(diǎn)，這一切入點(diǎn)若有錯誤（往往由對初等函數(shù)的基本性態(tài)理解錯誤或失誤而導(dǎo)致這類切入點(diǎn)的錯誤），則會進(jìn)一步導(dǎo)致一個題目在解答上的全局性錯誤，這類錯誤引起的損失遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過一個局部計算錯誤帶來的損失。因此，對本節(jié)列出的預(yù)備知識應(yīng)給予足夠的重視。插圖：

編輯推薦

《微積分通用輔導(dǎo)講義:考研數(shù)學(xué)應(yīng)試導(dǎo)引與進(jìn)階》主要針對參加研究生入學(xué)考試的理工類與經(jīng)濟(jì)類考生，同時也可作為大學(xué)本科和專科學(xué)生的教學(xué)輔導(dǎo)用書。

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