高等幾何

內(nèi)容概要

　　《21世紀(jì)高等院校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課系列教材：高等幾何》是按照高等院?！陡叩葞缀谓虒W(xué)大綱》的要求，同時(shí)結(jié)合作者多年來開設(shè)高等幾何課程的教學(xué)實(shí)踐，以及對(duì)高等幾何面向21世紀(jì)的課程體系和教學(xué)內(nèi)容的深入研究編寫而成的。全書共分五章：前四章是根據(jù)克萊因的變換群觀點(diǎn)，以射影變換為基本線索，介紹一維和二維射影幾何的基本內(nèi)容和射影觀點(diǎn)下的仿射幾何與歐氏幾何理論，其中重點(diǎn)討論二次曲線的射影、仿射和度量理論，以明確各幾何學(xué)的關(guān)系，使讀者可以從較高的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)初等幾何；第五章為選學(xué)內(nèi)容，介紹平面射影幾何基礎(chǔ)和非歐幾何的初步知識(shí)?！?1世紀(jì)高等院校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課系列教材：高等幾何》每節(jié)配有適量的習(xí)題，每章還配有總習(xí)題，書末附有習(xí)題答案與提示，以便于教師教學(xué)與學(xué)生自學(xué)。為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)射影幾何的興趣，書末添加了一個(gè)附錄，簡(jiǎn)要介紹射影幾何的發(fā)展史。
　　《21世紀(jì)高等院校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課系列教材：高等幾何》可作為高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)高等幾何課程的教材，還可供中學(xué)幾何教師作為教學(xué)參考書。

書籍目錄

第一章 射影平面
§1.1 無窮遠(yuǎn)（理想）元素
一、射影幾何
二、中心投影
三、無窮遠(yuǎn)（理想）元素
習(xí)題1.1
§1.2 齊次坐標(biāo)
一、齊次坐標(biāo)的引進(jìn)
二、射影平面的定義
三、有序三實(shí)數(shù)組的運(yùn)算
四、射影平面上的直線及點(diǎn)線結(jié)合關(guān)系
習(xí)題1.2
§1.3 對(duì)偶原理與Desargues透視定理
一、平面圖形
二、Desargues透視定理
三、對(duì)偶原理
習(xí)題1.3
§1.4 射影坐標(biāo)與射影坐標(biāo)變換
一、一維射影坐標(biāo)與坐標(biāo)變換
二、二維射影坐標(biāo)與坐標(biāo)變換
習(xí)題1.4
習(xí)題一
第二章 射影變換
§2.1 射影變換
一、變換的概念
二、一維射影映射
三、二維射影映射
習(xí)題2.1
§2.2 交比
一、交比的概念
二、配景定理
三、交比的性質(zhì)
四、交比與一維射影坐標(biāo)
五、交比與射影映射
六、用交比解釋的幾個(gè)概念
習(xí)題2.2
§2.3 透視映射
一、透視映射的定義
二、構(gòu)成透視映射的條件
三、透視映射與射影映射
四、Pappus定理
五、完全四點(diǎn)形與完全四線形
六、直線（線束）上的射影變換
習(xí)題2.3
§2.4 對(duì)合變換
一、對(duì)合的定義
二、對(duì)合變換的確定
三、對(duì)合變換與射影變換
四、對(duì)合變換的類型
五、Desargues對(duì)合定理
習(xí)題2.4
§2.5 直射變換
一、二重元素
二、透射變換
三、調(diào)和透射變換
四、合射變換
五、各種特殊直射變換的表達(dá)式
六、射影變換與初等幾何變換
習(xí)題2.5
習(xí)題二
第三章 配極變換與二次曲線
§3.1 配極變換
一、對(duì)射變換
二、配極變換的概念
三、共軛點(diǎn)與共軛直線
四、由配極變換導(dǎo)出的一維對(duì)合變換
五、自配極三點(diǎn)形
六、配極變換的類型
習(xí)題3.1
§3.2 二次曲線
一、二次曲線的概念
二、極點(diǎn)與極線
三、二次曲線方程的另一簡(jiǎn)化形式
四、Steiner定理
習(xí)題3.2
§3.3 Pascal定理與Brianchon定理
一、Pascal定理
二、Brianchon定理
習(xí)題3.3
§3.4 二次曲線上的射影變換與二次曲線的射影分類
一、二次曲線上的射影變換
二、二次曲線上的對(duì)合變換
三、一次點(diǎn)列與二次點(diǎn)列的透視對(duì)應(yīng)
四、二次曲線的射影分類
習(xí)題3.4
習(xí)題三
第四章 射影觀點(diǎn)下的仿射幾何與歐氏幾何
§4.1 仿射變換與仿射幾何
一、仿射平面
二、平面仿射坐標(biāo)系
三、仿射比
四、仿射變換
習(xí)題4.1
§4.2 二次曲線的仿射理論
一、二次曲線的仿射性質(zhì)
二、二次曲線的仿射分類與標(biāo)準(zhǔn)方程
習(xí)題4.2
§4.3 運(yùn)動(dòng)變換與歐氏幾何
一、虛元素的引進(jìn)
二、運(yùn)動(dòng)變換
三、笛卡兒直角坐標(biāo)系
四、拉格兒公式
習(xí)題4.3
§4.4 二次曲線的度量理論
一、圓的一些性質(zhì)
二、二次曲線的主軸和頂點(diǎn)
三、二次曲線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線
四、解析幾何中的應(yīng)用舉例
習(xí)題4.4
§4.5 變換群與幾何學(xué)
一、克萊因的變換群觀點(diǎn)
二、三種幾何學(xué)的比較
習(xí)題4.5
……
第五章 平面射影幾何基礎(chǔ)與非歐幾何概要
附錄 射影幾何發(fā)展簡(jiǎn)史
參考文獻(xiàn)
名詞索引
習(xí)題答案與提示

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁：   插圖：   定義1.5 給定射影平面P2上的配極變換γ，在非自共軛直線ξ為底的點(diǎn)列中，點(diǎn)y到它的共軛點(diǎn)y'的變換是一個(gè)對(duì)合變換，這個(gè)對(duì)合變換叫做配極變換γ在直線ξ上導(dǎo)出的對(duì)合變換，或叫做配極共軛點(diǎn)的對(duì)合，記做γξ。 定義1.6 給定射影平面P2上的配極變換γ，在以非自共軛點(diǎn)x為中心的線束中，直線刁到它的共軛直線η'的變換是一個(gè)對(duì)合變換，這個(gè)對(duì)合變換叫做配極變換γ在線束x上導(dǎo)出的對(duì)合變換，或叫做配極共軛直線的對(duì)合，記做γx。 2.導(dǎo)出對(duì)合的類型 由配極變換γ導(dǎo)出的對(duì)合變換γε和γx有什么關(guān)系呢？我們知道，如果非自共軛直線ξ在變換γ下的極點(diǎn)是x，那么對(duì)合變換γx的每對(duì)對(duì)應(yīng)直線必定過對(duì)合變換γε的一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，由于對(duì)合變換沒有拋物型的，所以，當(dāng)且僅當(dāng)γε是雙曲型（或橢圓型）時(shí)，γε有兩個(gè)二重點(diǎn)（或無二重點(diǎn)），因而γx有兩條二重直線（或無二重直線），即γx為雙曲型（或橢圓型），也就是說，γε和γx一定同為雙曲型或同為橢圓型，于是有如下定理： 定理1.7 在配極變換γ下，設(shè)非自共軛直線ξ的極點(diǎn)為x，則γ在直線ξ上和線束x上導(dǎo)出的對(duì)合變換γξ和γx同為雙曲型或橢圓型。 3.直線上的自共軛點(diǎn)與線束上的自共軛直線 定理1.8 對(duì)于一配極變換γ，一條自共軛直線上必有且只有一個(gè)自共軛點(diǎn)（即它的極點(diǎn)），一條非自共軛直線上沒有或恰有兩個(gè)自共軛點(diǎn)。 證明 設(shè)ξ為自共軛直線，則其極點(diǎn)x必在直線ξ上，因此x為自共軛點(diǎn)，若直線ξ上又有一個(gè)異于點(diǎn)x的自共軛點(diǎn)y，則其極線η應(yīng)過點(diǎn)y。根據(jù)配極原則，點(diǎn)y在點(diǎn)x的極線ξ上，則點(diǎn)x必在點(diǎn)y的極線η上，也就是極線η也過點(diǎn)x，于是直線ξ和η都過點(diǎn)x和y，故直線η與ξ重合，從而其極點(diǎn)x與y亦重合，與所設(shè)矛盾，所以自共軛直線ξ上必有且只有一個(gè)自共軛點(diǎn)。 設(shè)φ為非自共軛直線，且配極變換γ在直線φ上導(dǎo)出對(duì)合變換γφ，若γφ是橢圓型的對(duì)合變換，即沒有二重點(diǎn)，則直線φ上無自共軛點(diǎn)；若γφ是雙曲型的對(duì)合變換，即有兩個(gè)二重點(diǎn)，則直線φ上有兩個(gè)共軛點(diǎn)，于是定理得證。 對(duì)偶地，我們有下面的結(jié)論： 定理1.9對(duì)于配極變換γ，一個(gè)自共軛點(diǎn)必有且只有一條自共軛直線通過（即它的極線），一個(gè)非自共軛點(diǎn)沒有或恰有兩條自共軛直線通過。

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無

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