數(shù)學(xué)分析（第三冊）

內(nèi)容概要

本書是綜合性大學(xué)和高等師范院校數(shù)學(xué)系本科生數(shù)學(xué)分析課程的教材。全書共分三冊。第一冊共六章，內(nèi)容為函數(shù)、序列的極限、函數(shù)的極限與連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)與微分、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不定積分；第二冊共六章，內(nèi)容為定積分、廣義積分、數(shù)項級數(shù)、函數(shù)序列與函數(shù)項級數(shù)、冪級數(shù)、傅里葉級數(shù)；第三冊共五章，內(nèi)容為n維歐氏空間與多元函數(shù)的極限和連續(xù)、多元函數(shù)微分學(xué)、重積分與廣義重積分、曲線積分與曲面積分及場論、含參變量積分。 本書每章配有適量習(xí)題，書末附有習(xí)題答案或提示，供讀者參考。    作者多年來在北京大學(xué)為本科生講授數(shù)學(xué)分析課程，按照教學(xué)大綱，精心選取教學(xué)內(nèi)容并對課程體系優(yōu)化整合，經(jīng)過幾屆學(xué)生的教學(xué)實踐，收到了良好的教學(xué)效果。本書注重基礎(chǔ)知識的講述和基本能力的訓(xùn)練，按照認(rèn)知規(guī)律，以幾何直觀、物理背景作為引入數(shù)學(xué)概念的切入點(diǎn)，對內(nèi)容講解簡明、透徹，做到重點(diǎn)突出、難點(diǎn)分散，便于學(xué)生理解與掌握。    本書可作為高等院校數(shù)學(xué)院系、應(yīng)用數(shù)學(xué)系本科生的教材，對青年教師本書也是一部很好的教學(xué)參考書。

作者簡介

伍勝健，北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師，工992年在中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所獲博士學(xué)位，主要研究方向是復(fù)分析，在北京大學(xué)長期講授數(shù)學(xué)分析、復(fù)變函數(shù)、復(fù)分析等課程。

書籍目錄

第十三章　　多元函數(shù)的極限和連續(xù)　§13.1　歐氏空間Rn　　13.1.1　歐氏空間Rn　　13.1.2　點(diǎn)列極限　　13.1.3　聚點(diǎn)　　13.1.4　開集與閉集　　13.1.5　歐氏空間Rn　中的基本定理　§13.2　多元函數(shù)與向量函數(shù)的極限　　13.2.1　多元函數(shù)的概念　　13.2.2　多元函數(shù)的極限　　13.2.3　累次極限　　13.2.4　向量函數(shù)的定義與極限　§13.3　多元連續(xù)函數(shù)　　13.3.1　多元連續(xù)函數(shù)　　13.3.2　多元連續(xù)向量函數(shù)　　13.3.3　集合的連通性　　13.3.4　連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)　　13.3.5　同胚映射　　習(xí)題十三第十四章　　多元微分學(xué)　§14.1　偏導(dǎo)數(shù)與全微分　　14.1.1　偏導(dǎo)數(shù)　　14.1.2　方向?qū)?shù)　　14.1.3　全微分　　14.1.4　梯度　　14.1.5　向量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與全微分　§14.2　多元函數(shù)求導(dǎo)法　　14.2.1　導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算　　14.2.2　復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法　　14.2.3　高階偏導(dǎo)數(shù)68　　14.2.4　復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)　　14.2.5　一階微分的形式不變性與高階微分　§14.3　泰勒公式　§14.4　隱函數(shù)存在定理　　14.4.1　單個方程的情形　　14.4.2　方程組的情形　　　14.4.3　逆映射存在定理　§14.5　多元函數(shù)的極值　　14.5.1　通常極值問題　　14.5.2　條件極值問題　§14.6　多元微分學(xué)的幾何應(yīng)用　　14.6.1　空間曲線的切線與法平面　　14.6.2　曲面的切平面與法線　　14.6.3　多元凸函數(shù)　　習(xí)題十四第十五章　　重積分　§15.1　重積分的定義　　15.1.1　Rn　空間中集合的體積　　15.1.2　重積分的定義　§15.2　多元函數(shù)的可積性理論與重積分的性質(zhì)　　15.2.1　達(dá)布理論　　15.2.2　重積分的性質(zhì)　§15.3　化重積分為累次積分　　15.3.1　化二重積分為累次積分　　15.3.2　化三重積分為累次積分　§15.4　重積分的變量替換　　15.4.1　重積分的變量替換公式　　15.4.2　利用變量替換計算重積分　§15.5　廣義重積分　　15.5.1　無窮重積分的基本概念　　15.5.2　無窮重積分?jǐn)可⑿缘呐卸ā　?5.5.3　瑕重積分　　習(xí)題十五第十六章　　曲線積分與曲面積分　§16.1　第一型曲線積分　　16.1.1　第一型曲線積分的定義　　16.1.2　第一型曲線積分的存在性與計算公式　§16.2　第二型曲線積分　　16.2.1　第二型曲線積分的定義　　16.2.2　第二型曲線積分的存在性與計算公式　§16.3　第一型曲面積分　　16.3.1　曲面的面積　　16.3.2　第一型曲面積分的定義　　16.3.3　第一型曲面積分的存在性與計算公式　§16.4　第二型曲面積分　　16.4.1　曲面的側(cè)　　16.4.2　第二型曲面積分的定義　　16.4.3　第二型曲面積分的存在性與計算公式　§16.5　各類積分之間的聯(lián)系　　16.5.1　格林公式　　16.5.2　高斯公式　　16.5.3　斯托克斯公式　§16.6　微分形式簡介　　16.6.1　微分形式　　16.6.2　微分形式的外積　　16.6.3　外微分　§16.7　曲線積分與路徑的無關(guān)性　§16.8　場論簡介　　16.8.1　數(shù)量場的梯度　　16.8.2　量場的向量線　　16.8.3　量場的散度　　16.8.4　量場的旋度　　16.8.5　一些重要算子　　習(xí)題十六第十七章　　含參變量積分　§17.1　含參變量定積分　§17.2　含參變量廣義積分　　17.2.1　含參變量無窮積分　　17.2.2　含參變量無窮積分的性質(zhì)　　17.2.3　含參變量瑕積分　§17.3　г函數(shù)與B函數(shù)　　17.3.1　г函數(shù)　　17.3.2　B函數(shù)　　17.3.3　г函數(shù)與B函數(shù)的關(guān)系　　習(xí)題十七部分習(xí)題答案與提示名詞索引

章節(jié)摘錄

插圖：在本套教材的第一冊與第二冊中，我們已經(jīng)系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了一元微積分與級數(shù)理論。但在理論與實踐中，僅僅一元函數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足需要。這是因為，在許多事物的變化過程中，一個變量的變化過程往往依賴于多個變量。就拿我們每天生活的空間來說，它是一個三維的立體空間，因此幾乎所有跟空間位置有關(guān)的變量一般都要用空間點(diǎn)的坐標(biāo)來描述，從而它們就不太可能用一元函數(shù)來刻畫。另外，即使在數(shù)學(xué)研究中，由于一元函數(shù)的研究僅僅是局限于數(shù)軸Ⅸ的子集上定義的函數(shù)，它們基本上已不再是現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的主要對象。在當(dāng)今的數(shù)學(xué)研究中，大部分的研究對象都是關(guān)于高維空間（n（n≥2）維空間）的一些問題。因此，我們對多元函數(shù)（映射）的學(xué)習(xí)是十分必要的。多元微積分的主要內(nèi)容是將一元函數(shù)的微積分理論推廣到高維空間上的多元函數(shù)。大家會發(fā)現(xiàn)，我們將平行于一元微積分的基本理論來研究多元微積分。值得指出的是，由于多元函數(shù)的微積分理論是建立在一元微積分的基礎(chǔ)之上的，讀者如果具備一元微積分的堅實基礎(chǔ)，并且有較好的空間想象能力，就能學(xué)好多元微積分。

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