偏微分方程數(shù)值解講義

前言

自1995年以來(lái)，在姜伯駒院士的主持下，北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院根據(jù)國(guó)際數(shù)學(xué)發(fā)展的要求和北京大學(xué)數(shù)學(xué)教育的實(shí)際，創(chuàng)造性地貫徹教育部“加強(qiáng)基礎(chǔ)，淡化專(zhuān)業(yè)，因材施教，分流培養(yǎng)”的辦學(xué)方針，全面發(fā)揮我院學(xué)科門(mén)類(lèi)齊全和師資力量雄厚的綜合優(yōu)勢(shì)，在培養(yǎng)模式的轉(zhuǎn)變、教學(xué)計(jì)劃的修訂、教學(xué)內(nèi)容與方法的革新，以及教材建設(shè)等方面進(jìn)行了全方位、大力度的改革，取得了顯著的成效。2 001年，北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院的這項(xiàng)改革成果榮獲全國(guó)教學(xué)成果特等獎(jiǎng)，在國(guó)內(nèi)外產(chǎn)生很大反響。在本科教育改革方面，我們按照加強(qiáng)基礎(chǔ)、淡化專(zhuān)業(yè)的要求，對(duì)教學(xué)各主要環(huán)節(jié)進(jìn)行了調(diào)整，使數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院的全體學(xué)生在數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、幾何學(xué)、計(jì)算機(jī)等主干基礎(chǔ)課程上，接受學(xué)時(shí)充分、強(qiáng)度足夠的嚴(yán)格訓(xùn)練；在對(duì)學(xué)生分流培養(yǎng)階段，我們?cè)谡n程內(nèi)容上堅(jiān)決貫徹“少而精”的原則，大力壓縮后續(xù)課程中多年逐步形成的過(guò)窄、過(guò)深和過(guò)繁的教學(xué)內(nèi)容，為新的培養(yǎng)方向、實(shí)踐性教學(xué)環(huán)節(jié)，以及為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力所進(jìn)行的基礎(chǔ)科研訓(xùn)練爭(zhēng)取到了必要的學(xué)時(shí)和空間。這樣既使學(xué)生打下寬廣、堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，又充分照顧到每個(gè)人的不同特長(zhǎng)、愛(ài)好和發(fā)展取向。與上述改革相適應(yīng)，積極而慎重地進(jìn)行教學(xué)計(jì)劃的修訂，適當(dāng)壓縮常微、復(fù)變、偏微、實(shí)變、微分幾何、抽象代數(shù)、泛函分析等后續(xù)課程的周學(xué)時(shí)，并增加了數(shù)學(xué)模型和計(jì)算機(jī)的相關(guān)課程，使學(xué)生有更大的選課余地。

內(nèi)容概要

本書(shū)是為高等院校計(jì)算數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)高年級(jí)本科生和研究生偏微分方程數(shù)值解法課程編寫(xiě)的教材。全書(shū)分為差分方法和有限元方法兩個(gè)相互獨(dú)立的部分。差分方法部分的先修課程是數(shù)值分析、數(shù)值代數(shù)；有限元部分則同時(shí)要求學(xué)生對(duì)實(shí)變函數(shù)與泛函分析有初步的了解。掌握一定的數(shù)學(xué)物理方程的理論和方法無(wú)疑有助于本課程的深入學(xué)習(xí)。    本書(shū)在選材上注重充分反映偏微分方程數(shù)值解法中的核心內(nèi)容，力圖展現(xiàn)算法構(gòu)造與分析的基本思想；在內(nèi)容的處理上，體現(xiàn)了由淺入深、循序漸進(jìn)的原則；在敘述表達(dá)上，嚴(yán)謹(jǐn)精練、清晰易讀，便于教學(xué)與自學(xué)。為便于讀者復(fù)習(xí)、鞏固、理解和拓廣所學(xué)的知識(shí)，每章之后配置了相當(dāng)數(shù)量的習(xí)題，并在書(shū)后附上了大部分習(xí)題的答案或提示。    本書(shū)可作為綜合大學(xué)、理工科大學(xué)、高等師范院校計(jì)算數(shù)學(xué)以及相關(guān)學(xué)科的本科生和研究生的教材或教學(xué)參考書(shū)，也可供從事計(jì)算數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和科學(xué)工程計(jì)算研究的科技人員參考。

書(shū)籍目錄

第1章 橢圓型偏微分方程的差分方法　1.1 引言　1.2 模型問(wèn)題的差分逼近　1.3 一般問(wèn)題的差分逼近　　1.3.1 網(wǎng)格、網(wǎng)格函數(shù)及其范數(shù)　　1.3.2 差分格式的構(gòu)造　　1.3.3 截?cái)嗾`差、相容性、穩(wěn)定性與收斂性　　1.3.4 邊界條件的處理　1.4 基于最大值原理的誤差分析　　1.4.1 最大值原理與差分方程解的存在唯一性　　1.4.2 比較定理與差分方程的穩(wěn)定性和誤差估計(jì)　1.5 漸近誤差分析與外推　1.6 補(bǔ)充與注記　習(xí)題1第2章 拋物型偏微分方程的差分方法　2.1 引言　2.2 模型問(wèn)題及其差分逼近　　2.2.1 模型問(wèn)題的顯式格式及其穩(wěn)定性和收斂性　　2.2.2 模型問(wèn)題的隱式格式及其穩(wěn)定性和收斂性　2.3 一維拋物型偏微分方程的差分逼近　　2.3.1 直接差分離散化方法　　2.3.2 基于半離散化方法的差分格式　　2.3.3 一般邊界條件的處理　　2.3.4 耗散與守恒性質(zhì)　2.4 高維拋物型偏微分方程的差分逼近　　2.4.1 高維盒形區(qū)域上的顯式格式和隱式格式　　2.4.2 二維和三維交替方向隱式格式及局部一維格式　　2.4.3 更一般的高維拋物型問(wèn)題的差分逼近　2.5 補(bǔ)充與注記　習(xí)題2第3章 雙曲型偏微分方程的差分方法　3.1 引言　3.2 一維一階線性雙曲型偏微分方程的差分方法　　3.2.1 特征線與CFL條件　　3.2.2 迎風(fēng)格式　　3.2.3 15ax-Wendroff格式和Beam-Warming格式　　3.2.4 ：蛙跳格式　　3.2.5 差分格式的耗散與色散　　3.2.6 初邊值問(wèn)題與邊界條件的處理　3.3 一階雙曲守恒律方程與守恒型格式　　3.3.1 有限體積格式　　3.3.2 初始條件與邊界條件的處理　3.4 對(duì)流擴(kuò)散方程的差分方法　　3.4.1 對(duì)流擴(kuò)散方程的中心顯式格式與修正中心顯式格式　　3.4.2 對(duì)流擴(kuò)散方程的迎風(fēng)格式　　3.4.3 對(duì)流擴(kuò)散方程的隱式格式　　3.4.4 對(duì)流擴(kuò)散方程的特征差分格式　3.5 波動(dòng)方程的差分方法　　3.5.1 波動(dòng)方程的顯式格式　　3.5.2 波動(dòng)方程的隱式格式　　3.5.3 變系數(shù)波動(dòng)方程隱式格式的能量不等式和穩(wěn)定性　　3.5.4 基于等價(jià)一階方程組的差分格式　　3.5.5 交錯(cuò)型蛙跳格式與局部能量守恒性質(zhì)　3.6 補(bǔ)充與注記　習(xí)題3第4章 再論差分方程的相容性、穩(wěn)定性與收斂性　4.1 發(fā)展方程初邊值問(wèn)題及其差分逼近　4.2 截?cái)嗾`差與逼近精度的階，相容性與收斂性　4.3 穩(wěn)定性與Lax等價(jià)定理　4.4 穩(wěn)定性的von Neumann條件和強(qiáng)穩(wěn)定性　4.5 修正方程分析　4.6 能量分析方法第5章 橢圓邊值問(wèn)題的變分形式　5.1 抽象變分問(wèn)題　　5.1.1 抽象變分問(wèn)題　　5.1.2 Lax-Milgram引理　5.2 變分形式與弱解　　5.2.1 橢圓邊值問(wèn)題的例子　　5.2.2 Sobolev空間初步　　5.2.3 橢圓邊值問(wèn)題的變分形式與弱解　5.3 補(bǔ)充與注記　習(xí)題5第6章 橢圓邊值問(wèn)題的有限元方法　6.1 Galerkin方法與Ritz方法　6.2 有限元方法　　6.2.1 有限元方法的一個(gè)典型例子　　6.2.2 有限元的一般定義　　6.2.3 有限元與有限元空間的例子　　6.2.4 有限元方程與有限元解　6.3 補(bǔ)充與注記　習(xí)題6第7章 橢圓邊值問(wèn)題有限元解的誤差估計(jì)　7.1 Cea引理與有限元解的抽象誤差估計(jì)　7.2 Sobolev空間插值理論　　7.2.1 Sobolev空間的多項(xiàng)式商空間與等價(jià)商范數(shù)　　7.2.2 仿射等價(jià)開(kāi)集上Sobolev半范數(shù)的關(guān)系　　7.2.3 多項(xiàng)式不變算子的誤差估計(jì)　　7.2.4 有限元函數(shù)的反估計(jì)　7.3 多角形區(qū)域上二階問(wèn)題有限元解的誤差估計(jì)　　7.3.1 H1范數(shù)意義下的誤差估計(jì)　　7.3.2 Aubin—Nische技巧與L2范數(shù)意義下的誤差估計(jì)　7.4 非協(xié)調(diào)性與相容性誤差　　7.4.1 第一和第二：Strang引理　　7.4.2 Bramble-Hilbert，引理和雙線性引理　　7.4.3 數(shù)值積分引起的相容性誤差　7.5 補(bǔ)充與注記　習(xí)題7第8章 有限元解的誤差控制與自適應(yīng)方法　8.1 有限元解的后驗(yàn)誤差估計(jì)　8.2 后驗(yàn)誤差估計(jì)子的可靠性與有效性　8.3 自適應(yīng)方法　　8.3.1 h型、p型與h-p型自適應(yīng)方法　　8.3.2 網(wǎng)格重分布型自適應(yīng)方法　8.4 補(bǔ)充與注記　習(xí)題8部分習(xí)題答案和提示符號(hào)說(shuō)明參考文獻(xiàn)名詞索引

章節(jié)摘錄

插圖：本章中我們介紹了經(jīng)典的用有限差分法求解拋物型問(wèn)題的顯式格式、隱式格式（包括ADI和LOD格式）。顯式格式的優(yōu)點(diǎn)是格式構(gòu)造簡(jiǎn)單，每個(gè)分量可以獨(dú)立求解，因此易于實(shí)現(xiàn)；其缺點(diǎn)是穩(wěn)定性較差。隱式格式的構(gòu)造一般比較復(fù)雜，各分量需要聯(lián)立求解；其優(yōu)點(diǎn)是穩(wěn)定性好。我們注意到，對(duì)于一維問(wèn)題，隱式格式對(duì)應(yīng)的線性方程組其系數(shù)矩陣是主對(duì)角占優(yōu)三對(duì)角的，一般可以用經(jīng)典的追趕法有效求解；而對(duì)于高維問(wèn)題的ADI或LOD格式，則可以通過(guò)求解一系列具有主對(duì)角占優(yōu)三對(duì)角系數(shù)矩陣的線性方程組來(lái)高效求解。值得指出的是，這類(lèi)格式具有本質(zhì)的可并行性。從空間半離散化加時(shí)間方向常微分方程數(shù)值求解的角度，我們?cè)诒菊碌脑S多討論也可以平行地推廣到用有限體積法、有限元方法等求解拋物型問(wèn)題上，其基本結(jié)論也是類(lèi)似的。

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