數(shù)學(xué)分析（第一冊(cè)）

前言

自1995年以來，在姜伯駒院士的主持下，北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院根據(jù)國(guó)際數(shù)學(xué)發(fā)展的要求和北京大學(xué)數(shù)學(xué)教育的實(shí)際，創(chuàng)造性地貫徹教育部“加強(qiáng)基礎(chǔ)，淡化專業(yè)，因材施教，分流培養(yǎng)”的辦學(xué)方針，全面發(fā)揮我院學(xué)科門類齊全和師資力量雄厚的綜合優(yōu)勢(shì)，在培養(yǎng)模式的轉(zhuǎn)變、教學(xué)計(jì)劃的修訂、教學(xué)內(nèi)容與方法的革新，以及教材建設(shè)等方面進(jìn)行了全方位、大力度的改革，取得了顯著的成效。2001年，北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院的這項(xiàng)改革成果榮獲全國(guó)教學(xué)成果特等獎(jiǎng)，在國(guó)內(nèi)外產(chǎn)生很大反響。在本科教育改革方面，我們按照加強(qiáng)基礎(chǔ)、淡化專業(yè)的要求，對(duì)教學(xué)各主要環(huán)節(jié)進(jìn)行了調(diào)整，使數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院的全體學(xué)生在數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、幾何學(xué)、計(jì)算機(jī)等主干基礎(chǔ)課程上，接受學(xué)時(shí)充分、強(qiáng)度足夠的嚴(yán)格訓(xùn)練；在對(duì)學(xué)生分流培養(yǎng)階段，我們?cè)谡n程內(nèi)容上堅(jiān)決貫徹“少而精”的原則，大力壓縮后續(xù)課程中多年逐步形成的過窄、過深和過繁的教學(xué)內(nèi)容，為新的培養(yǎng)方向、實(shí)踐性教學(xué)環(huán)節(jié)，以及為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力所進(jìn)行的基礎(chǔ)科研訓(xùn)練爭(zhēng)取到了必要的學(xué)時(shí)和空間。這樣既使學(xué)生打下寬廣、堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，又充分照顧到每個(gè)人的不同特長(zhǎng)、愛好和發(fā)展取向。與上述改革相適應(yīng)，積極而慎重地進(jìn)行教學(xué)計(jì)劃的修訂，適當(dāng)壓縮常微、復(fù)變、偏微、實(shí)變、微分幾何、抽象代數(shù)、泛函分析等后續(xù)課程的周學(xué)時(shí)，并增加了數(shù)學(xué)模型和計(jì)算機(jī)的相關(guān)課程，使學(xué)生有更大的選課余地。

內(nèi)容概要

本書是綜合性大學(xué)和高等師范院校數(shù)學(xué)系本科生數(shù)學(xué)分析課程的教材。全書共分三冊(cè)。第一冊(cè)共六章，內(nèi)容為函數(shù)、序列的極限、函數(shù)的極限與連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)與微分、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不定積分；第二冊(cè)共六章，內(nèi)容為定積分、廣義積分、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù)：第三冊(cè)共五章，內(nèi)容為n維歐氏空間與多元函數(shù)的極限和連續(xù)、多元函數(shù)微分學(xué)、重積分與廣義重積分、曲線積分與曲面積分及場(chǎng)論、含參變量的積分。本書每章配有適量習(xí)題，書末附有習(xí)題答案或提示，供讀者參考。    作者多年來在北京大學(xué)為本科生講授數(shù)學(xué)分析課程，按照教學(xué)大綱，精心選取教學(xué)內(nèi)容并對(duì)課程體系優(yōu)化整合，經(jīng)過幾屆學(xué)生的教學(xué)實(shí)踐，收到了良好的教學(xué)效果。本書注重基礎(chǔ)知識(shí)的講述和基本能力的訓(xùn)練，按照認(rèn)知規(guī)律，以幾何直觀、物理背景作為引入數(shù)學(xué)概念的切入點(diǎn)，對(duì)內(nèi)容講解簡(jiǎn)明、透徹，做到重點(diǎn)突出、難點(diǎn)分散，便于學(xué)生理解與掌握。    本書可作為高等院校數(shù)學(xué)院系、應(yīng)用數(shù)學(xué)系本科生的教材，對(duì)青年教師本書也是一部很好的教學(xué)參考書。為了幫助讀者學(xué)習(xí)，本書配有學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書《數(shù)學(xué)分析解題指南》供讀者參考。

作者簡(jiǎn)介

伍勝健，北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師。1992年在中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所獲博士學(xué)位。主要研究方向是復(fù)分析。在北京大學(xué)長(zhǎng)期講授數(shù)學(xué)分析、復(fù)變函數(shù)、復(fù)分析等課程。

書籍目錄

第一章  函數(shù)  1.1　實(shí)數(shù)    1.1.1　數(shù)集    1.1.2　實(shí)數(shù)系的連續(xù)性    1.1.3　有界集與確界    1.1.4　幾個(gè)常用不等式    1.1.5　常用記號(hào)  1.2　函數(shù)的概念    1.2.1　函數(shù)的定義    1.2.2  由已知函數(shù)構(gòu)造新函數(shù)的方法  1.3　函數(shù)的性質(zhì)    1.3.1　函數(shù)的有界性    1.3.2　函數(shù)的單調(diào)性    1.3.3　函數(shù)的周期性    1.3.4　函數(shù)的奇偶性  1.4　初等函數(shù)　習(xí)題一第二章　序列的極限　2.1　序列極限的定義    2.1.1　序列    2.1.2　序列極限的定義    2.1.3　無窮小量    2.1.4　無窮大量　2.2　序列極限的性質(zhì)　2.3　單調(diào)收斂原理    2.3.1　單調(diào)收斂原理    2.3.2　無理數(shù)e和歐拉常數(shù)c　2.4　實(shí)數(shù)系連續(xù)性的基本定理    2.4.1　閉區(qū)間套定理    2.4.2　有限覆蓋定理    2.4.3　聚點(diǎn)原理    2.4.4　柯西收斂準(zhǔn)則　2.5　序列的上、下極限　習(xí)題二第三章  函數(shù)的極限與連續(xù)性　3.1　函數(shù)的極限    3.1.1　函數(shù)極限的定義    3.1.2　函數(shù)極限的性質(zhì)    3.1.3　函數(shù)極限概念的推廣    3.1.4　序列極限與函數(shù)極限的關(guān)系    3.1.5　極限存在性定理和兩個(gè)重要極限　3.2　函數(shù)的連續(xù)與間斷    3.2.1　函數(shù)的連續(xù)與間斷    3.2.2　連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)    3.2.3　初等函數(shù)的連續(xù)性　3.3　閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)　3.4　無窮小量與無窮大量的階　習(xí)題三第四章　導(dǎo)數(shù)與微分  4.1　導(dǎo)數(shù)　　……第五章　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第六章　不定積分部分習(xí)題答案與提示名詞索引

章節(jié)摘錄

插圖：第一章 函數(shù)數(shù)學(xué)分析主要由微積分和級(jí)數(shù)理論組成，它所研究的主要對(duì)象是實(shí)函數(shù)，即以實(shí)數(shù)為自變量并且在實(shí)數(shù)中取值的函數(shù)。因此，在本章中我們首先簡(jiǎn)要地介紹一下實(shí)數(shù)系的連續(xù)性，然后介紹函數(shù)的概念和有關(guān)的基本知識(shí)。1.1 實(shí)數(shù)在近幾個(gè)世紀(jì)中科學(xué)技術(shù)之所以取得了輝煌的成就，在很大程度上是因?yàn)閿?shù)學(xué)研究取得了重大進(jìn)展，其中微積分的創(chuàng)立是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的里程碑。微積分在物理、天文、技術(shù)、化學(xué)、生物等的研究中顯示了強(qiáng)大的威力，解決了許多過去認(rèn)為高不可攀的困難問題，促進(jìn)了科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。然而，由于在創(chuàng)建初期微積分是以幾何直觀和物理直覺為依據(jù)而進(jìn)行演繹推理的，因此就形成了方法上有效但邏輯上不能自圓其說的矛盾局面。為了解決微積分在理論上面臨的問題，許多著名數(shù)學(xué)家都投身于微積分理論基礎(chǔ)的研究。人們后來發(fā)現(xiàn)，微積分的主要理論基礎(chǔ)是嚴(yán)格的極限理論。到了19世紀(jì)初，柯西（Cauchy）以極限理論為微積分奠定了理論基礎(chǔ)。但是柯西構(gòu)筑的理論大廈起初并不完善，這是因?yàn)榭挛鞑]有對(duì)實(shí)數(shù)給出嚴(yán)格的定義。而后來人們又發(fā)現(xiàn)，極限理論的某些基本原理依賴于實(shí)數(shù)系的連續(xù)性。為此，本節(jié)簡(jiǎn)要地介紹一下這方面的內(nèi)容。

編輯推薦

《數(shù)學(xué)分析(第1冊(cè))》是由北京大學(xué)出版社出版的。本科生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教材。

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